1、第十八章第2节特殊的平行四边形提高训练卷 (20)一、单选题1如图的正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC10，CF8若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（ ）A4B5C4D52如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AECF，EF与AC相交于点O，连接BO若DAC36，则OBC的度数为（ ）A36B54C64D723如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB6cm，BC8cm则EF的长是（ ）A2.2cmB2.3cmC2.4cmD2.5cm4如图，矩形中，过对角线上一点作/，
2、分别交于点，交于点，连接，已知与的面积和等于（ ）A15B12C10D75如图，菱形的边长为10，对角线16，点分别是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则长为（ ）A13B10C12D56如图所示，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A2B2C3D47菱形的对角线，相交于点，且，则四边形是（ ）A梯形B矩形C菱形D正方形8如图，在ABC中，BAC90，AB6，AC8，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A5B2.5C4.8D2.49如图，等腰
3、直角三角形ABC，B90，沿DE（DEB45）剪去BDE（3BEAB），取AE中点F，沿FG（FGAE）剪去AGF，作GHCD，沿GH剪去GCH，记SBDES1，SAGFS2，SCGHS3，五边形DEFGH的面积为S4，若S2+S3S46，则S1（）A1.5B3C4.5D6二、解答题10如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC2AB，BEAC，OEAB（1）求证：四边形ABEO是菱形；（2）若AC2，BD4，则四边形ABEO的面积是 11如图，矩形ABCD中，AB6，BC4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2
4、）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长12如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AECG，AHCF，且EG平分HEF（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若EF4，HEF60，求EG的长13如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作，作BM于M，DN于N，直线MB、ND分别交于Q、P求证：四边形PQMN是正方形14如图，等边AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且CEF45求证：矩形ABCD是正方形15如图，已知在ABC中ABAC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，FCACEG（1）求证：
5、ADCF；（2）求证：四边形ADCF是矩形16如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O（1）求证：AOMCON；（2）若AB3，AD6，请直接写出AE的长为17如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DECF，AF与BE相交于点G（1）求证：BEAF；（2）若AB4，DE1，求AF的长18已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点求证：19如图，ABC中，分别以AB、AC为边在ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE，四边形ADFE是平行四边形（1）求证：ACDAEB；（2）当B
6、AC的度数为时，平行四边形ADFE是矩形；当BAC的度数为时，平行四边形ADFE不存在；（3）当ABC满足时，平行四边形ADFE是菱形20如图，在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC12，AB16，求菱形ADCF的面积21在正方形中，是一条对角线，点在线段上（与点、不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，过点作，垂足为，连接，（1）根据题意补全图形；（2）求证：22如图，在ABCD中， BAAC，延长DC至E，使得DC=CE，连接BE，连接AE交BC于O，（1）求证：COEBOA；（2）当
7、AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由三、填空题23如图，在RtABC中，C90，点E在AC边上，且ABE2CBE，过点A作ADBC，交BE的延长线于点D，点F为DE的中点，连接AF，若DE，则AB的长为_24如图，ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为_25如图，已知点A、B、E在同一直线上，AB18，BE7，分别以AB、BE为边作菱形ABCD和菱形BEFG，且ABCBEF60，连接DF，若点P是线段DF的中点，连接PCPG则线段PC的长为_26如图，在中，按以下步骤作图：以点A为圆心，的长为半
