1、湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=x|x|2,xN ，集合 B=x|x2+x-6=0 ，则 AB= （ ） A.2B.-3,2C.-3,1D.-3,0,1,22.已知向量 a ， b 满足 |a|=1 ， b=(-2,1) ，且 |a-b|=2 ，则 ab= （ ） A.-1B.0C.1D.23.2015年11月23日，中共中央政治局审议通过关于打赢脱贫攻坚战的决定，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A.270
2、种B.240种C.210种D.180种4.在 ABC 中，内角ABC所对的边分别为abc，若 23acosC-3bcosC=3ccosB ，则角C的大小为（ ） A.6B.4C.3D.235.如图为学生做手工时画的椭圆 C1、C2、C3 (其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为 e1,e2,e3 ，则（ ） A.e1=e2e3B.e2=e3e3D.e2=e3e16.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P(mg/L) 与时间 t(h) 的关系为 P=P0e-kt .如果在前5个小
3、时消除了 10% 的污染物，那么污染物减少 19% 需要花的时间为（ ） A.7小时B.10小时C.15小时D.18小时7.若函数 f(x)=(emx-n)2 的大致图象如图所示，则（ ） A.m0,0n0,n1C.m0,0n1D.m18.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有，两条路线可走，路线穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 N(50,100) ；路线走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 N(60,16) ，若住同一地方的甲、乙两人分别有 70 分钟与 64
4、 分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ） A.、B.、C.、D.、二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是 13 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 12 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A.2个球都是红球的概率为 16B.2个球中恰有1个红球的概率为 12C.至少有1个红球的概率为 56D.2个球不都是红球的概率为 1310.若正实数a，b满足 ab 且 lnalnb0 ，下列不等式恒成立的是（ ） A.loga2logb2B.alnablnbC.2ab+12a+bD.logab011.已知点 P(548,12) 、 Q(6,
5、32) 、 R(4,1) 、 S(2,0) ，若这四个点中有且仅有两个点在函数 f(x)=sinx 的图象上，则正数 的可能值为（ ） A.2B.4C.8D.1212.如图所示，在正方体 AC1 中，E是棱 CC1 的中点，F是侧面 BCC1B1 ，(包含边界)内的动点，且 A1F/ 平面 D1AE ，下列说法正确的是（ ） A.A1F 与BE是异面直线B.A1F 不可能与 D1E 平行C.DF不可能与平面 AD1E 垂直D.三棱锥 F-ABD1 的体积为定值三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数 f(x)=(x-1)ex ，则 f(x) 在点 (1,0) 处的切线方程为_. 14.已知
6、数列 an 为等比数列，若数列 10n-an 也是等比数列，则数列 an 的通项公式可以为_.（填一个即可） 15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线 x+y=0 与 x-y=0 上的两点， C(0,2) ，M为动点，且 |OA|=|OB|,|CM|=1 ，记三角形 AOM,BOM 的面积分别为 S1,S2 ，若 S1=S2 ，则 的取值范围是_. 16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为 4cm 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为_ cm2 .现在需要在粽子内部
7、放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为_. 四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中， tanBAD=-33,tanBAC=32 . （1）求 DAC 的大小； （2）若 DC=2 ，求 ADC 周长的最大值. 18.已知复数 Zn=an+bni(an,bnR) ，满足 Z1=1,Zn+1=Zn+1+2i(nN*) ，其中i为虚数单位， Zn 表示 Zn 的共轭复数. （1）求 |Z2| 的值； （2）求 Z100 . 19.如图，在直角梯形ABCD中， AD/BC,ADDC,BC=2AD=2DC ，四边形ABEF
