1、第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质第二课时直线与双曲线的位置关系课时跟踪检测一、选择题1(2019哈尔滨三中二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线经过圆E：x2y22x4y0的圆心，则双曲线C的离心率为()A. BC2 D解析：圆E：x2y22x4y0的圆心为E(1，2)，双曲线C：1的渐近线为yx，由题意，得2，离心率e.答案：A2过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条B2条C3条 D4条解析：双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得
2、两交点之间的距离等于4；当直线与实轴垂直时，有31，解得y2，此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条综上，有三条直线满足|AB|4.答案：C3(2019龙岩一中月考)已知双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：根据题意得到A(a,0)，B(a,0)，设点P为(x，y)，根据题意得到3，则1，从而渐近线方程为0，化简为yx.答案：C4若圆(x)2(y1)23与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心
3、率为()A. BC2 D解析：因为圆(x)2(y1)23的圆心为(，1)，半径为，由图(图略)得该圆与渐近线yx相切，所以d，所以ba，即.又因为e21，所以e.答案：A5若斜率存在且过点P的直线l与双曲线1(a0，b0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()A2B4 C1或2D2或4解析：因为直线斜率存在，则过P与左顶点的直线必与yx平行，所以有，解得a2.所以实轴长为4.答案：B6已知直线yx与双曲线1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB()A. BC. D与P点位置有关解析：由题意可设
4、A(x0，y0)，B(x0，y0)，P(x，y)，kPAkPB.答案：A二、填空题7已知直线l：ykx与双曲线4x2y216，若直线l与双曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是_解析：由得(4k2)x2160，由题意，得当4k20，即2k2时直线与双曲线有两个公共点答案：(2,2)8(2019北京西城区二模)双曲线C：1的焦距是_；若圆(x1)2y2r2(r0)与双曲线C的渐近线相切，则r_.解析：由双曲线C：1，知c291625，c5，2c10.双曲线C的一条渐近线方程为yx，即3x4y0.因为圆与3x4y0相切，所以r，所以r.答案：109(2019吉林实验中学期中)已知直线yx2与双曲线
5、1的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使t，则t的值_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，由t，得x1x2tx0，y1y2ty0，由直线yx2与双曲线1方程联立，可得x216x840，x1x216，y1y216412，解得x04，y03，t4.答案：4三、解答题10已知双曲线1(b0)的右焦点为(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积解：(1)双曲线1的右焦点为(2,0)，c2，a，b2c2a2431.双曲线的方程为y21.(2)由(1)，得a，b1，双曲线y21的渐近线方程为yx，令x2，得y.设直线x2与渐近
6、线yx的交点为A，B，则|AB|.直线x2与渐近线yx围成的三角形面积为S2.11(2019平顶山期末调研)已知双曲线C的渐近线方程为yx，右焦点坐标为(2,0)，O为坐标原点(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且0，试求实数k的取值范围解：(1)由题意，即ab，又c2，c243b2b24b2，b21，a23，则双曲线C的标准方程为y21.(2)直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点，方程组恒有两组不同的实数解，方程(13k)2x26kx90有两个不同实根，k20，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)20，(1k2)k20，可得k2，k20，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则双曲线C的离心率为_解析：如图，由题意，可设B(x00)，F1(c,0)，F2(c,0)，.0，(x0c)(x0c)x0，(a2b2)xc2a2，即c2xc2a2，xa2，即x0a，B(a，b)又，A为F1B的中点，A.又A在渐近线yx上，2ac，即e2.答案：2
