1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评十一函数模型及其应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)()A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%【解析】选C.设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg (1+x)=lg 2,所以lg (1+x)=0.007 5,所以100.007 5=1+x,得1+x=1.017,所以x
2、=1.7%.2.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差()A.10元B.20元C.30元D.元【解析】选A.依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,又sA(100)=sB(100),所以100k+20=100m,得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差10元.3.有一组试验数据如表所示:x2.0134.015.16.12y38.011523.8
3、36.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()A.y=-1B.y=x2-1C.y=2 log2xD.y=x3【解析】选B.由表格数据可知,函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型,选项C不正确.取x=2.01,代入A选项,得y=-17,代入B选项,得y=x2-13,代入D选项,得y=x38;取x=3,代入A选项,得y=-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D选项,得y=x3=27.4.某城市出租车起步价为10元,最远可租乘3 km(含3 km),以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费),则出租车的费用y(元)与行驶的路程x(km)之间的函数图象大致为
4、()【解析】选C.出租车起步价为10元(最远3 km的路程),即在(0,3内对应y的值为10,以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费);C项符合.5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.世纪金榜导学号给出以下3个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水,则一定正确的是()A.B.C.D.【解析】选A.由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,
5、一定正确的是.【变式备选】 (2020三明模拟)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 20.301 0)()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.设要洗x次,则,所以x3.322,因此至少洗4次.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是_.【解析】总费用为4x+6=442=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.答案:307.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从
6、这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为_.【解析】依题意知:=,即x=(24-y),所以阴影部分的面积S=xy=(24-y)y=(-y2+24y)=-(y-12)2+180.所以当y=12时,S有最大值为180.答案:1808.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为_分钟.世纪金榜导学号【解析】由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点
7、(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.答案:3.75三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2
8、-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-xt=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.10.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放k(1k4,且kR)个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=kf(x),其中f(x)=若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相
9、应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.世纪金榜导学号【解析】(1)由题意知k=3,所以k=1.(2)因为k=4,所以y=当0x4时,由-44,解得-4x8,所以0x4.当4x14时,由28-2x4,解得x12,所以44,所以在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作
10、用.(20分钟40分)1.(5分)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的()A.点MB.点NC.点PD.点Q【解析】选D.A.假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图象不符,故本选项错误;B.假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项错误;C.假设这个位置在点P,教练离小明的距离最后时间
11、段会越来越近不会再由近至远,而点P不符合这个条件,故本选项错误;D.经判断点Q符合函数图象,故本选项正确.【变式备选】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙,如图所示,那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是()A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面【解析】选A.由图象可知,曲线v甲比v乙在0t0,0t1与t轴所围成的图形面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面.2.(5分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方
12、便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资两座城市收益的最大值为()A.26万元B.44万元C.48万元D.72万元【解析】选B.设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120-x)万元,所以总收益f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,由题意知解得40x80.令t=,则t2,4,所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44,当t=6,即x=72时,y取得最大值44,所以当
13、甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.3.(5分)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为_(万元).【解析】依题意得即解得a=2,b=-2.所以y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8.x=1 024(万元).答案:1 0244.(12分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=x2+x+15
14、0(万元).(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?世纪金榜导学号【解析】(1)由总成本p(x)=x2+x+150(万元),可得每台机器人的平均成本y=x+12+1=2.当且仅当x=,即x=300时,上式等号成立.所以若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.(2)引进
15、机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=当1m30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m,所以当m=30时,日平均分拣量有最大值144 000.当m30时,日平均分拣量为480300=144 000.所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.若传统人工分拣144 000件,则需要人数为=120人.所以日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少100%=75%.【变式备选】 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万
16、元,则额外奖励2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(1)由题意得,该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y=(2)由(1)知,当x0,10时,00.15x1.5,因为业务员小李获得3.5万元的奖金,即y=3.5,所以x10,因此1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.所以业务员小李的销售利润是14万元.5.(13分)A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安
17、全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.(1)求x的取值范围;(2)把月供电总费用y表示成x的函数;(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?世纪金榜导学号【解析】(1)由题意知x的取值范围为10,90.(2)y=5x2+(100-x)2(10x90).(3)因为y=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000=+,所以当x=时,ymin=.故核电站建在距A城 km处,能使供电总费用y最少.1.某种商品进价为4元/件,当日均零售价为6元/件,日均销售
18、100件,当单价每增加1元,日均销量减少10件,试计算该商品在销售过程中,若每天固定成本为20元,则预计单价为多少时,利润最大()A.8元/件B.10元/件C.12元/件D.14元/件【解析】选B.设单价为(6+x)元/件,日均销售量为(100-10x)件,则日利润y=(6+x-4)(100-10x)-20=-10x2+80x+180=-10(x-4)2+340(0x10).所以当x=4时,ymax=340.即单价为10元/件时,利润最大.2.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社投入200万元,搭建了甲、乙两
19、个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单元:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值.(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?世纪金榜导学号【解析】(1)由题意知甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,所以f(50)=80+4+150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得20x180,故f(x)=-x+4+250(20x180).令t=,则t2,6,y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大.关闭Word文档返回原板块