8、是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形 ABE1F1 的位置，使平面 ABE1F1 平面ABCD，M为 AF1 的中点，如图. （1）证明：直线DC与直线 E1M 相交； （2）求直线BM与平面 CE1M 所成角的正弦值. 20.已知点 A(x1,y1)D(x2,y2) (其中 x1x2 )是曲线 y2=8x(y0) 上的两点，点A，D两点在x轴上的射影分别为点BC，且 |BC=a . （1）当点B的坐标为 (2,0) ，且 a=6 时，求直线AD的方程； （2）记 OAD 的面积为 S1 ，梯形ABCD的面积为 S2 ，求证： S1S20 ). （1）讨论 f(x) 的单调性； （2
9、）若 f(x) 有两个极值点 x1,x2 ，且 x1x2 ，求证： f(x1)-2ln2+12 . 答案解析部分湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=x|x|2,xN ，集合 B=x|x2+x-6=0 ，则 AB= （ ） A.2B.-3,2C.-3,1D.-3,0,1,2【答案】 A 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】集合 A=x|x|2,xN=0,1,2 ，集合 B=x|x2+x-6=0=-3,2 ， 所以 AB=2 .故答案为：A. 【分析】 可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可2.已知向量 a ， b 满足
10、 |a|=1 ， b=(-2,1) ，且 |a-b|=2 ，则 ab= （ ） A.-1B.0C.1D.2【答案】 C 【考点】向量的模，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】因为 b=(-2,1) ，所以 |b|=4+1=5 ， 将 |a-b|=2 两边同时平方可得： (a-b)2=4 ，即 a2+b2-2ab=4 ， |a|2+|b|2-2ab=4所以 1+5-2ab=4 ，解得 ab=1 ，故答案为：C 【分析】 通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可3.2015年11月23日，中共中央政治局审议通过关于打赢脱贫攻坚战的决定，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工
11、作人员到甲乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A.270种B.240种C.210种D.180种【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有 C72C53=7621543321=210故答案为：C 【分析】根据组合和分步计数原理可得答案。4.在 ABC 中，内角ABC所对的边分别为abc，若 23acosC-3bcosC=3ccosB ，则角C的大小为（ ） A.6B.4C.3D.23【答案】 A 【考点】两角和与差的正弦公式 【解析】【解答】因为 23acosC-3bcosC=3c
12、cosB ， 所以 23sinAcosC-3sinBcosC=3sinCcosB ，所以 23sinAcosC=3sin(C+B)=3sinA ，因为 A,C(0,) ，所以 sinA0,cosC=32 ，又 C(0,)所以 C=6故答案为：A 【分析】利用两角和的正弦公式可得答案。5.如图为学生做手工时画的椭圆 C1、C2、C3 (其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为 e1,e2,e3 ，则（ ） A.e1=e2e3B.e2=e3e3D.e2=e3e1【答案】 D 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由图知椭圆 C1 的半长轴和半短轴分别为： a=2,b=1.5 ， 椭
13、圆 C2 的半长轴和半短轴分别为： a=4,b=2 ，椭圆 C3 的半长轴和半短轴分别为： a=6,b=3 ，所以 e1=ca=a2-b2a=1-(ba)2=1-(1.52)2=1.752 ，e2=ca=a2-b2a=1-(ba)2=1-(24)2=32 ， e3=ca=a2-b2a=1-(ba)2=1-(36)2=32 ，所以 e2=e3e1 ，故答案为：D 【分析】 由图形可知，椭圆C1、C2、C3的长半轴长，短半轴长，分别计算离心率，即可求得结论6.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P