8、径画弧，交于点F；分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；作射线，交边于点E，交于点O，连接若，则四边形的面积为_27如图，四边形ABCD是正方形，CBE是等边三角形，则AEB_28如图，有一张矩形纸条，点M，N分别在边上，现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点，上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为_29如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到，再以对角线，为边作第四个正方形，连接，得到，设，的面积分别记为，如此下去，则的值为_30如图a是长方形纸带，DEF=2
9、2，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是_【答案与解析】1A【解析】由题意知FP的长度最小值即为F到AC的距离，作FMAC，根据题意得正三角形ABC与正方形CDEF的角分别为60和90，知FCM=30，由30的直角三角形的性质，即可求解解：如图，过点F，作FMAC交AC于点M，此时FM为FP的最小值，ACD60，FCD90，FCM180ACBFCD180609030，又FMC90，MFFC4，即PF的长度最小值为4，故选：A本题考查正方形的性质和正三角形的性质，解题关键是熟练掌握30的直角三角形性质2B【解析】利用菱形的性质，DACACB，AOECOF，从而为等
10、腰三角形三线合一性质的运用创造条件解：四边形ABCD是菱形，ABBCADCD，ABCD，ADBC，EAOFCO，DACACB36，在AOE和COF中，AOECOF（AAS），AOCO，又ABBC，BOAC，OBC90ACB54，故选：B本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握菱形的性质，准确判断三角形的全等，活用等腰三角形，直角三角形的性质是解题的关键3D【解析】根据矩形性质得出ABC=90，BD=AC，BO=OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可解：四边形ABCD是矩形，ABC90，BD
11、AC，BOOD，AB6cm，BC8cm，由勾股定理得：AC10（cm），BD10cm，DO5cm，点E、F分别是AO、AD的中点，EF是AOD的中位线，EFOD2.5cm，故选：D本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半4C【解析】根据矩形的性质和三角形面积关系可证明SDEM=SBFM，即可求解解：作PMAB于P，交DC于Q则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，SDEM=SDQM，SQCM=SMFC，SAEM=SAPM，SMPB=SMFB，SABC=SADC，SABC-SAMP-SMCF=SADC-
12、SAEM-SMQC，S四边形DEMQ=S四边形MPBF，DE=CF=2，SDEM=SMFB=25=5，SDEM+SMFB=5+5=10，故选：C本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF5C【解析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG解：连接BD，交AC于点O，如图：菱形ABCD的边长为10，点E、F分别是边CD、BC的中点，ABCD，AB=BC=CD=DA=10，EFBD，AC、BD是菱形的对角线，AC=16，ACBD，AO=CO=8，OB=OD，又ABC
13、D，EFBD，DEBG，BDEG，四边形BDEG是平行四边形，BD=EG，在COD中，OCOD，CD=10，CO=8，OB=OD=，BD=2OD=12，EG=BD=12；故选：C本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键6D【解析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点此时PD+PE=BE，而BE是等边ABE边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而求出结果设BE与AC交于点P，连接BD点B与D关于AC对称，PDPB，PD+PEPB+PEBE最小正方形ABCD的面积为16，
14、AB4，又ABE是等边三角形，BEAB4故选：D本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键7B【解析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出ACBD，根据矩形的判定定理证明即可解：DEAC，CEDB，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD为菱形，ACBD，COD90，四边形OCED是矩形，故选：B本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，掌握有一个角是直角的平行四边行是矩形是解题的关键8D【解析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP
15、最短时的长，然后即可求出PM最短时的长解：连接AP，如图所示：BAC90，AB6，AC8，BC10，PEAB，PFAC，四边形AFPE是矩形，EFAP，EF与AP互相平分，M是EF的中点，M为AP的中点，PMAP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即APBC时，AP最短，同样PM也最短，当APBC时，AP4.8，AP最短时，AP4.8，当PM最短时，PMAP2.4故选：D此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键9B【解析】由题意，ABC，AFG，CGH，DEB都是等腰直角三角形，设AFFGa，GH
