1、平面三公理 教学设计华东师大二附中 戴中元一、教学内容解析本节课是上海教育出版社出版的高三年级第一学期数学第14章空间直线与平面14.1平面及其基本性质的第一课时“平面三公理”是高中立体几何教学的第一堂课立体几何，将研究对象从平面图形拓展至空间图形，完成由二维平面向三维空间的转化，同时通过立体几何的教学，提升学生的空间认知水平，发展学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概念，具有生活中的事物所没有的无限性，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，也是将平面几何知识向空间拓展的奠基石，
2、在立体几何与平面几何问题的转化过程中具有重要的桥梁作用在平面几何中，通过研究点、直线的位置关系来认识平面图形在立体几何中则是通过研究点、直线、平面的位置关系来认识空间图形. 平面的“平”的特征是利用直线与平面、平面与平面的位置关系来刻画的，这是教学的重点. 在探讨位置关系的过程中，通过公共点的个数来刻画不同的直线与平面、平面与平面位置关系并给出相应的定义，这些定义反过来又可以作为判定相关位置关系的依据. 但“直线在平面上”，“两个相交平面”，“两个重合平面”这三种情况下公共点个数都是无穷多个，不适合作为判定依据，那么这时就需要引入更加有效的判定准则, 也就是平面的三个公理，这是这节课的核心.三
3、个公理不仅大量存在于我们的生活中，并且是后续章节的性质、定理的出发点，通过三个公理的应用示例可以体会数学来源于生活而又回馈于生活的应用价值.在平面的教学过程中，熟悉如何用文字语言、图形语言、符号语言去表达空间问题,将为今后的立体几何学习打下基础.“平面三公理”这节内容在不同的教材和专著中有不同的处理方法:(1)在人教版教材中将“不在同一直线上的三点确定一个平面.”作为公理2，而将“如果两个不同的平面有一个公共点，那么的交集是过点的直线.”作为公理3. 和上教版教材相比，在公理出现顺序上不同，文字表述也略有差异，并且选取了不同的例子.(2)在法国数学家阿达玛(Hadamard,1865-1963
4、)的几何学教程立体几何中，有不同的处理方法. 他将教材中的公理1作为平面的描述性说明，而公理2则可以推出，被作为定理，将公理3中前半部分稍作修改：“过空间中任意三点有一个平面”作为公理，后半部分“过空间中不共线三点只有一个平面”作为定理.二、教学目标设置教学目标1. 知道现实平面与抽象平面概念的联系与区别；能够用文字语言、图形语言和符号语言表述平面以及空间的点、直线和平面及其位置关系.2. 发现和理解平面的三条公理，并会在简单情形下应用它们作为推理的依据.3. 从身边的实例中发现平面的三条公理，体会数学在生活中的价值.了解公理体系的发展历史.教学重点发现和理解平面的三条公理.教学难点通过公共点
5、个数分析直线与平面、平面与平面位置关系.三、学生学情分析学生在小学和初中初步接触了一些立体图形，比如上海教育出版社六年级数学第二学期“长方体的再认识”就直观地介绍了长方体中有关两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.另外，学生在高一地理课中已经接触到诸如球体等几何体的概念，学生通过高中各科学习也具备了一定的转化能力和解决问题的能力因此，在本节课之前，学生已经具备了较为完整的平面几何知识与简单的立体几何认知能力. 但由于本节课的教学内容平面基本性质，对学生来说较为抽象，如果能借助一些直观的教具进行演示实验，就会事半功倍. 所以我们采用硬纸片和竹签这样的实物来加强学生的空间位置认知是必要的.“
6、公理”对学生来说，并不是新名词；“定理”更是学生初中学习平面几何的过程中非常熟悉的名词，这两个名词作为概念最早出现在上教版八年级数学第一学期的“几何证明”中. 学生已有欧氏几何公理体系的初步概念，现在学习平面三公理，实际上是面对空间中的公理体系这里需要为学生简单介绍公理体系的发展历史和相关特点，使学生能够更加全面地了解公理体系.本课的学习主体为市实验性示范性高中的学生，他们是基础知识扎实、思维活跃、敢于创新的学生群体.鉴于上述原因，本节课的定位是：通过学生自己动手操作，构建立体几何的基础平面的三条公理，体现以逻辑性知识为主的立体几何第一课的特点（说明： 由于高三学生已学习过此内容，故借校、借班
7、（高二学生）进行授课，学校由市里决定、班级由抽签决定，本节课为上海市决赛课）四、教学策略分析（一）平面概念引入1.通过平静的湖面和广场的地面来感知平面的“平”的特征，并让学生观察身边的事物. 利用已经学过的“直线”概念，抽象出“平面”的概念.设计说明：通过现实中的事物对平面的“平”的特征有一个直观的感知，并理解数学中的平面概念是从这些例子中抽象出来的，这是两者间的联系与区别，在引导学生时，借助现实中平面的例子，为思考数学中平面的问题提供帮助.2.回顾初中六年级第二学期第八章“长方体的再认识”中平面的表示方法.设计说明: 平面的表示方法在六年级第二学期已经学过，但由于时间间隔比较长，这个部分起到
8、复习的作用. 强调平行四边形代表整个平面，也就是用有限图形表示无限图形. 并利用长方体的画法给出不同放置方法的平面的画法.（二）平面基本性质1.利用教具（代表平面的硬纸板和代表直线的竹签）讨论直线与平面、平面与平面的位置关系.设计说明：让学生充分发挥主观能动性. 在利用硬纸板和竹签的过程中，潜移默化地学会利用身边的事物来思考数学问题的方法. 这样不仅形象而且克服了用平面图形呈现立体图形的局限性.在讨论过程中，引导学生借鉴平面几何中已知结论来类比空间中的对应问题.由于探讨平面与平面的位置关系时，需要两块硬纸板，可以培养同学的协作能力.2.通过线面关系、面面关系的讨论归纳总结出平面的三条公理.设计