14、(mg/L) 与时间 t(h) 的关系为 P=P0e-kt .如果在前5个小时消除了 10% 的污染物，那么污染物减少 19% 需要花的时间为（ ） A.7小时B.10小时C.15小时D.18小时【答案】 B 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】【解答】因为前5个小时消除了 10% 的污染物， 所以 P=(1-0.1)P0=P0e-5k ，解得 k=-ln0.95 ，所以 P=P0eln0.95t ，设污染物减少 19% 所用的时间为t，则 (1-0.19)P0=0.81P0=0.92P0=P0eln0.95t=P0(eln0.9)t5=P0(0.9)t5 ，所以 t5=2 ，解得 t=
15、10 ，故答案为：B 【分析】 由已知t=5h时，P=（1-10%）P0=90%P0，从而求出k的值，根据题意污染物减少19% 即(1-0.19)P0=0.81P0=P0(0.9)t5 ， 再利用指数和对数的运算即可求出t的值7.若函数 f(x)=(emx-n)2 的大致图象如图所示，则（ ） A.m0,0n0,n1C.m0,0n1D.m1【答案】 B 【考点】函数的图象 【解析】【解答】令 f(x)=0 得 emx=n ，即 mx=lnn ， 解得 x=1mlnn ，由图象知 x=1mlnn0 ，当 m0 时， n1 ，当 m0 时， 0n1 ，故排除AD，当 m0 时，易知 y=emx 是
16、减函数，当 x+ 时， y0 ， f(x)n2 ，故排除C故答案为：B 【分析】 通过函数值为0，求出x 的表达式，判断m，n的范围，排除选项AD，通过m0，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C，即可8.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有，两条路线可走，路线穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 N(50,100) ；路线走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布 N(60,16) ，若住同一地方的甲、乙两人分别有 70 分钟与 64 分钟可用，要使两人按
17、时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ） A.、B.、C.、D.、【答案】 B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】对于甲，若有 70 分钟可走，走第一条线路赶到的概率为 P(X70)=(70-5010)=(2) ， 走第二条线路赶到的概率为 P(X70)=(70-604)=(2.5) ，(2)(1) ，所以乙应走线路.故答案为：B. 【分析】分别比较甲、乙走路线 ， 的概率大小，由此可得出结论。二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是 13 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 12 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A.2个
18、球都是红球的概率为 16B.2个球中恰有1个红球的概率为 12C.至少有1个红球的概率为 56D.2个球不都是红球的概率为 13【答案】 A,B 【考点】相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】对于A选项，2个球都是红球的概率为 1312=16 ，A选项正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为 13(1-12)+(1-13)12=12 ，B选项正确；对于C选项，至少有1个红球的概率为 1-(1-13)(1-12)=23 ，C选项错误；对于D选项，2个球不都是红球的概率为 1-1312=56 ，D选项错误.故答案为：AB. 【分析】 设从甲袋中摸出一个红球为事件A，从乙袋中摸出一个红
19、球为事件分别根据概率公式计算即可10.若正实数a，b满足 ab 且 lnalnb0 ，下列不等式恒成立的是（ ） A.loga2logb2B.alnablnbC.2ab+12a+bD.logab0【答案】 C,D 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】由 lnalnb0 有 0bab1 ， 对于A，当 0bab1 都有 loga2blnb 不成立，B不符合题意；对于C，因为 ab+1-a-b=(a-1)(b-1)0 ，所以 ab+1a+b ，则 2ab+12a+b ，C符合题意；对于D，因为 lnalnb0 ，所以 logab=lnblna0 ，D 正确，
20、故答案为：CD 【分析】 判断a，b的大小，利用特殊值判断选项即可11.已知点 P(548,12) 、 Q(6,32) 、 R(4,1) 、 S(2,0) ，若这四个点中有且仅有两个点在函数 f(x)=sinx 的图象上，则正数 的可能值为（ ） A.2B.4C.8D.12【答案】 B,C 【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】对于A选项，当 =2 时， f(x)=sin2x ， f(548)=sin52412 ， f(6)=sin3=32 ， f(4)=sin2=1 ， f(2)=sin=0 ，此时， Q 、 R 、 S 三点在函数 f(x) 的图象上，A选项不合乎题意；对于B选项，当 =
