1、33.3点到直线的距离33.4两条平行直线间的距离填一填点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两平行线间的公垂线段的长图示公式(或求法)d转化为点到直线的距离判一判1.点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()2直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()3两条平行线xy10,2x2y50之间的距离是d3.()4连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离()5两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值()6点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值()7分别过点A(2,1)，B(3，5)的两条直线
2、均垂直于x轴，则这两条直线间的距离为5.()8利用两平行线间距离公式时要注意两直线的方程为一般式，且x，y的系数分别相同()想一想1.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式2两条平行直线间的距离公式写成d时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等3两条平行直线间距离有哪几种求法？提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合
3、来解决当两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则d|x2x1|；当两直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1|.4距离公式综合应用的常见类型有哪些？提示：(1)最值问题利用对称转化为两点之间的距离问题利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值(2)求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解思考
4、感悟：练一练1.点(1,2)到直线y2x1的距离为()A. B.C. D2答案：A2已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A0或 B.或6C或 D0或答案：B3两条平行直线5x12y10,5x12y100之间的距离为()A. B.C. D1答案：C4P，Q分别为3x4y120与6x8y60上任一点，则|PQ|的最小值为_答案：35若P(0，a)到直线xy10的距离为，则a_.答案：3或1知识点一求点到直线的距离1.已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为()A1B1C. D解析：由题意，得1，即|a|，所以a.故选D.答案：D2点P(x，y)在
5、直线xy40上，O是原点，则|OP|的最小值是()A. B2C. D2解析：由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线xy40的距离d2.答案：B知识点二两条平行直线间的距离3.已知两条平行直线l1：3x4y50，l2：6xbyc0间的距离为3，则bc等于()A12 B48C36 D12或48解析：将l1：3x4y50改写为6x8y100，因为两条直线平行，所以b8.由3，解得c20或c40.所以bc12或48.故选D.答案：D4已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.C. D.解析：3x2y30和6xmy10互相平行，326m，m4.直线6x4y10
6、可以化为3x2y0，由两条平行直线间的距离公式，得d，选D.答案：D知识点三距离公式的综合应用5.已知正方形ABCD的中心M(1,0)和一边CD所在的直线方程为x3y50，求其他三边所在的直线方程解析：因为ABCD，所以可设AB边所在的直线方程为x3ym0.又因为ADCD，BCCD，故可设AD，BC边所在的直线方程为3xyn0.因为中心M(1,0)到CD的距离为d，所以点M(1,0)到AD，AB，BC的距离均为由，得|n3|6，解得n9或3.由，得|m1|6，解得m7或5(舍去)，所以其他三边所在的直线方程分别为x3y70，3xy90,3xy30.6已知ABC中，A(2，1)，B(4,3)，C
7、(3，2)(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式；(2)求ABC的面积解析：(1)因为kBC5，所以BC边上的高AD所在直线斜率k.所以AD所在直线方程为y1(x2)即x5y30.(2)BC的直线方程为：y25(x3)即5xy170，点A到直线BC的距离为.又因为|BC|，所以ABC的面积S3.综合知识点线间的距离7.已知点P(2，1)(1)若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？解析：(1)当l的斜率不存在时，则直线的方程为x2；当直线的斜率k存在时，设直线方程为y1k(x2)，即kxy2k1
8、0.由点到直线距离公式得2，解得k，得直线方程为3x4y100.故所求直线的方程为x20或3x4y100.(2)由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由kPO，得所求直线的斜率为2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.最大距离为.8已知直线l1经过点A(0,1)，直线l2经过点B(5,0)，且直线l1l2，l1与l2间的距离为5，求直线l1，l2的方程解析：直线l1l2，当直线l1，l2垂直于x轴时，直线l1的方程为x0，直线l2的方程为x5，这时直线l1，l2之间的距离等于5，符合题意当直线l1，l2不垂直于x轴时，可设其斜率为k，依题意得，直线l1
9、的方程为ykx1，即kxy10，直线l2的方程为yk(x5)，即kxy5k0.由两条平行直线间的距离公式，得5，解得k.直线l1的方程为12x5y50，直线l2的方程为12x5y600.综上，符合题意的直线l1，l2的方程有两组：l1：x0，l2：x5或l1：12x5y50，l2：12x5y600.基础达标一、选择题1点P(1，1)到直线l：3y2的距离是()A3B.C1 D.解析：点P(1，1)到直线l的距离d，选B.答案：B2已知点M(1,4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m()A0 B.C3 D0或解析：点M到直线l的距离d，所以3，解得m0或m，选D.答案：D3求直线x2y10
