1、章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为()A(13，0)B(0，10)C(0，13) D(0，)解析：选D.由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.依题意得c4，e2，a2，b2c2a212，因此所求的双曲线的标准方程为1，故选A.3若点P到直线x1的距
2、离比到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选D.点P到直线x1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P到直线x2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线4已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为()A. B.C. D.解析：选B.根据椭圆定义可得42a14，解得a5，故其离心率e，故选B.5双曲线的两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率是()A2或 B2C. D.解析：选A.不妨设双曲线方程为1(a0，b0)，则渐近线方程为yx.由题意，则或，所以
3、或，可以求得e或2.6直线l过点(，0)且与双曲线x2y22仅有一个公共点，则这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选C.点(，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点所以共有3条7已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为xy0，则双曲线的方程为()Ax2y250Bx2y224Cx2y250Dx2y224解析：选D.因为双曲线与椭圆1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，且焦点坐标为(0，4)，(0，4)又双曲线的一条渐近线方程为xy0，所以可设双曲线方
4、程为y2x2(0)，则248，24，故所求双曲线的方程为y2x224，即x2y224.8过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A8 B16C32 D64解析：选B.抛物线中2p8，p4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45的直线方程为yx2，由得x212x40，则x1x212(x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标)从而弦长为x1x2p12416.9直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm1或0m1Cm1且m5D0m0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于()A. B.C. D.解析：
5、选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20.由得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x24，根据抛物线的定义得，|FA|x1x12，|FB|x22.因为|FA|2|FB|，所以x12x22，由得x21(x22舍去)，所以B(1，2)，代入yk(x2)得k.12已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22解析：选C.由题意，知a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，
6、联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，所以直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13若椭圆1过抛物线y28x的焦点，且与双曲线x2y21有相同的焦点，则该椭圆的方程为_解析：抛物线y28x的焦点坐标为(2，0)，双曲线x2y21的焦点坐标为(，0)由题意得所以a24，b22，所以椭圆的方程为1.答案：114过直线y2与抛物线x28y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为_解析：依题意，抛物线x28y的焦点(0，2)即为圆心，准线y2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2(2)4，故圆的方程为x2(y2)216.答案：x2(y2)
7、21615已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3，0)，且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程为_解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，又c2a2b2，所以c5，b4，所以双曲线的标准方程为1.答案：116如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上，则抛物线E的方程为_解析：依题意知，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在抛物线E：x22py(p0)上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.答案：x24y
8、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知抛物线C：x24y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e.求椭圆E的方程解：因为椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆E的方程为1，半焦距为c(a0，b0，c0)由题意知F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点，所以b1，又由，a2b2c2，得a2，c.所以椭圆E的方程为y21.18(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y
9、22px(p0)，因为点P在抛物线上，所以62p，所以p2，所以所求抛物线的方程为y24x.因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，所以c1，即a2b21，又点P在双曲线上，所以1，由得或(舍去)所以所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分12分)已知点P(3，4)是椭圆1(ab0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)PF1F2的面积解：(1)令F1(c，0)，F2(c，0)，则b2a2c2.因为PF1PF2，所以kPF1kPF21，即1，解得c5，所以设椭圆方程为1.因为点P(3，4)在椭圆上，所以1.解得a245或a25.又因为ac，所
10、以a25舍去故所求椭圆的方程为1. (2)由椭圆定义知|PF1|PF2|6， 又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100，2，得2|PF1|PF2|80，所以SPF1F2|PF1|PF2|20.20(本小题满分12分)如图，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y22x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OMON.解：(1)设直线l的方程为yk(x2)(k0)由及y22x消去y可得k2x22(2k21)x4k20.点M，N的横坐标x1，x2是方程的两个根，由根与系数的关系得x1x24，由y2x1，y2x2，得(y1y2)24
11、x1x24416，又y1y20，即m.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0，y0x0mm.又点N在直线l上，所以mb，于是bm，所以l在y轴上的截距的取值范围为.22(本小题满分12分)如图，抛物线C1：y24x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求A1A2的长解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依据题意得c1，则a2，b2a2c23，故椭圆的标准方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时，B1，B2，又F1(1，0)，此时0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件当直线l不与x轴垂直时，设l：yk(x1)，由，得(34k2)x28k2x4k2120.因为焦点在椭圆内部，所以直线l与椭圆恒有两个交点设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以0，又F1(1，0)，所以(1x1)(1x2)y1y20，即(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k20，解得k2.由，得k2x2(2k24)xk20.设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则x3x42，x3x41，所以|A1A2|x3x4222.
