1、1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在x，y轴上的截距分别为a，b示意图方程1适用范围y1y2且x1x2ab02.直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程AxByC0叫做直线的一般式方程，简称一般式其中系数A，B满足A，B不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程()2截距式可表示除过原点外的所有直线()3任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化()4平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)表示()5过点P1(x1，
2、y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程表示()6在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为1.()7能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示()8若直线AxByC0与两坐标轴都相交，则A0或B0.()想一想1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？提示：不能，因为110，而0不能做分母过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示2截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab0，即有两个非零截距3任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示4当A，B同时为零时，
3、方程AxByC0表示什么？提示：当C0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C0时，方程无解，方程不表示任何图像故方程AxByC0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2B20时才代表直线思考感悟：练一练1.直线1(ab0)的图像可能是()答案：C2过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是()Ax2018Bx2019Cy2018 Dxy2020答案：A3直线xy50的倾斜角为()A45 B60C120 D135答案：A4在x轴、y轴上的截距分别是5，3的直线的截距式方程为()A.1 B.1C.1 D.0答案：B5直线2x3y60与坐标轴围成的
4、三角形面积为_答案：3知识点一直线的两点式方程1.已知直线l经过点A(1，2)，B(3,2)，则直线l的方程为()Axy10Bxy10Cx2y10 Dx2y10解析：由两点式得直线l的方程为，即y2(x1)故选A.答案：A2过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A BC. D2解析：由直线的两点式方程可得直线方程为，即2xy30，令y0得x.故选A.答案：A知识点二直线的截距式方程3.过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()Axy5 Bxy5Cxy5或x4y0 Dxy5或x4y0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为yx，即x4y0；当直线不过点(0,0)时，可
5、设直线方程为1(a0)，把(4,1)代入，解得a5，直线方程为xy5.综上可知，直线方程为xy5或x4y0.选C.答案：C4两条直线l1：1和l2：1在同一平面直角坐标系中的图像可以是()解析：将两直线方程化成截距式为l1：1，l2：1，则l1与x轴交于(a,0)，与y轴交于(0，b)，l2与x轴交于(b,0)，与y轴交于(0，a)结合各选项，先假定l1的位置，判断出a，b的正负，然后确定l2的位置，知A项符合选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l的方程为xy20，则直线l的倾斜角为()A30 B45C60 D150解析：设直线l的倾斜角为，则tan，则30.答案：A6设直线l的
6、方程为(a1)xy2a0(aR)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围是_解析：将直线l的方程化为y(a1)xa2.则或a1.答案：(，1知识点四直线方程的应用7.已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围解析：(1)证明：方法一将直线l的方程整理为ya，l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限方法二直线l的方程可化为(5x1)a(35y)0.当定点为(x，y)时，上式对任意的a总成立，必有即即l过定点A.以下同方法一(2)如图，直线OA的斜率为k3.要使l不经过第二象限，需它在
7、y轴上的截距不大于零，即令x0时，y0，a3.8已知直线l：ykx2k1.(1)求证：对于任意的实数k，直线l恒过一个定点；(2)当3x3时，直线l上的点都在x轴的上方，求实数k的取值范围解析：(1)由ykx2k1，得y1k(x2)由直线的点斜式方程，可知直线l恒过定点(2,1)(2)设函数f(x)kx2k1.若3x3时，直线l上的点都在x轴的上方，则即解得k1.所以实数k的取值范围是.综合知识直线的方程9.分别求符合条件的直线方程，并化为一般式(1)经过点(1,3)，且斜率为3；(2)经过两点A(0,4)和B(4,0)；(3)经过点(2，4)且与直线3x4y50平行；(4)经过点(3,2)，
8、且垂直于直线6x8y30.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为y33(x1)，即y33x3，整理得其一般式为3xy0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为1，整理得其一般式为xy40.(3)设与直线3x4y50平行的直线为3x4yc0，将点 (2，4)代入得616c0，所以c22.故所求直线的一般式为3x4y220.(4)设与直线6x8y30垂直的直线为8x6yc0，代入点(3,2)得2412c0，c36.从而得8x6y360，即所求直线的一般式为4x3y180.10已知ABC的三个顶点为A(0,3)，B(1,5)，C(3，5)(1)求边AB所在的直线方程；(2)求中线AD所在直线的
