1、河北武邑中学2019-2020学年高二年级下学期第一次月考数学试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果.【详解】由题，求得集合 ，所以故选D【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.2.已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A. 16B. 19C. 20D. 25【答案】B【解析】【分析】利用，成等比数列求解【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，成等比数列，因为，所以，故.故选：B【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题3.已知盒
2、中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】他第2次抽到时，盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，根据条件概率计算公式求得他第2次抽到的是卡口灯泡的概率【详解】设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则，.则所求概率为.故选：D【点睛】本题考查条件概率，考查了学生对条件概率的理解及公式的掌握程度，是中档题4.某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连
3、续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】三次都未命中的概率为，连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，即可求解.【详解】因为射击一次命中目标的概率为，所以射击一次未命中目标的概率为，因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为，因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，解得.故选：A【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验，对立事件，属于中档题.5.点在焦点为和的椭圆上，若面积的最大值为16，则椭圆标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据
4、三角形的面积公式，结合椭圆的范围进行求解即可.【详解】设，因为椭圆的焦点为和，因此，所以设椭圆的标准方程为：，因为点在该椭圆上，所以有.面积为：，因为面积的最大值为16，所以当时，面积最大，因此有，而，所以椭圆的标准方程为：.故选：C【点睛】本题考查了已知椭圆中焦点三角形的面积最大时求椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，考查了数学运算能力.6.关于椭圆和双曲线两曲线下列说法正确的是（ ）A. 与轴交点相同B. 有相同焦点坐标C. 有四个交点D. 离心率互为倒数【答案】A【解析】【分析】A：令两个方程的，求出的值进行判断即可；B：根据两个曲线的焦点的位置进行判断即可；C：将两个曲线方程联立，消去一
5、个未知数，根据一元二次方程根的情况进行判断即可；D：求出两个曲线的离心率进行判断即可.【详解】A：在椭圆方程中，令，得；在双曲线方程中，令，得，因此本选项的说法正确；B：椭圆的焦点在横轴上，双曲线的焦点在纵轴上，因此本选项的说法是错误的；C：将两个曲线方程联立得：，或，因此本选项的说法是错误的；D：椭圆的离心率为：；双曲线的离心率为：，因此本选项的说法是错误的.故选：A【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的焦点、离心率，考查了椭圆与双曲线的交点个数问题，考查了椭圆与双曲线在纵轴上的交点问题，属于基础题.7.如图，已知，图中的一系列圆是圆心分别、的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，利用这两
6、组同心圆可以画出以、为焦点的椭圆，设其中经过点、的椭圆的离心率分别是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆离心率公式、已知进行求解即可.【详解】当椭圆经过点时，有，因此离心率为；当椭圆经过点时，有，因此离心率为；当椭圆经过点时，有，因此离心率为；因为，所以.故选：D【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算公式，考查了椭圆的定义，考查了数学运算能力.8.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，排除C，只
7、有A可满足故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项9.已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.【详解】设,则满足.故 .故.又点在圆上.故.故选：C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型.10.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于
8、,所以表面积为 ,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法11.若点在椭圆上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据的几何意义是点到点的斜率，然后求解斜率的最小值即可.【详解】由题知椭圆的方程为，求的最小值即求点到点斜率的
9、最小值，设过点和点的直线方程为，联立， 知当时直线斜率取最小值，故当时，斜率取最小值，即的最小值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了联立方程组求椭圆的切线，结合考查了的几何意义，属于一般题.12.已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，根据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，又由函数上有两个极值点，则，即在上有两解，即在在上有不等
10、于2的解，令，则，所以函数在为单调递增函数，所以且，又由在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即上恒成立，又由函数在为单调递增函数，所以，综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、填空题13.计算：_.【答案】1【解析】【分析】将
11、不同底数的对数的化为同底数对数，指数化简为，即可求解。【详解】故答案为：1【点睛】此题考查通过换底公式对数化简和指数化简求值，属于简单题目。14.若4个人重新站成一排，没有人站在自己原来的位置，则不同的站法共有_种.【答案】9【解析】【分析】根据题意，假设4人为A、B、C、D，原来对应站的位置为1、2、3、4，进而分3步进行分析，讨论4人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，假设4人为A、B、C、D，原来对应站的位置为1、2、3、4，分3步进行分析：（1）、A不能在1号位置，可以站在2、3、4号位置，有3种情况.（2）、假设A站在了2号位置，则B可以站在1、3、4号位置，