21、4 时， f(x)=sin4x ，f(548)=sin51212 ， f(6)=sin23=32 ， f(4)=sin1 ， f(2)=sin2=0 ，此时， Q 、 S 两点在函数 f(x) 的图象上，B选项合乎题意；对于C选项，当 =8 时， f(x)=sin8x ，f(548)=sin56=12 ， f(6)=sin4332 ， f(4)=sin21 ， f(2)=sin4=0 ，此时， P 、 S 两点在函数 f(x) 的图象上，C选项合乎题意；对于D选项，当 =12 时， f(x)=sin12x ，f(548)=sin5412 ， f(6)=sin232 ， f(4)=sin31 ，
22、 f(2)=sin6=0 ，此时， S 点在函数 f(x) 的图象上，D选项不合乎题意.故答案为：BC. 【分析】 由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数的最小值，从而得出结论12.如图所示，在正方体 AC1 中，E是棱 CC1 的中点，F是侧面 BCC1B1 ，(包含边界)内的动点，且 A1F/ 平面 D1AE ，下列说法正确的是（ ） A.A1F 与BE是异面直线B.A1F 不可能与 D1E 平行C.DF不可能与平面 AD1E 垂直D.三棱锥 F-ABD1 的体积为定值【答案】 A,C,D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系
23、【解析】【解答】取 BB1，B1C1 的中点N，M，连接 A1M,A1N,MN，BC1 ， 则 A1N/D1E,MN/BC1/AD1 ，又 A1N 面 A1MN ， MN 面 A1MN ， A1NMN=N ， D1E 面 AD1E ， AD1 面 AD1E ，所以面 A1MN/ 面 AD1E ，又 A1F/ 平面 D1AE ， A1F 平面 A1MN ，所以点F的轨迹是线段MN，对于A：因为 MN/BC1 ，所以点F一定不在 BC1 上，所以 A1F 与BE是异面直线，A符合题意；对于B：当点F与点N重合时， A1F/D1E ，B不正确；对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中 DB1 面
24、 AD1E ，若 DF 面 AD1E ，则 DB1/DF ，这显然不可能，所以DF不可能与平面 AD1E 垂直，C符合题意；对于D：因为 MN/AD1 ， AD1 面 ABD1 ， MN 面 ABD1 ，所以 MN/ 面 ABD1 ，所以点F到面 ABD1 的距离是定值，所以三棱锥 F-ABD1 的体积为定值，D符合题意，故答案为：ACD 【分析】取 BB1，B1C1 的中点N，M，连接 A1M,A1N,MN，BC1 ，对于A：因为 MN/BC1 ，所以点F一定不在 BC1 上，所以 A1F 与BE是异面直线；对于B：当点F与点N重合时， A1F/D1E ； 对于C：因为点F的轨迹是线段MN，
25、又正方体中 DB1 面 AD1E ，若 DF 面 AD1E ，则 DB1/DF ，这显然不可能，所以DF不可能与平面 AD1E 垂直；对于D：因为 MN/AD1 ， AD1 面 ABD1 ， MN 面 ABD1 ，所以 MN/ 面 ABD1 ，所以点F到面 ABD1 的距离是定值，所以三棱锥 F-ABD1 的体积为定值。三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数 f(x)=(x-1)ex ，则 f(x) 在点 (1,0) 处的切线方程为_. 【答案】 ex-y-e=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】因为 f(x)=xex ，所以 f(1)=e ，所以 f(x) 在点
26、 (1,0) 处的切线方程为 y-0=e(x-1) ，即ex-y-e=0 故答案为：ex-y-e=0 【分析】求导得f(x)=xex ，即可得出 f(x) 在点 (1,0) 处的切线方程。14.已知数列 an 为等比数列，若数列 10n-an 也是等比数列，则数列 an 的通项公式可以为_.（填一个即可） 【答案】an=-10n （答案不唯一） 【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】取 an=-10n ，则 an+1an=-10n+1-10n=10 ， 10n+1-an+110n-an=210n+1210n=10 ， 所以，数列 10n-an 和 an 都是等比数列.故答案为： an=-
27、10n （答案不唯一）. 【分析】 直接利用等比数列的通项公式求出首项和公差，进一步确定数列的通项公式.15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线 x+y=0 与 x-y=0 上的两点， C(0,2) ，M为动点，且 |OA|=|OB|,|CM|=1 ，记三角形 AOM,BOM 的面积分别为 S1,S2 ，若 S1=S2 ，则 的取值范围是_. 【答案】2-3,2+3【考点】两角和与差的正弦公式 【解析】【解答】依题意得点M在以 C 为圆心半径为1的圆上，如图所示： 依题意得 S1=12|OA|OM|sinAOM ， S2=12|OB|OM|sinBOM ，又因为 |OA|=|OB|所以 =
