1、第2课时基本不等式与最大（小）值知能目标解读1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.重点难点点拨重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值.难点：1.不等式的综合应用.2.逆向不等式的运用.学习方法指导1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式积的形式”,还要注意“反向”不等式.在解题中的灵活运用.2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.知能自主
2、梳理常见的不等式：1.a2+b2(a、bR).2.ab（）2 (a、bR).3.若0a0,则.答案1.2ab2. 3.思路方法技巧命题方向不等式的证明技巧字母轮换不等式的证法例1已知a、b、c是正实数求证：+a+b+c.分析由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式.证明a、b、c是正实数，2=2c(当且仅当,即a=b时，取等号);+2=2a(当且仅当=,即b=c时，取等号)；+2=2b(当且仅当=,即a=c时，取等号).上面3个不等式相加得2+2+22a+2b+2c(当且仅当a=b=c时，取等号).+a+b+c.说明1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条
3、件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论.变式应用1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca.解析a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，以上三式相加得：2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca，a2+b2+c2ab+bc+ca.命题方向利用均值不等式证明不等式例2已知a0,b0,c0,且a+b+c=1.求证：9.解析解法一：a0,b0,c0,=3+=3+()+()+()3+2+2+29.即9（当且仅当a=b=c时取等号）.解法二：a0,b0,c0,（a+b+c）()=1+=3
4、+()+()+()3+2+2+29.9（当且仅当a=b=c时取等号）.说明含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a+b+c=1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.变式应用2已知a、b、c为正数，求证: +3.解析左边=.a,b,c为正数，2（当且仅当a=b时取“”）；2（当且仅当a=c时取“”）；2（当且仅当b=c时取“”）.从而()+()+()6（当且仅当 a=bc时取等号）.-33.即 +3.探索延拓创新命题方向利用基本不等式求范围例3当x0时，求f(x)=的值域.分析此题从形式
5、上看，不能使用算术平均值与几何平均值定理，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.解析x0,f(x)= =.x+2,0.00的限制，仅有xR，那么应如下求解.当x0时，同上.当x0时，x+-2，-0.-1f(x)0.当x=0时，f(x)=0.-1f(x)1.函数f(x)的值域为-1，1.变式应用3设abc,且恒成立，求m的取值范围.解析由abc知：a-b0,b-c0,a-c0.因此，不等式等价于m,要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可.=2+2+2=4.当且仅当，即2b=a+c时，等号成立.m4,即m(-,4.名师辨误做答例4已知0x1,求函数f(x)=3+lgx+的最值
6、.误解f(x)=3+lgx+3+23+227，f(x) min=7.辨析0x1,lgx0, 0,不满足“各项必须全为正数”这一前提条件，不能直接应用基本不等式.正解0x1,lgx0, 0,- 0,(-lgx)+(- )24，当且仅当-lgx=-,即lgx=-2,x=时，取等号.lgx+-4.f(x)=3+lgx+3+（-4）1.f(x)有最大值-1.课堂巩固训练一、选择题1.若ba0,则下列不等式中一定成立的是（）A.abB.baC.baD.ba答案C解析ba0,显然有b,a,由均值不等式有,故选C.2.已知a0，b0，且a+b=2,则（）A.abB.abC.a2+b22 D.a2+b22答案
7、C解析由a+b=2,得ab（）2=1,排除A、B；又（）2,a2+b22.故选C.3.用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A.3米B.4米C.6米D.12米答案A解析解法一：设隔墙的长度为xm,则矩形的宽为xm,长为=（12-2x）m,矩形的面积为S=（12-2x）x=-2x2+12x=-2(x-3) 2+18,当x=3时，S取最大值,故选A.解法二：(接解法一)S（12-2x）x=2(6-x)x2=18当且仅当6-x=x即x=3时取“”.故选A.二、填空题4.若x0，则33x+的最小值为.答案9解析x0,3+3x+3+2=3+239.当且
