1、数学试卷一单选题1.设为等差数列的前项和，若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将化简即可求解【详解】根据等差数列的求和公式 化简得，根据等差数列通项公式得解方程组得 所以选C【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题2.如图，中，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，母线长为5，利用圆锥的表面积计算公式，即可求出表面积【详解】解：由题意可得旋转体为圆锥
2、，底面半径为3，高为4，故它的母线长，侧面积为，而它底面积为，故它的表面积为，故选A【点睛】本题主要考查圆锥的表面积计算公式，属于基础题3.在中，已知的平分线,则的面积（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】为角平分线 ，即 则本题正确选项：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.4.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所给的不等式的解集，并结合
3、一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可【详解】不等式的解集是，是方程的两根，解得不等式为，解得，不等式的解集为故选A【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值5.圆上到直线的距离为的点共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.【详解】圆可化为,所以圆心为,半径为2,圆心到直线的距离为:,所以,所以圆上到直线的距离为的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查
4、了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.6.若直线与曲线没有公共点，则实数m所取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】曲线是下半圆，先求出直线与曲线有公共点时的范围，然后可得题设结论【详解】如图，是曲线，它是以为圆心，1为半径的圆的下半部分，当直线过时，当直线与曲线相切时，（舍去），由直线方程知是直线的纵截距，所以直线与曲线没有公共点时，或故选B【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题时注意曲线只是半圆，因此直线与半圆有公共点不仅要考虑切线，还要考虑直线过半圆弧的端点，然后结合图形得解7.若点和都在直线上，又点和点，则（ ）A. 点和都不在直线
5、上B. 点和都在直线上C. 点在直线上且不在直线上D. 点不在直线上且在直线上【答案】B【解析】由题意得：，易得点满足由方程组得，两式相加得，即点 在直线上，故选B.8.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.【详解】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,则,所以依题意可得,所以.,故选:A【点睛】本
6、题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.9.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：）A. 11.4 kmB. 6.6 kmC. 6.5 kmD. 5.6 km【答案】C【解析】【分析】根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案.【详解】在中，根据正弦定理，所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km.故选：C【点睛】本题考查了正弦定理在实
7、际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，数列的前项和为，则当取最小值时，的值为（ ）A. 4B. 6C. 4或5D. 5或6【答案】C【解析】【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入，得到数列为等差数列，求出的表达式，利用二次函数的性质判断最小值，进而求出的值即可【详解】是等比数列且，公比，可得：，解得或（舍去），则，则数列的前项和，所以或5时，取最小值故选：C【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，考查了等差关系的确定、等差数列的求和公式以及等差数和的最值等知识，是中档题二多选题11.在
8、公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. D. 数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】【分析】由，公比为整数，解得，可得，进而判断出结论.【详解】，且公比为整数，或（舍去）故A正确，故C正确；，故数列是等比数列，故B正确；而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题12.在三角形中，下列命题正确的有（ ）A. 若，则三角形有两解B. 若，则一定是钝角三角形C. 若，则一定是等边三角形D. 若，则的形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】
9、【分析】利用正弦定理可得A错误，由可推出，然后可得B正确，由得，然后可推出C正确，由可得，然后可推出D正确.【详解】因为，所以由正弦定理得，所以角只有一个解，故A错误由，即 所以，即所以，所以，故一定是钝角三角形故B正确因为所以所以，故C正确因为所以所以因为所以，所以或所以或，所以形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三填空题13.在数列中，已知，则=_【答案】【解析】【分析】利用累加法求得，再利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】因为，故可得，累加可得，又因为，则，故可得，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求
10、数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，属中档题.14.已知三棱锥中，则三棱锥的体积是_.【答案】【解析】【分析】由题意利用勾股定理，可证明平面，结合棱锥体积公式即可求解.【详解】因为，所以，则，所以，又因为，即，平面，所以平面，又由于，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于中档题.15.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于_.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0
11、，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；16.设的内角所对的边分别为，且满足，的周长为，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理，求得；再利用均值不等式即可求得的最大值，则问题得解.【详解】因为，故可得即，整理得，故可得.又三角形为直角三角形，故可得即解得，当且仅当时取得最大值.则其面积.故三角形面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理的综合应用，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.四解答题17.已知直线经过点（2，5），且斜率为 （1）求直线的方程；（2）
12、若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】(1) 3x4y140；(2) 3x4y10或3x4y290.【解析】【分析】（1）代入点斜式方程求直线 的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.【详解】（1）由点斜式方程得，.（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，解得：或.或【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.18.在中，分别为内角所对的边，已知，其中为外接圆的半径，其中为的面积（1）求；（2）若，求的周长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦可得，进而可得，从而得，结合余弦定理可得，再由即可得解；（2）由正弦
13、定理得，从而可得，结合由正弦定理可得，从而得解.【详解】（1）由正弦定理得，又，则.由，由余弦定理可得，又，.（2）由正弦定理得，又，又 .【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出的表达式，再利用裂项相消法即可求
14、得数列的前项和.【详解】（1）由等比数列通项公式得：（2）由（1）可得：【点睛】本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.20.已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式【答案】（1）a1，b2；（2）当c2时，解集为x|2xc；当c2时，解集为x|cx2；当c2时，解集为【解析】【分析】（1）根据不等式ax23x+64的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；（2）把不等式ax2（ac+b）x+bc0化为x2（2+c）x+2c0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集【详解】（1）因为不等式ax23x+64解集为x|x1，或xb，所以1和b是方程ax23x
15、+20的两个实数根，且b1；由根与系数关系，得，解得a1，b2；（2）所求不等式ax2（ac+b）x+bc0化为x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|2xc；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|cx2；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题21.已知数列满足.（1）证明数列为等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时，由；得到，两式相减得，再根据等差数列的定义证明.（2）由题可知
16、，利用错位相减法求解.【详解】（1）当时，；当时，由；得，-得，当时符合，即，则，所以数列为等差数列.（2）由题可知.所以，-得，所以.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和间的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】分析：（1）由中点坐标公式，可得，.点在圆上，据此利用相关点法可得轨迹方程为.（2）设，联立直线与圆的方程可得，由直线与圆有两个交点可得，结合韦达定理可得，.则.解得或1，不合题意，则不存在实数使得.详解：（1）由中点坐标公式，得即，.点在圆上运动，即，整理，得.点的轨迹的方程为.（2）设，直线的方程是，代入圆.可得，由，得，且， .解得或1，不满足.不存在实数使得.点睛：与圆有关的探索问题的解决方法：第一步：假设符合要求的结论存在第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解第三步：确定符合要求的结论存在或不存在第四步：给出明确结果第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范