1、1函数零点的概念对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的_例如：二次函数yx2x2函数图象与x轴的交点为_，有2个零点是_2函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的_，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的_例如：已知函数f(x)的零点为x3，则方程f(x)0的实数根为_，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标为_3方程f(x)0有_函数yf(x)的图象与x轴有_函数yf(x)有_4函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在_内有零点例如：二次函数f(x)x22x3的图象：f(2) f(1)_0(填
2、“”或“”)在区间_上有_基础梳理1f(x)0零点(1，0)，(2，0)1与22实数根横坐标x333.实数根交点零点4(a，b)(2，1)零点 1如果f(x)是区间上的单调函数，且满足f(a)f(b)0，那么f(x)在区间上一定有零点吗？解析：不一定若f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，那么f(x)在区间恰有一个零点；若f(x)在区间上的图象不是一条连续的曲线，那么f(x)在区间上可能没有零点如函数f(x)2如果函数f(x)在区间有零点，那么一定有f(a)f(b)0吗？2解析：如果函数f(x)在区间有零点，不一定有f(a)f(b)0.3如果连续函数f(x)在区间没有零点，是否一定有f(
3、a)f(b)0?3解析：连续函数f(x)在区间没有零点，意味着函数f(x)在区间上的函数值同号，故一定有f(a)f(b)0.1观察下面的四个函数图象，在(0，)上，方程fi(x)0(i1，2，3，4)有解的是()2函数f(x)x23x2的零点是() A(1，0)B. (2，0)C. (1，0)与(2，0) D1与2自测自评1解析：观察图象知，方程f3(x)0在(0，)内有解故选C.答案：C2解析：零点是数而不是点故选D.答案：D3解析：由ax10，得ax1.当a0时，方程ax1无解，函数f(x)ax1无零点；当a0时，方程ax1的解为x，函数f(x)ax1有一个零点为.基础达标1函数f(x)x
4、的零点个数是()A0个 B1个C2个 D无数个1解析：由f(x)0，得x0，解得x2.函数f(x)x有两个零点，故选C.答案：C2方程lg xx0在下列的哪个区间内有实数解()A10，0.1 B0.1，1C1，10 D(，0 2解析：记f(x)lg xx，f(0.1)f(1)(lg 0.10.1)(lg 11)0.910，在0.1，1内有解答案：B3对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则下列判断中正确的是()A方程f(x)0一定有根B方程f(x)0一定无根C方程f(x)0一定有两根D方程f(x)0可能无根3解析：题中没说f(x)的图象是连续不断的一条曲线答案：D4已知f(x)是定义域在R上
5、的奇函数且在(0，)上的零点有1 007个，则f(x)的零点的个数为()A2 012 B2 013C2 014 D2 0154解析：f(x)是奇函数且在(0，)上的零点有1 007个，f(0)0且f(x)在(，0)上有1 007个零点故f(x)有1 007212 015个零点故选D.答案：D5函数yln x2x6的零点必定位于下列区间()A(1，2) B(2，3) C(3，4) D(4，5) 5解析：记f(x)ln x2x6.f(2)f(3)(ln 22)(ln 3)0.答案：B6若函数f(x)2(m1)x24mx2m1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为_6解析：当m10时，f(x)4x
6、3是一次函数，不可能满足题意，m1.当m10时，只需16m242(m1)(2m1)0，解得m1且m1.m的取值范围是(，1)(1，1)答案：(，1)(1，1)巩固提高7方程|x1|2x根的个数为()A0 个 B1个 C2 个 D3个7解析：|x1|2x根的个数就是函数y|x1|与函数y2x的图象交点的个数故有3个交点答案：D8若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是_8解析：函数f(x)x22xa没有零点，方程x22xa0没有实根，44a0，即a1.a的取值范围是(1，)答案：(1，)9已知函数f(x)3ax12a在1，1上存在零点x0，且x01，求实数a的取值范围9解析：当a0
7、时，函数f(x)1，不合题意；当a0时，函数f(x)的图象是一条直线，依题意，有f(1)f(1)0(a1)(5a1)0(a1)(5a1)0a1或a.综上可知，实数a的取值范围为(，1).10若关于x的方程4x2x aa10有实数根，求实数a的取值范围10解析：令t2x，t0，关于x的方程4x2x aa10有实数根等价于方程t2ata10(t0)有正实数根，令f(t) t2ata1，则a24a4.故方程t2ata10(t0)有正实数根等价于方程有一个正根一个负根：由f(0)0，得a1.方程有两个相等的正数根：由a22.方程有两个不相等的正数根或有一个零根一个正根时：由1a22.求的并集，得实数a的取值范围为(，221学习函数零点的概念要注意联系函数、方程、不等式内容以及数形结合，理解其本质2零点不是点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，是一个实数方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3应用以前已学习过知识解决函数零点问题，如二次方程判别式、求根公式、根与系数的关系等