16、CHb，可得EFAFa，所以BEBDba，根据S2+S3S46可得（ba）26，而S1(ba)2，即可求得S1解：由题意，ABC，AFG，CGH，DEB都是等腰直角三角形，四边形BFGH是矩形，设AFFGa，GHCHb，EFAFa，BEBDba，S2+S3S46，a2+b2ab(ba)26，整理得(ba)26，S1(ba)23，故选：B本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积，矩形的面积等知识解题的关键是学会用参数解决问题10（1）证明见解析；（2）【解析】（1）先根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据平行
17、四边形的性质可得，再根据菱形的性质可得，然后利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后利用菱形的面积公式即可得（1）证明：，四边形是平行四边形，点是平行四边形对角线的交点，且，四边形是菱形；（2）如图，连接，交于点，四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，在中，则四边形的面积为本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键11（1）见解析；（2）【解析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长（1）证明：四边
18、形ABCD是矩形，O是BD的中点，A90，ADBC4，ABDC，OBOD，OBEODF，又BOEDOF，BOEDOF（ASA），EOFO，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BEDE，设BEx，则 DEx，AE6x，在RtADE中，DE2AD2+AE2，x242+（6x）2，解得：x ，DFDE=本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的四条边相等，是解题的关键12（1）证明见解析；（2）4 【解析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，那么EFGH，那么HGE=FEG，而EG是角平分线，易得HEG=FEG，根据等量代换可得HEG=
19、HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形；（2）连接FH交EG于O，在RtEOF中，解直角三角形即可解决问题；解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AC，在AEH与CGF中，AEHCGF（SAS）；EHFG四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，BD又AECG，AHCF，BEDG，BFDH，在BEF与DGH中，BEFDGH（SAS），EFGH四边形EFGH是平行四边形，HGEF，HGEFEG，EG平分HEF，HEGFEG，HEGHGE，HEHG，又四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是菱形（2）连接HF交EG于O，则OFEG，OE=EG四边形EFGH是菱形，EGF
20、H，FEOHEF30，EF4，OFEF2由勾股定理得，OE=2，EG2EO4本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形13证明见解析【解析】先证明四边形PQMN为矩形，再证明有一组邻边相等即可证明：，BM，DN，QMNPN90，四边形PQMN为矩形，ABAD，MN90ADN+NAD90，NAD+BAM90，ADNBAM，又ADBA，RtABMRtDAN（AAS），AMDN同理ANDP，AM+ANDN+DP，即MNPN四边形PQMN是正方形本题考查了矩形的判定，正方形的性质和判定，平行线的性
21、质，根据题意，熟练进行矩形的判定，准确选择正方形的判定方法是解题的关键14证明见解析【解析】由题意可得AEBAFD，从而得到AB=AD，并最终得到所证结论成立解：四边形ABCD是矩形，BDC90，AEF是等边三角形，AEAF，AEFAFE60，CEF45，CFECEF45，AFDAEB180456075，AEBAFD（AAS），ABAD，矩形ABCD是正方形本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定、矩形的性质、三角形全等的判定和性质是解题关键15（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）先证EG是ACD的中位线，得EGAD，再由FCA=CEG证出EGCF，即可得出结论；（2）先证ADE
22、CFE（AAS），得AD=CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得ADC=90，即可得出结论解：（1）证明：E，G分别是AC，DC的中点，EG是ACD的中位线，EGAD，FCACEG，EGCF，ADCF；（2）证明：由（1）得：ADCF，DAEFCE，ADECFE，E是AC的中点，AECE，ADECFE（AAS），ADCF，四边形ADCF是平行四边形，又ABAC，AD是BC边上的中线，ADBC，ADC90，平行四边形ADCF是矩形本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与
