1、第14讲导数在函数中的应用1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的单调性函数 yf(x)在(a，b)内可导，则(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f(x)0.对函数f(x)求导，得f(x)14ax21x.由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y12x知，kf(1)34a2.a54.解得 x1(舍)或 x5.当 x
2、(0,5)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增因此，函数 f(x)在 x5 时取得极小值，且极小值为 f(5)ln5.(2)由(1)知，f(x)1454x21xx24x54x2.令f(x)0，即x1x54x20.【规律方法】1求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.2“fx0或 fx0)解：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)xaxx2ax.由f(x)在x2处的切线与直线3x2y10平行，x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)1
3、2令 f(x)0，得 x1.f(x)与 f(x)的情况如下表：所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)则f(2)4a2 32，a1.此时f(x)12x2lnx，f(x)x21x.(2)由f(x)xaxx2ax.由a0及定义域为(0，)，令f(x)0，得x a.若 a1，即00，f(x)在1，e上单调递增，f(x)minf(1)12；若1a e，即1ae2，在(1，a)上，f(x)0，f(x)单调递增，因此在1，e上，f(x)minf(a)12a(1lna)；【规律方法】求函数的最值时，不可想当然地认为极值点 就是最值点，要对函数 yfx的各极值与端点值进行比较，其中最大的
4、一个是最大值，最小的一个是最小值.若 ae，即ae2，在(1，e)上，f(x)0，f(x)在1，e上单调递减，f(x)minf(e)12e2a.综上所述，当0a1时，f(x)min 12；当1ae2时，f(x)min12a(1lna)；当ae2时，f(x)min12e2a.【互动探究】2(2014年江西)已知函数f(x)(4x24axa2)x,其中a0.(1)当a4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8，求a的值解：(1)由题意，得函数的定义域为0，)而 f(x)(8x4a)x4x24axa22 x20 x212axa22 x10 xa2xa2 x.当a4时，
5、f(x)25x2x2x.25，20，25x252(2，)f(x)00由f(x)0，得x25或x2.列表如下：所以函数f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)(2)由(1)知，f(x)10 xa2xa2 x，所以导函数的零点为x a10和xa2.函数f(x)的单调递增区间为 0，a10 和 a2，；单调递减区间为 a10，a2.当0a21，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)由f(1)44aa28，得a22 2，均不合题意；当1a24，即8a4，即a0，解得1x3.由 f(x)0，解得 x3.所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,3)，单调递减区间为(，1)和(3，)(2)因为
6、 f(x)x22xa，由题意，得 f(x)x22xa2a2 对任意 xR 恒成立，即x22x2a2a 对任意 xR 恒成立，设 g(x)x22x，所以 g(x)x22x(x1)21.所以当 x1 时，g(x)有最大值为 1.因为对任意 xR，x22x2a2a 恒成立，【规律方法】若 fx在其图象上任一点处的切线斜率都小于2a2，即 fxx22xa2a2 对任意 xR 恒成立，分离变量得x22x1.解得a1或a1或a12.【互动探究】3函数 f(x)a2lnxx2ax，a0.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(1)e1，求使 f(x)e2 对 x1，e恒成立的实数 a的值(注：e 为
7、自然对数的底数)解：(1)因为f(x)a2lnxx2ax，其中x0，所以f(x)a2x 2xaxa2xax.当a0时，由f(x)0，得0 x0时，f(x)的单调递增区间为(0，a)；(2)由 f(1)a1e1，即 ae.由(1)知，f(x)在1，e内单调递增，要使 f(x)e2 对 x1，e恒成立，只要 f(e)e2，则 a2lnee2aee2，即 a2ae2e20，(a2e)(ae)0，解得 ae，所以 ae.当a0时，由f(x)0，得0 xa2.即当a0，实数 a，b 为常数)(1)若 a1，b1，求函数 f(x)的极值；(2)若 ab2，讨论函数 f(x)的单调性解：(1)当 a1，b1
8、 时，函数 f(x)x2xlnx，则 f(x)2x11x.令 f(x)0，得 x1(舍去)，x12.当 0 x12时，f(x)12时，f(x)0，函数单调递增f(x)在 x12处取得极小值34ln2.(2)由于 ab2，则 a2b.从而 f(x)x2(2b)xblnx.则 f(x)2x(2b)bx2xbx1x.令 f(x)0，得 x1b2，x21.当b20，即 b0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；当 0b21，即 0b1，即 b2 时，列表如下：x(0,1)11，b2b2b2，f(x)00f(x)极大值极小值函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)，b2，单调递减区间为1，b2.综上所述，当 b0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；当 0b2 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)，b2，单调递减区间为1，b2.【规律方法】令f(x)0，得x1 b2，x21.由于定义域为(0，)，故要分 b2 0(讨论是否在定义域内)，0 b2 1(比较两根的大小)四种情况讨论