9、方程解析：(1)设边AB所在的直线的斜率为k，则k2.它在y轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB所在的直线的方程为y2x3.(2)B(1,5)、C(3，5)，2，0，所以BC的中点D(2,0)由截距式得中线AD所在的直线的方程为1.基础达标一、选择题1下列四个命题中的真命题是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程1表示D经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示解析：当直线与y轴平行或重合时，斜率不
10、存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；选项B正确故选B.答案：B2已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1B1C2或1 D2或1解析：当a0时，y2不合题意当a0时，令x0，得y2a，令y0，得x，则a2，得a1或a2.故选D.答案：D3直线l过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A3xy60 Bx3y100C3xy0 Dx3y80解析：设所求的直线方程为1.所以解得a2，b6.故所求的直线方程为3xy60.故选A.答案：A4如果AB0，且BC0，
11、那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为直线AxByC0可化为yx，又AB0，BC0，0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限故选D.答案：D5已知m0，则过点(1，1)的直线ax3my2a0的斜率为()A3 B3C. D解析：由题意，得a3m2a0，所以am，又因为m0，所以直线ax3my2a0的斜率k.故选D.答案：D6已知两条直线的方程分别为l1：xayb0，l2：xcyd0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()Ab0，d0，a0，dcCb0，acDb0，a0，在y轴上的截距0，因此a0，b0，在y轴上的截距0，因此c0.且l1的斜率大于l
12、2的斜率，即，因此ac，故选C.答案：C7若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则实数m满足()Am0 BmCm1 Dm1且m且m0解析：当2m2m30时，m1或m；当m2m0时，m0或m1，要使方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则2m2m3，m2m不能同时为0，m1，故选C.答案：C二、填空题8经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为_解析：当a1时，直线AB的斜率不存在，所求直线的方程为x1；当a1时，由两点式，得，即x(a1)y3a40.这个方程中，对a1时方程为x1也满足所以，所求的直线方程为x(a1)y3a40.答案：x(a1)y3a409过点
13、(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是_。解析：当直线在y轴上的截距b0时，方程可设为ykx，将(5,2)代入得k，故yx，即2x5y0；当直线在y轴上的截距b0时，方程可设为1，将(5,2)代入得b，故1，即x2y90.答案：x2y90或2x5y010已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为_解析：由两点式方程，知直线l过点(5,0)，(3，3)，所以l的斜率为.答案：11经过点(2,0)与点 (6,2)的中点，在x轴上的截距是2的直线方程是_解析：因为点(2,0)与点(6,2)的中点是(2,1)，所以直线经过(2,1)，(2,0)两点，由两点式得，即x4y20.答案：
14、x4y2012过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为_解析：(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为1.又直线l过点A(5,2)，所以1，解得a3，所以直线l的方程为1，即xy30.(2)当直线l过坐标原点时，l在两坐标轴上的截距均为0，也互为为相反数，此时直线l的方程为yx，即2x5y0.综上可知，所求直线l的方程为xy30或2x5y0.故填2x5y0或xy30.答案：2x5y0或xy30三、解答题13根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y
15、轴上的截距分别是，3；(4)经过两点P1(3，2)、P2(5，4)解析：(1)由点斜式得y(2)(x8)，化成一般式得x2y40.(2)由斜截式得y2，化成一般式得y20.(3)由截距式得1，化成一般式得2xy30.(4)由两点式得，化成一般式得xy10.14已知直线l经过点(7,1)，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程解析：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上的截距均等于0，符合题意又直线l过点(7,1)，所求直线方程为yx，即x7y0.当直线l不经过原点时，设其方程为1，由题意可得ab0，又l经过点(7,1)，有1，由，得a6，b6，则l的方程为1，即xy60.故所求直线l的方
16、程为x7y0或xy60.能力提升15.直线过点P，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线能同时满足下列条件：AOB的周长为12；AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解析：设所求的直线方程为1(a0，b0)由已知，得由解得或经验证，只有满足式所以存在直线满足题意，其方程为1，即3x4y120.16直线l的方程为(a2)y(3a1)x1(aR)(1)求证：直线l必过定点；(2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围解析：(1)证明：直线方程可变为a(3xy)(x2y1)0的形式，令得所以无论a取R中的任何值，点都适合直线方程故直线恒过定点.(2)当斜率不存在，即a20时，a2，方程为x，直线过第一、四象限，符合条件；当斜率存在时，则斜率应大于等于0，在y轴上的截距小于等于0，即解得所以a2.综上，实数a的取值范围是2，)