12、有3种情况；（3）、对于剩下2人，都不能在原来的位置，有1种情况，则有33=9种不同的站法；故答案为：9【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分别计数原理的应用，属于基础题15.的展开式中的系数为_.【答案】11【解析】【分析】由，分别计算的展开式中的系数，再计算求解.【详解】由,则展开式的通项公式为：.所以的展开式中的系数为：的展开式中含的项: 展开式中的系数为：的展开式中的系数为: 故答案为：11【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题.16.已知函数，若的四个根为，且,则_【答案】2【解析】分析】由，根据指对互换原则，可解得的值，代入即可求解.【详解】因为，所以，所以或，
13、所以或.解得，所以，所以，故答案为2.【点睛】本题考查指对数的互换，含绝对值方程的解法，考查计算化简的能力，属基础题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17.已知命题：命题q：函数在R上是增函数；若命题“”为真，求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据命题“”为真，可得命题和命题都为真，求出命题和命题的范围取交集即可。【详解】若命题p为真，则若命题q为真，则：在R上恒成立，由已知：真，则命题p，q均为真，即故实数a的取值范围为【点睛】此题考查简易逻辑且命题的真假，求得各命题的真假求参数，属于较易题目。18.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出
14、4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数(1)请列出X的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率【答案】（1）X01234P （2）【解析】【详解】试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4所以X的分布列为：（2）由分布
15、列可知至少选3名男生，即P（X3）=P（X=3）+P（X=4）=+=点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力19.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点在曲线：（为参数）上，对应参数为.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为.（1）直接写出点的直角坐标和曲线的极坐标方程；（2）设，是曲线上的两个动点，且，求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由极坐标公式可得的直角坐标为，将点代入求得k=1，m=2，则曲线方程，求得极坐标方程；（2）设，易知，所以，时，的最小值为.【详解
16、】解：（1）点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知曲线：.由，是曲线上的两个动点，且，不妨设，且，.当时，.的最小值为.【点睛】本题考查了参数方程与极坐标方程的综合知识，熟悉方程之间的转化以及极坐标方程的定义是解题的关键，属于中档题.20.如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)取的中点,证明进而求得即可.(2) 在平面内作于,建立空间直角坐标系求解即可.【详解】(1)取的中点,连,是的中点, ,又 四边形是平行四边形又平面,平面 平面(2)在平面内作
17、于,不妨令,则由是等边三角形,则,为的中点,分别以、所在的直线为轴和轴,以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系, 则, 设平面的法向量为,平面的法向量为,则 则 则 经检验,二面角的弦值的大小为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型.21.已知椭圆：的短轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）求过椭圆的右焦点且倾斜角为135的直线，被椭圆截得的弦长；（3）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）椭圆的方程：（2）（3）见解析，【解析】【分析】（1）根据椭圆短轴
18、长公式和离心率公式进行求解即可；（2）求出过椭圆的右焦点且倾斜角为135的直线方程，将与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式和一元二次方程根与系数关系进行求解即可；（3）根据以为直径的圆过椭圆的右顶点，可以得到向量的数量积为零，将直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆：的短轴长为，离心率为，所以有且，而，解得，因此椭圆的标准方程为：；（2）因为，所以椭圆的右焦点坐标为，因此过椭圆的右焦点且倾斜角为135的直线方程是，因此有因此设交点坐标分别为，因此有，因此有,所以直线被椭圆截得的弦长为；（3）设，由题意可知，设椭圆右顶点的坐标为：，因为以为直径的圆过椭圆
19、的右顶点，所以有，即.直线与椭圆的方程联立，得：因此，因此由可得：，化简得：，或当时，直线方程为该直线恒过点这与已知矛盾，故舍去；当时，直线方程为该直线恒过点，综上所述：直线过定点.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了椭圆弦长的求法，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力.22.已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若对任意的，都有成立，求a的取值范围【答案】（）（）当时增区间为当时增区间为，减区间为（）【解析】【详解】试题分析：（）利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得到切线方程（）首先计算函数的导数，令导数大于零可得增区间，进而得到减区间，求解时注意对参数的取值范围分情况讨论（）不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题试题解析：（）时， 曲线在点处切线方程 （） 当时，恒成立，函数的递增区间为 当时，令，解得或x（ 0,）（,1）f（x）-+f（x）减增 所以函数的递增区间为，递减区间为 （）对任意的，使成立，只需任意的，当时，在上是增函数，所以只需而所以满足题意； 当时，在上是增函数，所以只需而所以满足题意； 当时，在上是减函数，上是增函数，所以只需即可而从而不满足题意； 综合实数的取值范围为 考点：1导数的几何意义；2导数与单调性最值；3不等式与函数的转化
