1、第5练如何让“线性规划”不失分题型分析高考展望“线性规划”也是高考每年必考内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.常考题型精析题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn等于()A.5 B.6C.7 D.8点评(1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最
2、值.变式训练1(2022山东)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A.5 B.4C. D.2题型二解决参数问题例2(2022浙江)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_.点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定.有时还需分类讨论.变式训练2(2022山东)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于()A.3 B.2 C.2 D.3题型三简单线性规划的综合应用例3设变量x，y满足约束条件则lg(y1)lg x的取值
3、范围为()A.0,12lg 2 B.1，C.，lg 2 D.lg 2,12lg 2点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.变式训练3(2022课标全国)若x，y满足约束条件则的最大值为_.高考题型精练1.(2022北京)若x，y满足则zx2y的最大值为()A.0 B.1C. D.22.(2022安徽)已知x，y满足约束条件则z2xy的最大值是()A.1 B.2C.5 D.13.(2022课标全国)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：(x，y)
4、D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y2；p3：(x，y)D，x2y3；p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()A.p2，p3 B.p1，p4C.p1，p2 D.p1，p34.(2022青岛联考)已知O是坐标原点，点A(1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A.1,0 B.0,1C.0,2 D.1,25.(2022重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A.3 B.1C. D.36.设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()A. B.C. D.7.某旅行社租用A、B两
5、种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为()A.31 200元 B.36 000元C.36 800元 D.38 400元8.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为_.9.在不等式组表示的平面区域内作圆M，则最大圆M的标准方程为_.10.抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_.11.4件A商品与5件B商品的价格
6、之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要_元.12.给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线.答案精析第5练如何让“线性规划”不失分常考题型精析例1B 画出可行域，如图阴影部分所示.由z2xy，得y2xz.由得A(1，1).由得B(2，1).当直线y2xz经过点A时，zmin2(1)13n.当直线y2xz经过点B时，zmax2213m，故mn6.变式训练1B 线性约束条件所表示的可行域如图所示.由解得所以zaxby在A(2,1)处取得最小值，故
7、2ab2，a2b2a2(22a)2(a4)244.例21，解析画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1，.变式训练2B 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0)，由得B(1,1).由zaxy，得yaxz.当a2或a3时，zaxy在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除C，D选项；当a2或3时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，故选B.例3A 如图所示，作出不等式组确定的可行域.因为lg(y1)lg xlg ，设t，显然，t的几何意义是可行域内的
8、点P(x，y)与定点E(0，1)连线的斜率.由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值.由解得即B(3,2)；由解得即C(2,4).故t的最小值为kBE1，t的最大值为kCE，所以t1，.又函数ylg x为(0，)上的增函数，所以lg t0，lg ，即lg(y1)lg x的取值范围为0，lg .而lg lg 5lg 212lg 2，所以lg(y1)lg x的取值范围为0,12lg 2.故选A.变式训练33 画出可行域如图阴影所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大.由得A(1,3).的最大值为3.高考题型精练1.D 可行域如图所
9、示.目标函数化为yxz，当直线yxz过点A(0,1)时，z取得最大值2. 2.A 约束条件下的可行域如图所示，由z2xy可知y2xz，当直线y2xz过点A(1,1)时，截距最大，此时z最大为1，故选A.3.C 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).由得交点A(2，1).目标函数的斜率k1，观察直线xy1与直线x2y0的倾斜程度，可知ux2y过点A时取得最小值0.(y，表示纵截距)结合题意知p1，p2正确.4.C 作出可行域，如图所示，由题意xy.设zxy，作l0：xy0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin110；过点(0,2)时z有最大值，zmax022，的取值范围是0,2.5.
10、B 不等式组表示的区域如图，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB，C点横坐标xC2m，SABDSACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m12或2(舍)，m1.6.C 当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m.7.C 设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元，则z1 600x2 400y，x、y满足画出可行域如图. 直线yx过点A(5,12)时纵截距最小，zmin51 6
11、002 4001236 800，故租金最少为36 800元.8.1 如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，据题意易知平面区域为等腰直角三角形，其中A(a，a4)，C(a，a)，故|AC|2a4|，则SABC|2a4|a2|9，解得a1或a5(不合题意，应舍去).9.(x1)2y24 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，所求的圆M是相应的平面区域的边界三角形的内切圆，设所求的圆心M坐标是(a，b)，于是有由此解得a1，b0，相应的圆的半径是3a2，因此所求的圆M的标准方程是(x1)2y24.10.解析由yx2得y2x，则y|x12，抛物线yx2在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2
12、x1，切线y2x1与两坐标轴围成三角形区域D如图所示(阴影部分).由y0得x，知A由x0得y1知，B(0，1)因此2x2y.11.22解析设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z3x9y，其中x，y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，).当yxz经过点C时，目标函数z取得最小值.所以zmin3922.因此当1件A商品的价格为元，1件B商品的价格为元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.12.6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条不同的直线.
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