9、说明：这个环节中线面关系、面面关系是明线，位置关系的判定是暗线. 通过有无穷多个公共点的位置关系，公共点数不宜作为判定依据，是否可以将公共点数的限制放宽.然后通过实践操作和日常经验引出平面的三条公理，这样处理条理清晰，使学生明白并不是随意选择三个正确的命题作为公理，而是可以将这三个命题作为判定点、直线、平面位置关系的依据. 在此过程中可使学生不断巩固用文字语言、图形语言和集合语言表示点、线、面的关系，以及三种语言间的相互转化. 通过实验操作，加深学生对公理来源于人们长期的实践经验的印象. 最后总结，通过点、线、面的位置关系归纳出了这三条公理，即平面的基本性质，实际上刻画了平面的“平”的特征.（
10、三）三公理的应用1.利用平面三公理解决问题1与问题2.设计说明：通过这两道习题巩固加强学生对三公理的理解，会使用公理作为简单情形下推理的依据，同时培养分析立体几何问题的能力，增强空间想象能力.2.从望远镜的支架、信箱、三角剖分这几幅图片中发现隐藏在身边的平面三公理. 设计说明：通过这几个具体例子，加深同学对三条公理的印象. 同时也让学生体会到数学不是抽象的逻辑游戏，而是扎根于我们的日常生活中，从而了解平面三公理的应用价值.人脸3D建模告诉我们可以用许多平面来逼近其他面，所以平面在所有面中是最基本的，这也就是我们研究平面的原因.（四）公理体系发展简单介绍公理体系的发展历史.设计说明：了解公理体系
11、的发展，公理体系所具有的三个重要特征相容性、独立性、完全性（分别代表：正确的，最简的，完整的）.并且回到公理的出发点人们长期的实践，指出公理具有局限性，引起感兴趣的同学在课后思考和查阅课外书.（五）课堂反思小结思考题：圆柱侧面的问题.设计说明：通过思考圆柱侧面上两点连线并不在面上，从反面的角度进一步凸显平面的“平”，并引起学生对除“平面”以外的“面”的兴趣.但由于牵涉到“面”的概念，学生现阶段的理解能力还不能都达到，所以作为课后思考.五、教学过程（一）平面概念引入1.通过图片建立平面的直观印象,发现身边平面的例子,请学生类比直线的特征，进而总结平面的特征.2.复习初中阶段学习过的平面的图形表示
12、方法，并强调平行四边形代表整个平面.从长方体出发了解不同放置平面的画法.（二）平面基本性质首先介绍用符号语言表示点与直线、点与平面的关系而后组织学生分组讨论，以公共点个数为线索，通过操作、实验发现直线与平面、平面与平面的位置关系，并给出相应的定义，并由此引出平面三公理.1.直线与平面的位置关系公共点数直线与平面位置关系0平行1相交无穷多个点直线在平面上我们可以根据公共点个数（也就是定义）来判定直线与平面的位置关系，但在“直线在平面上”的情况下要验证有无穷多个点，这明显是不可行的,所以需要更有效的判定方法，继而归纳出公理1.公理1 如果在直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上.符号表示：.公理
13、1可以作为判定直线在平面上的依据.公理1实际上就将立体几何中的直线转化为了平面几何中的直线.2.平面与平面的位置关系公共点数平面与平面位置关系0平行无穷多个点（构成直线）相交无穷多个点（构成平面）重合通过分析相交平面和重合平面的判定方法，归纳出公理2和公理3.公理2如果不同的两个平面有一个公共点，那么的交集是过点的直线.符号表示：是直线,.公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.符号表示：是不共线的三点，那么存在唯一的平面使得.公理2和公理3可以分别作为两平面相交和两平面重合的判定依据.3.介绍“直线在面上”和“两个平面相交”的作图方法.（三）三公理的应用1.问题1：如图，一条直线上有三个点
14、,其中两点在平面上，那么点在平面上吗？分析：两点在平面上，根据公理1可知直线在平面上，所以点在平面上.2.问题2: 如图，平面上的三点不共线，并且不在平面上，直线与平面交于三点，试判断这三点的位置关系.分析：根据公理1,在平面上,所以平面和平面有公共点，根据公理2，这些点在一条直线上，所以三点共线.3.望远镜：根据公理3，望远镜三个支架的着地点确定一个平面，这个平面和水平面基本吻合，确保了望远镜的稳定性.（忽略重心）4.邮箱：在投递信件的过程中，信件所在平面和信箱正面所在平面有公共点，根据公理2，它们的交集是一条直线,也就是信箱的口子.5.三角剖分：根据公理3，人脸上不共线的三点都可确定一个平
15、面，这样就可以得到许多的平面，而人脸可以由这些平面的局部拼接近似得出，说明平面可以逼近其它的面，在所有面中这个方法可用于人脸识别.（四）公理体系的发展简单介绍公理体系的发展历史及特点.1. 德国数学家希尔伯特（1863-1943）在公理体系发展史中的作用.2. 公理体系的三个重要特征.（五）课堂反思小结1.平面的概念和平面的表示（文字、图形、符号）；2.直线与平面、平面与平面的位置关系；3.平面的三条公理，刻画了平面的“平”的特征.思考题：将一张纸卷起来形成一个“面”，在这个面上任取两个点，过这两点的直线在这个“面”上吗？（六）课后作业1.为什么三角形、梯形一定是平面图形？2.如果条直线两两相交，确定这条直线的位置关系.3.三条两两平行的直线最多确定几个平面？请画出示意图(可以参考两个相交平面的画法).
