1、第4讲基本不等式基础知识整合1重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当ab时等号成立)2基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)，那么当xy时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)1常用的几个重要不等式(1)ab2(a0，b0)；(2)ab2(a，bR)；(3)2(a，bR)；(4)2(a，b同号
2、)以上不等式等号成立的条件均为ab.2利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a，b，x，yR，若axby1，则有(axby)abab2()2.(2)已知a，b，x，yR，若1，则有xy(xy)abab2()2. 1已知a，bR，且ab1，则ab的最大值为()A1 B.C. D.答案B解析a，bR，1ab2，ab，当且仅当ab时等号成立，即ab的最大值为.故选B.2已知a，b(0,1)且ab，下列各式中最大的是()Aa2b2 B2C2ab Dab答案D解析a，b(0,1)且ab，则显然有ab2，a2b22ab.下面比较a2b2与ab的大小由于a，b(0,1)，a2a，b2b，a2b2ab.
3、故各式中最大的是ab.3下列函数中，最小值为4的是()AyxBysinx(0x)Cy4exexDylog3xlogx3(0x1)答案C解析A中x的定义域为x|xR，且x0，函数没有最小值；B中若ysinx(0x)取得最小值4，则sin2x4，显然不成立；D中由0x0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5答案C解析y(ab)，即的最小值是.故选C.5若x，y是正数，则22的最小值是()A3 B. C4 D.答案C解析原式x2y24.当且仅当xy时取“”号，即22的最小值是4.6.(6a3)的最大值为_答案解析当a6或a3时，0；当6a3时，当且仅当3aa6，即a时取等号故(6a
4、3)的最大值为.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一利用基本不等式求最值 角度1利用配凑法求最值例1(1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.答案B解析0x0，则函数yx的最小值为_答案0解析yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不
5、等式的前提即时训练1.设a，b均大于0，ab5，则的最大值为_答案3解析()2a1b3292，又2a1b39，()218，的最大值为3.角度2利用常数代换法求最值 例2(1)(2019绵阳诊断)若，则y的取值范围为()A6，) B10，)C12，) D16，)答案D解析，sin2，cos2(0,1)，y(sin2cos2)1010216，当且仅当，即时等号成立故选D.(2)已知a2b2，且a1，b0，则的最小值为()A4 B5 C6 D8答案D解析因为a1，b0，且a2b2，所以a10，(a1)2b1，所以(a1)2b4428，当且仅当，即a，b时取等号，所以的最小值是8，故选D.常数代换法求
6、最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数) (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式 (4)利用基本不等式求解最值即时训练2.(2020正定模拟)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_答案5解析由x3y5xy，可得1，所以3x4y(3x4y)2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.角度3利用消元法求最值例3(1)(2019江西上饶联考)已知正数a，b，c满足2abc0，则的最大值为()A8 B2 C. D.答案C解析
7、因为a，b，c都是正数，且满足2abc0，所以b2ac，所以，当且仅当c2a0时等号成立，即的最大值为.故选C.(2)已知x，则函数y的最小值为_答案5解析令4x5t，则x(t0)，yt3(t0)，又t2(当且仅当t1时，取“”)，y的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解即时训练3.(2019安徽阜阳模拟)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值为_答案6解析因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1，所以b0，所以a1，所以ab(a
8、1)2426，当且仅当a3时等号成立，所以ab的最小值是6.考向二求参数值或取值范围例4(1)(2019山西长治模拟)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8答案B解析(xy)1aa1a2(1)2，当且仅当a，即ax2y2时“”成立(xy)9对任意正实数x，y恒成立，(1)29.a4，即正实数a的最小值为4.故选B.(2)当0m时，若k22k恒成立，则实数k的取值范围是()A2,0)(0,4 B4,0)(0,2C4,2 D2,4答案D解析因为0m0，b0且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4 C4 D2答案C解析由0得k，又24
9、(当且仅当ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.故选C.5(2019珠海模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为()A2 B4 C6 D8答案C解析解法一：由已知得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，令x3yt，则t0，且t212t1080，解得t6，即x3y6.故x3y的最小值为6.解法二：x3y9xy2，()2290，(3)()0，0xy3，x3y9xy6，即x3y的最小值为6.故选C.考向三基本不等式的实际应用例5(2019辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件
10、，需另投入成本为C(x)(万元)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x；当年产量不小于80千件时，C(x)51x1450.每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品的销售额为0.051000x万元，依题意得，当0x80时，L(x)(0.051000x)250x240x250；当x80时，L(x)(0.051000x)2501200.所以L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)295
11、0.则当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元；当x80时，L(x)12001200212002001000，则当x100时，L(x)取得最大值1000万元由于9500，则的最小值为_答案4解析a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，4ab，由于ab0，4ab24，故当且仅当时，的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法对点训练已知ab0，求a2的最小值解ab0，ab0.b(ab)2.a2a2216.当a2且bab，即a2，b时等号成立a2的最小值为16.