23、性质是解题的关键16（1）证明见解析；（2）【解析】（1）利用线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可得到判定AOMCON的条件；（2）连接CE，设AE=CE=x，则DE=6-x，再根据勾股定理进行计算，即可得到AE的长解：（1）MN是AC的垂直平分线，AOCO，AOMCON90，四边形ABCD是矩形，ABCD，MN，在AOM和CON中，AOMCON（AAS）；（2）如图所示，连接CE，MN是AC的垂直平分线，CEAE，设AECEx，则DE6x，四边形ABCD是矩形，CDE90，CDAB3，RtCDE中，CD2+DE2CE2，即32+（6x）2x2，解得x，即AE的长为故答案为：本题主要考查了
24、矩形的性质以及全等三角形的判定，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等17（1）见解析；（2）5【解析】（1）由正方形的性质得出BAEADF90，ABADCD，得出AEDF，由SAS证明BAEADF，即可得出结论；（2）由正方形的性质与已知线段求出AE，再由勾股定理求得BE，便可得AF的长度解：（1）四边形ABCD是正方形，BAEADF90，ABADCD，DECF，AEDF，在BAE和ADF中， BAEADF（SAS），BEAF；（2）解：AB4，四边形ABCD是正方形，AD4，DE1，AE3，BE5，BAEADF，BEAF5本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质
25、、勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键18见解析【解析】根据矩形的性质证明即可证明：四边形ABCD是矩形，CADB，OACA，OBDB，OAOB，AEBD于点E，BFAC于点FAEOBFO90，AOEBOF，在AEO与BFO中，AEOBFO（AAS），AEBF此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定和性质进行证明19（1）见解析；（2）150，60；（3）ABAC【解析】（1）利用等边三角形的性质，证明ACDAEB即可；（2）由BAC150时，求解DAE90，结合四边形ADFE是平行四边形，可得平行四边形ADFE是矩形；由BAC60
26、，证明D、A、E三点共线，可得平行四边形ADFE不存在；（3）由ABD和ACE是等边三角形，可得ADAB，AEAC，结合平行四边形ADFE是菱形，可得ADAE，从而可得ABAC解：（1）证明：ABD和ACE是等边三角形，ADAB，AEAC，ACEAECDABEAC60，DAB+BACEAC+BAC，DACBAE，在ACD和AEB中，ACDAEB（SAS）；（2）解：当BAC的度数为150时，平行四边形ADFE是矩形；当BAC的度数为60时，平行四边形ADFE不存在；理由如下：当BAC150时，DABCAE60，DAE360150606090，又四边形ADFE是平行四边形，平行四边形ADFE是矩
27、形；当BAC60，BAC+DAB+CAE180，D、A、E三点共线，平行四边形ADFE不存在；故答案为：150，60；（3）解：当ABC满足ABAC时，平行四边形ADFE是菱形，理由如下：ABD和ACE是等边三角形，ADAB，AEAC，ABAC，ADAE，又四边形ADFE是平行四边形，平行四边形ADFE是菱形，故答案为：ABAC本题考查的是三角形全等的判定与性质，矩形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键20（1）见解析；（2）S菱形ADCF96【解析】（1）先证明AEFDEB（AAS），得AFDB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：ADCD，
28、根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；（2）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积直角三角形ABC的面积，即可解答（1）证明：E是AD的中点，AEDE，AFBC，AFEDBE，在AEF和DEB中，AEFDEB（AAS），AFDB，D是BC的中点，AFDBDC，四边形ADCF是平行四边形，BAC90，D是BC的中点，ADCDBC，四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，AFBC，AFBDCD，BAC90，S菱形ADCFCDhBChSABCABAC121696本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识21
29、（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）连接HC，过点H作HEDC于点E，由题意易得CQ=DP，进而易证ABHCBH，然后可得DE=QE，则有，最后问题可求证解：（1）由题意可得如图所示：（2）连接HC，过点H作HEDC于点E，如图所示：由平移可得CQ=DP，四边形ABCD是正方形，BH=BH，ABHCBH（SAS），AH=CH，HDQ是等腰直角三角形，DE=QE，HEDC，本题主要考查正方形的性质、线段垂直平分线的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键22（1）见解析；（2）当时，四边形是正方形，