10、关于直线x2y10对称的直线方程()Ax2y30 Bx2y30Cx2y20 Dx2y20解析：解法一设对称直线方程为x2yc0|c1|2，c3或1(舍)解法二设对称直线方程为x2yc0取直线x2y10上一点A(1,0)，直线x2y10上一点B(1,0)，A关于B对称点C(3,0)代入x2yc0得c3.答案：B4已知点A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，则ABC的面积等于()A3 B4C5 D6解析：设AB边上的高为h，则SABC|AB|h.|AB|2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离AB边所在的直线方程为，即xy40.点C到直线xy40的距离为，因此，SABC25.答案：C5直线l
11、垂直于直线yx1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点则直线l的方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy0解析：因为直线l与直线yx1垂直，所以设直线l的方程为yxb.又l与y轴正半轴有交点，知b0，即xyb0(b0)，原点O(0,0)到直线xyb0(b0)的距离为1，解得b(b舍去)，所以所求直线l的方程为xy0.答案：A6过点P(1,2)作直线l，使点A(2,3)，B(0，5)到直线l的距离相等，则直线l的方程是()A4xy20Bx4y70Cx1或4xy20Dx4y70或4xy20解析：方法一当直线l的斜率不存在，即x1时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方
12、程为y2k(x1)，即kxy2k0.由点A(2,3)，B(0，5)到直线l的距离相等，得，解得k4，此时所求直线的方程为4xy20.故所求直线的方程为x1或4xy20.方法二由平面几何知识知lAB或l过线段AB的中点直线AB的斜率kAB4，若lAB，则直线l的方程为4xy20；若直线l过线段AB的中点(1，1)，则直线方程为x1.故所求直线的方程为x1或4xy20.答案：C7若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A3 B2C. D4解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线
13、方程为xyc0，则，即c6，点M在直线xy60上，点M到原点的距离的最小值就是原点到直线xy60的距离，即3.答案：A二、填空题8两直线3xy30与6xmyn0平行且距离为，则mn_.解析：因为两直线平行，所以m2，由两平行线的距离公式知，解得n14或n26.所以mn16或mn24.答案：16或249若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是_解析：4，|1612k|52，k3，或k.答案：3或10已知直线l与直线l1：2xy30和l2：2xy10间的距离相等，则直线l的方程是_解析：方法一由题意可设直线l的方程为2xyc0，于是有，即|c3|c1|.c1，直线l的方程为2xy1
14、0.方法二由题意直线l介于直线l1与l2中间，设直线l的方程为2xyc0，则c1.直线l的方程为2xy10.答案：2xy1011已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，所以k2或k.所以所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案：2xy20或2x3y18012已知实数x，y满足2xy50，那么的最小值为_解析：求的最小值，就是求2xy50上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2xy50的距离d.答案：三、解答题13已知直线l过点
15、(0，1)，且点(1，3)到l的距离为，求直线l的方程，并求出坐标原点到直线l的距离解析：若直线l的斜率不存在，此时l的方程为x0.点(1，3)到l的距离为1，不满足题意，从而可知直线l的斜率一定存在，设为k，则其方程为ykx1.由点到直线的距离公式得，解得k1，或k，所以直线l的方程为yx1，或yx1，即xy10，或x7y70.根据点到直线的距离公式可得，坐标原点到直线xy10的距离为，到直线x7y70的距离为.14已知ABC中，A(2，1)，B(4,3)，C(3，2)(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；(2)求ABC的面积解析：(1)由斜率公式，得kBC5，所以BC边上的高所在直线方
16、程为y1(x2)，即x5y30.(2)由两点间的距离公式，得|BC|，BC边所在的直线方程为y25(x3)，即5xy170，所以点A到直线BC的距离d，故SABC3.能力提升15.已知直线l1：x3y3m20和直线l2：2xym25m0相交于点P(mR)(1)用m表示直线l1与l2的交点P的坐标；(2)当m为何值时，点P到直线xy30的距离最短？并求出最短距离解析：(1)解方程组得x3m，ym2m，直线l1与l2的交点P的坐标为(3m，m2m)(2)设点P到直线xy30的距离为d，d，当m1时，即P点坐标为(3,2)时，点P到直线xy30的距离最短，最短距离为.16已知三条直线l1：mxym0，l2：xmym(m1)0，l3：(m1)xy(m1)0，它们围成ABC.(1)求证：不论m取何值时，ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，ABC的面积取最值？并求出最值解析：(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A.由解得点A的坐标为(1,0)，不论m取何值，ABC中总有一个顶点A(1,0)为定点(2)由解得即l2与l3交点为B(0，m1)再由解得即l1与l2交点为C.设边AB上的高为h，SABC|AB|h.当m0时，S；当m0时，S.函数f(x)x的值域为2，)(，20或0，S或S.当m1时，ABC的面积的最大值为，当m1时，ABC的面积的最小值为.