28、S1S2=sinAOMsinBOM ，当直线 OM 与圆 C 相切时， sinCOM=|CM|OC|=12 ，得 COM=30 ，又因为 AOC=BOC=45所以 AOM=45+30=75 ， BOM=45-30=15 ，此时 max=S1S2=sin75sin15=sin(45+30)sin(45-30)=6+26-2=2+3或 AOM=45-30=15 ， BOM=45+30=75此时 min=S1S2=sin15sin75=sin(45-30)sin(45+30)=6-26+2=2-3所以 2-3,2+3故答案为： 2-3,2+3 【分析】依题意得点M在以 C 为圆心半径为1的圆上，依题
29、意得 S1=12|OA|OM|sinAOM ， S2=12|OB|OM|sinBOM ， =S1S2=sinAOMsinBOM ， max=S1S2=sin75sin15=sin(45+30)sin(45-30)=6+26-2=2+3 ， min=S1S2=sin15sin75=sin(45-30)sin(45+30)=6-26+2=2-3 ， 即可得出 的取值范围 。16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为 4cm 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为_ cm2 .现
30、在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为_. 【答案】16+163；3-12【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】正四棱锥的表面积为 S=41242sin3+42=(16+163)(cm2) ， 如下图所示： 设正四棱锥 P-ABCD 底面 ABCD 的中心为点 E ，则 PE 底面 ABCD ，AE=12AC=22AB=22 ， PE=PA2-AE2=22 ，VP-ABCD=13S正方形ABCDPE=134222=3223 ，设正四棱锥 P-ABCD 的内切球球心为 O ，球 O 的半径为 r ，由 VP-ABC
31、D=VO-PAB+VO-PBC+VO-PCD+VO-PDA+VO-ABCD=13r(SPAB+SPBC+SPCD+SPDA+S正方形ABCD)=13rS ，所以， r=3VP-ABCDS=32216+163=6-2 ，所以， rPE=6-222=3-12 .故答案为： 16+163 ； 3-12 . 【分析】 由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求；求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径，作比得答案四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中， tanBAD=-33,tanBAC=32 . （1）求 DAC 的大小； （2）若 DC=2
32、 ，求 ADC 周长的最大值. 【答案】 （1）解：因为 DAC=BAD-BAC ，且 tanBAD=-33,tanBAC=32 ， 所以 tanDAC=tan(BAD-BAC) ，=tanBAD-tanBAC1+tanBADBAC ，=-33-321-3332=3 ，因为 DAC(0,) ，所以 DAC=3 ；（2）解：由正弦定理得 DCsinDAC=ADsinACD=ACsinADC=433 ， 所以 AD=433sinACD,AC=433sinADC ，所以 ADC 的周长为 2+AD+AC=2+433(sinACD+sinADC) ，=2+433(sinACD+sin(23-ACD)
33、，=2+433(32sinACD+32cosACD) ，=2+4sin(ACD+6) ，因为 0ACD23 ，所以 6ACD+656 ，所以 12sin(ACD+6)1 ，所以 ADC 的周长的最大值为 2+41=6 .【考点】两角和与差的正切公式，正弦定理 【解析】【分析】（1）利用两角和差的正切公式即可求出 DAC的大小 ； （2）由正弦定理可得 AD=433sinACD,AC=433sinADC ，即可得 ADC的周长为 2+AD+AC=2+433(sinACD+sinADC)=2+4sin(ACD+6)，由 0ACD23 得 12sin(ACD+6)1， 可得 ADC的周长的最大值 。
34、18.已知复数 Zn=an+bni(an,bnR) ，满足 Z1=1,Zn+1=Zn+1+2i(nN*) ，其中i为虚数单位， Zn 表示 Zn 的共轭复数. （1）求 |Z2| 的值； （2）求 Z100 . 【答案】 （1）解：由题意知， Z2=a2+b2i ， Z1=1,Z2=Z1+1+2i=2+2i|Z2|=22+22=22 ；（2）解： a1=1,a2=2 ； b1=0,b2=2Zn=an-bni(an,bnR) ， Zn+1=Zn+1+2i=an-bni+1+2i=an+1+(2-bn)i又 Zn+1=an+1+bn+1i ， an+1=an+1,bn+1=2-bn则 an 是以