30、证明见解析【解析】（1）根据平行四边形的性质证得ABO=D，AB=DC，ABDC，进而证得CEO=BAO，AB=CE，根据三角形全等的判定即可证得COEBOA；（2）先证得四边形ABEC是平行四边形，进而证得是矩形，根据勾股定理求出AB=AC，即可得到四边形ABEC是正方形（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABO=D，AB=DC，ABDC，ABDE，CEO=BAO，DC=CE，AB=CE，在COE和BOA中，COEBOA（AAS）；（2）解：当BC=AB时，四边形ABEC是正方形，理由如下：由（1）知，AB=CE，ABCE，四边形ABEC是平行四边形，BAAC，BAC=90，四边形ABE
31、C是矩形，在RtABC中，BC=AB，AB2=AC2，AB=AC，四边形ABEC是正方形本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键23【解析】先利用直角三角形斜边上的中线性质得到AF=FD=，再利用平行得AEF是等腰三角形即可得出结论AD/BC BCE=D，C=CAD=90又在RtAED中，F是中点， AF=FD=EFD=FADAFB=2D又ABE=2BCE=2DABE=AFB AB=AF，又DE= AB= AF =DE=本题考查直角三角形斜边上的中线性质、平行的性质、等腰三角形，灵活的进行等角的转换是关键，有中点联想到性质是重点24
32、【解析】由“SAS”可得ABDACE，可得ADBAEC90，由直角三角形的性质可求EF的长解：如图，连接CE，AD是等边ABC的高BDA90ABC，ADE是等边三角形ABAC，ADAE，BACDAE60BADCAE，且ABAC，AEADABDACE（SAS）ADBAEC90，F为AC中点，EFAC故答案为：本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形性质，证明AEC=90是本题的关键255.5【解析】延长GP交CD于H点，证明DHPFGP，由此可得CGH是等腰三角形，根据三线合一可知CPHG，且CP平分HCG，在RtHCP中求解CP长解：延长GP交CD于H点，DCGF，HDP
33、GFP又DPFP，HPDGPF，DHPFGP（ASA）HPGP，DHGF7CHDCDH18711又CGBCBG18711，CHCGCPHG，CP平分HCGABC60，HCG120，HCP60所以在RtHCP中，CHP30，CPHC5.5故答案为5.5本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的“三线合一”性质，解决“中点”问题，一般倍长中线，构造全等三角形2624【解析】根据作图可知AG是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形AFEB是菱形，求出对角线长即可求面积解：由作图可知，AG平分BAF，AB=AF，AG垂直平分BF，FAG=BAE，EF=EB，ADBE，FAE=AE
34、B，BAE =AEB，AB=BE，AB=BE=EF=AF，四边形ABEF是菱形，BO=FO=4，AE=6，菱形的面积为；故答案为：24本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、勾股定理和平行四边形的性质，解题关键是明确角平分线作法，证出四边形是菱形27150【解析】先根据正方形和等边三角形的性质得出ABBE，ABE30，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可解：四边形ABCD是正方形，CBE是等边三角形，ADCDBC，ADC90，BECBCE，EBCBEC60，ABBE，ABE30，BEA（18030）75，同理：CED75，AED360757560150，故答案为：150本题考查了
35、正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键28（）【解析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可解：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD，1=3，由翻折的性质可知：1=2，BMM ，2=3，M=N，N=（cm），BM=M=N=（cm），D=4-；如图2中，当点M与A重合时，AE=EN，设AEENx cm，在RtADE中，则有x2=22（4x）2，解得x=，DE4=（cm），如图3中，当点M运动到MAB时，D的值最大，D5122（cm），如图4中，当点M运动到点落在CD时，D（即）=4-（cm），点E的运动轨迹E，运动路径E22
36、（4）=（）（cm）故答案是：（）本题考查翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题29【解析】首先求出S1、S2、S3，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题解：四边形OAA1B1是正方形，OA=AA1=A1B1=1，S1=11=，OAA1=90，OA12=12+12=2，OA1=，OA1A2=90，OA2=A2A3=，S3=，同理可得：S4=24-2，Sn=2n-2，S2021=22021-2=22019故答案为：22019本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、规律型等知识；熟练掌握正方形的性质与三角形面积的计算，找出规律是解题的关键30114【解析】根据两直线平行，内错角相等可得EFB=DEF，再根据翻折的性质，图c中EFB处重叠3层，然后根据CFE=180-3EFB代入数据行计算即可得解DEF =22长方形ABCD的对边AD/BCEFB=DEF=22由折叠， EFB处折叠了3层CFE=180 -3EFB=1803 22=114故答案为:114本题考查折叠问题，熟知折叠中蕴含着全等，有相等的角与边进行分析是关键
