1、第六节空间向量及其运算空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用知识点一空间向量的有关概念1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平
2、行于b记作 ab.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组使得pxaybzc.其中a，b，c叫作空间的一个基底3两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.
3、易误提醒(1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量(4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示自测练习1已知空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则()A.abcBabcC.abc D.abc解析：如图所示，()()abc.答案：B2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2解析：ab，bka，即(6,21,2)k(1,0,2)，解得或答案
4、：A知识点二空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b易误提醒(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算必备方法用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底a，b，c(2)用a，b，
5、c表示相关向量(3)通过运算完成证明或计算问题自测练习3在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_解析：设M(0，y,0)，由|MA|MB|得(10)2(0y)2(20)2(10)2(3y)2(10)2，解得y1.M(0，1,0)答案：(0，1,0)考点一空间向量的线性运算|1设三棱锥OABC中，a，b，c，G是ABC的重心，则等于()AabcBabcC.(abc) D.(abc)解析：如图所示，()()(abc)答案：D2.如图所示，已知空间四边形O ABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线
6、段MN上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_解析：()()，又xyz，根据空间向量的基本定理，x，yz.答案：，(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决考点二共线向量与共面向量定理的应用|已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD中边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有()证明(1)连接BG，则()
7、，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)任取一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形，所以EG，FH被点M平分故()()证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明xy或对空间任一点O，有xy或xyz(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件1已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断、三个向量是否共面；(2)判断
8、点M是否在平面ABC内解：(1)由已知3 ，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且过同一点M，所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内考点三利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：OD1平面AB1C.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)，D1(0,0，)，(1，1，)，又点B(2,2,0)，M(1,1，)，(1，1，)，.又OD1与BM不共线，OD1BM.OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面
9、D1AC.(2)连接OB1，点B1(2,2，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，(1，1，)(1,1，)0，(1，1，)(2,2,0)0， ，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，OD1平面AB1C.(1)设直线l1的方向向量为v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量为v2(a2，b2，c2)，则l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)(2)设直线l的方向向量为v(a1，b1，c1)，平面的法向量为n(a2，b2，c2)，则lvna1a2b1b2c1c20，lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)(3)设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)
10、，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2，n1n2.2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.(1)设平面C1E1F的法向量n(x，y，z)，(1，0,1)，即令x1，得n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，CEn.又CE平面C1E1F，CE平面C1E1F.(
11、2)设平面EFC的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，即令a1，得m(1,0,1)mn1(1)2011110，平面C1E1F平面CEF.16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为_解析由题意知ab，所以，即解得或当时，b(2，4，6)2a，所以a，b两向量反向，不符合题意，舍去当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以答案x1，y3易误点评只考虑ab，忽视了同向导致求解多解防范措施两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，
12、也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件跟踪练习(2015成都模拟)已知a(1,0,2)，b(6,2u1,2)，若ab，则与u的值可以是()A2，B，C3,2 D2,2解析：由ab验证当2，u时成立答案：AA组考点能力演练1(2015深圳模拟)已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则等于()A.(bca)B.(abc)C.(abc) D.(cab)解析：(cab)答案：D2已知四边形ABCD满足：0，0，0，0，则该四边形为()A平行四边形 B梯形C长方形 D空间四边形解析：由0，0，0，0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.答案：D3已知
13、a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B.C. D.解析：由题意得ctab(2t，t4，3t2)，答案：D4(2016东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，与的夹角为120，则的值为()A B.C D解析：(1，)，cos 120，得.经检验不合题意，舍去，.答案：C5设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|等于()A.B.C. D.解析：设M(x，y，z)，则x2，y，z3，即M，|CM| .故选C.答案：C6(2016合肥模拟)向量a(2,0,5)，b(3,1，2)，c(1,4,0
14、)，则a6b8c_.解析：由a(2,0,5)，b(3,1，2)，c(1,4,0)，a6b8c(28，26，7)答案：(28，26，7)7已知向量a，b满足条件：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_解析：由于a与2ba互相垂直，则a(2ba)0，即2ab|a|20，所以2|a|b|cosa，b|a|20，则4cosa，b40，则cosa，b，所以a与b的夹角为45.答案：458空间四边形OABC中，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_解析：()|cos，|cos，OBOC，AOBAOC，0，即，cos，0.答案：09(2016唐山模拟)已知空间三点A(2,0,2)，
15、B(1，1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求a和b夹角的余弦值(2)设|c|3，c，求c的坐标解：(1)因为(1,1,0)，(1,0,2)，所以ab1001，|a|，|b|.所以cosa，b.(2)(2，1,2)设c(x，y，z)，因为|c|3，c，所以3，存在实数使得c，即联立解得或所以c(2，1,2)10(2016太原模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求的模(2)求cos，的值(3)求证：A1BC1M.解：如图，建立空间直角坐标系(1)依题意得B(0,1,0)，N(1，0,1)，所以|
16、.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)所以(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|，所以cos，.(3)依题意，得C1(0,0,2)，M，(1,1，2)，.所以00，所以.所以A1BC1M.B组高考题型专练1(2014高考广东卷)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)解析：经检验，选项B中向量(1，1,0)与向量a(1,0，1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60，故选B.答案：B2(2014高考江西卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1
17、1，AD7，AA112.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i2,3,4)，L1AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()解析：由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为yx，与直线DC的方程y7联立得F.由两点间的距离公式得E1F，tanE2E1FtanEAE1，E2FE1FtanE2E1F4.E2F11248.故选C.答案：C3(2015高考浙江卷)已知e1，e2是空间单位向量，e1e2.若空间向量b满足be1
18、2，be2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.解析：e1，e2是单位向量，e1e2，cose1，e2，又0e1，e2180，e1，e260.不妨把e1，e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e1(1,0,0)，则e2，再设b(m，n，r)，由be12，be2，得m2，n，则b(2，r)而xe1ye2是平面xOy上任一向量，由|b(xe1ye2)|1知点B(2，r)到平面xOy的距离为1，故可得r1.则b(2，1)，|b|2.又由|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1知x0e1y0e2(2，0)，解得x01，y02.答案：1,2,2