35、1 为首项， 1 为公差的等差数列， a100=1+991=100b1=0,b2=2,b3=0,b4=2. ， b100=2故 Z100=100+2i 【考点】复数求模 【解析】【分析】（1） 由题意知，Z2=a2+b2i，Z1=1,Z2=Z1+1+2i=2+2i ，再根据模长公式得出 |Z2|的值 ； （2）由 Zn=an-bni(an,bnR)，得 Zn+1=an+1+(2-bn)i ， 则an是以1为首项，1为公差的等差数列， 进而得出 Z100.19.如图，在直角梯形ABCD中， AD/BC,ADDC,BC=2AD=2DC ，四边形ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形
36、 ABE1F1 的位置，使平面 ABE1F1 平面ABCD，M为 AF1 的中点，如图. （1）证明：直线DC与直线 E1M 相交； （2）求直线BM与平面 CE1M 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明：建立如图所示空间直角坐标系： 设AD=1，则 D(2,1,0),C(2,0,0),E1(0,0,2),M(1,1,22) ，所以 DM=(-1,0,22),CE1=(-2,0,2) ，所以 DM=12CE1 ，则 DM/CE1 ，因为 DM,CE1 不重合，所以 DM/CE1 ，所以 C,D,M,E1 四点共面，在直角梯形ABCD中，因为 AD/BC ，设 CDAB=P ，则 PCD,PA
37、B ，所以 P 平面 CDME1 ， P 平面 BAME1又因为平面 CDME1 平面 BAME1=ME1 ，所以 PME1 ，所以直线DC与直线 E1M 相交；（2）解：由（1）知 BM=(1,1,22),CE1=(-2,0,2),E1M=(1,1,-22) ， 设平面 CE1M 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，则 nCE1=0nE1M=0 ，即 -2x+2z=0x+y-22z=0 ，令 x=1 ，得 n=(1,0,2) ，设直线BM与平面 CE1M 所成的角为 ，所以 sin=|cosn,BM|=|nBM|n|BM|=23015 ，故直线BM与平面 CE1M 所成角的正弦值是 230
38、15【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1） 建立如图所示空间直角坐标系， 设AD=1，求出D，C，E1 ， M的坐标，得出 DM=12CE1， 则DM/CE1， 所以C,D,M,E1四点共面， 再由 平面CDME1平面BAME1=ME1 ，可得 直线DC与直线E1M相交 ； （2）利用向量法可求出 直线BM与平面CE1M所成角的正弦值 。20.已知点 A(x1,y1)D(x2,y2) (其中 x1x2 )是曲线 y2=8x(y0) 上的两点，点A，D两点在x轴上的射影分别为点BC，且 |BC=a . （1）当点B的坐标为 (2,0) ，且 a=6 时，求直线AD的方程；
39、（2）记 OAD 的面积为 S1 ，梯形ABCD的面积为 S2 ，求证： S1S20km0 ，又因为 x1x2 代入曲线方程有 y10 ，所以 m0 ，所以 0km0，f(t)在(0,4)单调递增，当t(4,+)时，f(t)0 ). （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）若 f(x) 有两个极值点 x1,x2 ，且 x1x2 ，求证： f(x1)-2ln2+12 . 【答案】 （1）解： f(x)=1x+1+a(2x+1)=2ax2+3ax+a+1x+1 ， 记 g(x)=2ax2+3ax+a+1 ， =a2-8a ，当 0 ，即 00 ，即当 a8 时， g(x)=0 有两个实根 x1=-
40、3a-a2-8a4a ， x2=-3a+a2-8a4a ，注意到 g(0)=a+10 ， g （1） =6a+10 且对称轴 x=-34(-1,0) ，故 x1 ， x2(-1,0) ，所以当 -1xx2 时， g(x)0 ， f(x)0 ， f(x) 单调递增；当 x1xx2 时， g(x)0 ， f(x)0 ， f(x) 单调递减综上所述，当 08 时， f(x) 在 (-1,-3a-a2-8a4a) 和 (-3a+a2-8a4a,+) 上单调递增，在 (-3a-a2-8a4a,-3a+a2-8a4a) 上单调递减（2）解： f(x) 有两个极值点 x1,x2 ，且 x1x2 ， x1 为
41、 f(x) 的极大值点 由（1）知， -1x1-34 ，又 g(x1)=0 ， a=-12x12+3x1+1f(x1)=ln(x1+1)+-12x12+3x1+1(x12+x1)+2=ln(x1+1)-x12x1+1+2设 (t)=ln(t+1)-t2t+1+2(-1t0(t) 单调递增， (t)(-34)=-2ln2+12即 f(x1)0gx的正负，即 f(x)的正负，进而得出 f(x)的单调性 ； （2）求出 f(x1)=ln(x1+1)+-12x12+3x1+1(x12+x1)+2=ln(x1+1)-x12x1+1+2， 设(t)=ln(t+1)-t2t+1+2(-1t-34) ，根据函数的单调性证明即可