8、仅当x=1时，取等号.5.设x,yR，且x+y=3，则2x+2y的最小值为.答案4解析x+y=3,y=3-x,2x+2y=2x+23-x=2x+2=4,当且仅当2x=,即2x=2,x=,y=时，等号成立.三、解答题6.设a0，b0，a2+=1,求a的最大值.解析a2+=1,a2+=,a=a.当a2+=1且a=,即a=,b=时，a的最大值为.课后强化作业一、选择题1.设a0,b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A.8B.4C.1D.答案B解析由已知，得3a3b=3,3a+b=3,a+b1.a0,b0,=()(a+b)=2+2+4，当且仅当a=b=时，等号成立.2.若x0,y0,且x+
9、y4,则下列不等式中恒成立的是（）A.B. +1C.2D.1答案B解析取x=1,y=2满足x+y4排除A、C、D选B.具体比较如下：0x+y4,故A不对；4x+y2，2,C不对;又0xy4,D不对; +=， +1.3.设函数f（x）=2x+-1（x0），则f（x）（）A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数答案A解析令2x=，由x2)在x=a处取最小值,则a=（）A.1+B.1+C.3 D.4答案C解析该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题.f(x)=x+ (x2)= x-2+22+2=4.当且仅当x-2=即(x-2) 2=1,x2,x-20,x-2=1,即a=3.5
10、.设x0,y0,且xy-(x+y)=1,则（）A.x+y2(+1）B.xy+1C.x+y(+1）2D.xy2(+1）答案A解析x0,y0,xy=x+y+1（）2,(x+y) 2-4(x+y)-40，x+y2+2.故选A.6.若xR，则下列不等式成立的是（）A.lg(x2+1)lg2xB.x2+12xC. 0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是（）A.0B.1C.2D.4答案D解析因为x,a,b，y成等差数列，所以a+b=x+y.因为x,c,d,y成等比数列，所以cd=xy,所以=+2.因为x0,y0,所以+2+2=4,当且仅当x=y时，等号成立.二、填空题9
11、.(2011天津文，12)已知log2a+log2b1,则3a+9b的最小值为.答案18解析本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值.log2a+log2b1log2ab1,ab2.a2b4,a+2b24（当且仅当a=2b=2时取“=”）3a+9b=3a+32b2=22=18.（当且仅当a=2b=2时取 “=”）10.函数y=loga(x+3)-1(a0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0,则+的最小值为.答案8解析函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图像恒过点A(-2,-1),则有2m+n-1=0,即2m+
12、n=1.又mn0,+= (+)（2m+n）=4+ ()4+4=8,当且仅当2m=n时等号成立.11.已知a、b为实常数，函数y=(x-a) 2+(x-b) 2的最小值为.答案 (a-b) 2解析从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值（留给读者完成）.但若注意到（x-a）+(b-x)为定值，则用变形不等式()2更简捷.y=(x-a) 2+(x-b) 222=.当且仅当x-a=b-x,即x=时，上式等号成立.当x=,ymin=.12.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是 .6.5m6
13、.8m7m7.2m答案解析设两直角边分别为a,b，直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,ab=4,l=a+b+2+=4+26.828(m).够用且浪费最少，应选择.三、解答题13.已知a0,b0,c0,d0,求证：4.解析=2+24（当且仅当a=b且c=d时，取“”）.14.已知正常数a、b和正实数x、y，满足a+b=10，=1,x+y的最小值为18，求a,b的值.解析x+y=(x+y)1=(x+y)()=a+b+a+b+2=()2，等号在即时成立，x+y的最小值为（）2=18，又a+b=10,ab=16.a,b是方程x2-10x+16=0的两根，a=2,b=8或a=8,b=2.15.已知a
14、b0,求a2+的最小值.解析ab0,a-b0.b(a-b) ()2=, 当且仅当a-b=b,即a=2b时，等号成立.y=a2+a2+2=16,当且仅当a2=,即a=2时，等号成立.故当a=2,b=时，a2+有最小值16.16.(2012郑州模拟)某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？分析设出变量列函数关系式利用函数求最大值求平均利润利用均值不等式求值结论解析（1）设船捕捞n年后的总盈利y万元.则y=50n-98-12n+42n2+40n-98=-2(n-10) 2+102捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为=-2 (n+-20)-2 (2)=12当且仅当n=,即n=7时上式取等号.所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元.
