1、合作一中2019-2020学年第一学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则“”是“”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】若则不存在，若，可得，故选D2.命题“若，则”的逆否命题是（ ）A. 若，则且B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】分析】根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题.【详解】根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：若，或，则.故选：D.【点睛】考查逆否命题的定义，以及写出原
2、命题的逆否命题的方法.3.向量，若与垂直，则实数k=( )A. 6B. 7C. 7D. 6【答案】C【解析】【分析】首先表示出的坐标，再根据与垂直，则，即可得解；【详解】解：因为，所以因为与垂直，所以，即，解得，故选：C【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.4.如果命题“pq”与命题“p”都是真命题，那么( )A. 命题p不一定是假命题B. 命题q一定为真命题C. 命题q不一定是真命题D. 命题p与命题q的真假相同【答案】B【解析】因为是真命题，所以一定为假命题，所以只有为真命题时才为真，选B5.空间直角坐标中A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，
3、D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】由已知得=（2，2，2），=（1，1，1），=2，从而得到直线AB与CD平行【详解】空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），=（2，2，2），=（1，1，1），=2，直线AB与CD平行故选A【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题6.若平面，的法向量分别为，则( )A. B. 与相交但不垂直C. D. 或与重合【答案】A【解析】【分析】可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面
4、平行【详解】解：因为平面，的法向量分别为，即，所以所以故选：A【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题7.抛物线y2ax的准线方程为x2，则a的值为()A. 4B. 4C. 8D. 8【答案】D【解析】【分析】由抛物线的准线方程为，结合题意，即可求得的值.【详解】因为的准线方程为，所以由的准线方程为，得，所以，故选D.【点睛】本题考查的是抛物线的简单性质，掌握抛物线的准线方程为，是解题的关键，属于基础题目.8.三棱锥中，则等于( )A. 0B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都
5、是已知的，得到结果【详解】解：因为，即，所以故选：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题9.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B考点：双曲线的标准方程和定义10.在长方体中，则与所成角的余弦值是( )A. 0B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值【详解】解：建立如图坐标系，在长方体中， ， ，所以，与所成角的余弦值为0故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的余
6、弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基础题11.已知抛物线准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选考点：抛物线方程和性质12.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已知命题，则：_.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结
7、论【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，故答案为：【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题14.过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则_【答案】【解析】双曲线的右焦点，渐近线方程为，过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，可得，故答案为.15.已知，若，则k=_.【答案】【解析】【分析】直接利用空间向量的数量积计算可得；【详解】解：因为，所以， 又所以所以，解得或因为，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查空间向量的数量积的运算，属于基础题.16.已知为，当B在曲线上运动时，线段的中点M的轨迹方程是_.【答案】【解析】【分析】设出的坐标，求出的坐标，动
8、点在抛物线上运动，点满足抛物线方程，代入求解，即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标，由题意点与点所连线段的中点，可知，动点在抛物线上运动，所以，所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是：故答案为：【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.若命题p：函数在区间上是减函数，写出，若是假命题，求a的取值范围.【答案】【解析】【分析】由题意知函数在区间上是减函数是真命题，从而得，从而解得【详解】解：函数在区间上不是减函数.因为为假命题，所以p为真命题.因
9、此.故，即所求a的取值范围是.【点睛】本题考查了复合命题的判断及二次函数的单调性的应用，属于基础题18.椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，）（1）求椭圆标准方程（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率【答案】（1）椭圆的标准方程为：+=1，（2）椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e=【解析】试题分析：（1）设椭圆的标准方程为+=1（ab0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（ab0），则2a=+=2，即a=，又c=2，b2=a2c2=6，故
10、椭圆的标准方程为：+=1，（2）由（1）得：椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e=考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程19.已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于的方程.【详解】， （1），所以与的夹角的余弦值为. （2），所以,即，所以或.【点睛】本题考查空间向量的夹角、数量积运算、共线向量定理，求解时要充分利用平面向量已有的知识进行问题类比求解，考查基本运算求解能力20.过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两
11、点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.【详解】解：(1)由双曲线的方程得，F1(3，0)，F2(3，0)直线AB的方程为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x26x270，.(2)直线AB的方程变形为.原点O到直线AB的距离为.【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.21.已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.（）若为等边三角形，求椭圆的方程；（）若椭圆的短轴
12、长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（）；（）或【解析】【详解】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求试题解析：（1）为等边三角形，则椭圆的方程为：； （2）容易求得椭圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，设，则， ，即解
13、得，即，故直线方程为或.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系22.如图，在直三棱柱中，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值大小【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案【详解】直三棱柱，底面三边长，两两垂直如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则（1），故。（2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由得：令，则，则故，所求二面角的余弦值。【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力