1、2016-2017学年江西省宜春市高安二中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）1某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12，则在第八组中抽得号码为（）A37B38C39D402一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（）A
2、65B74C56D473设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（）Ab与r的符号相同Ba与r的符号相同Cb与r的符号相反Da与r的符号相反4一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中随机取出两个球，则取出的球的编号之和不大于4的概率是（）ABCD5执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A2B3CD6已知等比数列an满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列前20项的和为（）A210B2101C2201D2207已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），且a2+a4+a6=
3、9，则log（a5+a7+a9）的值是（）AB5C5D8以下有五个结论：某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；若x1，x2，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25；从总体中抽取的样本（x1，y2），（x2，y2），（xn，yn），则回归直线y=bx+a至少过点（x1，y2），（x2，y2），（xn，yn）中的某一个点；其中正确结论的个数有（）A0个B1 个C2 个D3个9从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个红球”与“都是黑球
4、”B“恰有1个黑球”与“恰有2个红球”C“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D“至少有一个黑球”与“都是黑球”10已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2=（x12+x22+x32+x4216），则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为（）A7B6C4D511设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为（）A3BC5D712已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是（）ABCD2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人
5、表演节目若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为14关于x的一元二次方程x2+2（a+1）x（a1）=0的一个根大于1，一个根小于1，则实数a的取值范围是15如图是一容量为100的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为16已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn3Sn1（n2），若对于任意nN*，当t1，1时，不等式2（+）x2+tx+1恒成立，则实数x的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n（1）证明：数列an是等差数列，并求出数列an的
6、通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn18某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率19为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间将数据分成以下5组：第1组45，50），第2组50，55），第3组55，60），第4组60，65），第5组65
7、，70，得到如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检（）求每组抽取的学生人数；（）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率20下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据x3456y2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程=x+；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.5=
8、66.5）计算回归系数，公式为21已知函数f（x）=ax2（a+2）x+2（a为常数）（）当a=1时，解关于x的不等式f（x）0；（）当aR时，解关于x的不等式f（x）022已知数列an的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有（I）求证：an+1+an=4n+2；（II）求数列an的通项公式；（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由2016-2017学年江西省宜春市高安二中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）1某
9、班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12，则在第八组中抽得号码为（）A37B38C39D40【考点】系统抽样方法【分析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（83）5，由此能求出结果【解答】解：这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（83）5=37故选：A2一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x6789身高y1181261
10、36144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（）A65B74C56D47【考点】线性回归方程【分析】先计算样本中心点，代入线性回归方程，可得a的值【解答】解：由题意， =7.5， =131代入线性回归直线方程为=8.8+a，得131=8.87.5+a，可得a=65，故选：A3设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（）Ab与r的符号相同Ba与r的符号相同Cb与r的符号相反Da与r的符号相反【考点】变量间的相关关系【分析】根据相关系数知相关系数的性质：|r|1，且|r|越接近1，相关程度越大
11、；且|r|越接近0，相关程度越小r为正，表示正相关，回归直线方程上升【解答】解：相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，b与r的符号相同故选：A4一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中随机取出两个球，则取出的球的编号之和不大于4的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】所有的取法共有C42种，用列举法求得取出的球的编号之和不大于4的取法有2种，由此求得取出的球的编号之和不大于4的概率【解答】解：所有的取法共有C42=6种，取出的球的编号之和不大于4的取法有（1，2）、（1，3）共2种，取出的球的编
12、号之和不大于4的概率为=，故选B5执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A2B3CD【考点】程序框图【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算S的值，并在循环变量k值大于等于2016时，输出累加结果【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，k=1，S=3，不满足条件k2016，k=2，S=，不满足条件k2016，k=3，S=，不满足条件k2016，k=4，S=2，不满足条件k2016，k=5，S=3，观察规律可知，S的取值周期为4，由于2016=5044，可得不满足条件k2016，k=2016，S=2，满足条件k2016，满足退出循环的条件，故输出的S值为2故选：A6已知等比数列an满足
13、a2+2a1=4，a32=a5，则该数列前20项的和为（）A210B2101C2201D220【考点】等比数列的前n项和【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2+2a1=4，a32=a5，a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，数列的前20项的和为： =2201故选：C7已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）AB5C5D【考点】数列递推式【分析】数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），可得an+1
14、=3an0，数列an是等比数列，公比q=3又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=339，再利用对数的运算性质即可得出【解答】解：数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），an+1=3an0，数列an是等比数列，公比q=3又a2+a4+a6=9，=a5+a7+a9=339=35，则log（a5+a7+a9）=5故选；B8以下有五个结论：某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；若x1，x2，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25；从总体中抽取的样本（x1，y2），
15、（x2，y2），（xn，yn），则回归直线y=bx+a至少过点（x1，y2），（x2，y2），（xn，yn）中的某一个点；其中正确结论的个数有（）A0个B1 个C2 个D3个【考点】命题的真假判断与应用【分析】中，是计算加权平均数，求出这两个班的数学平均分，判定错误；中，x1，x2，x10与x1+5，x2+5，x10+5的平均数不同，方差相同，判定错误；中，根据回归直线y=bx+a的意义判定错误【解答】解：对于，这两个班的数学平均分为，错误；对于，x1，x2，x10的平均数为a，方差为b时，x1+5，x2+5，x10+5的平均数为a+5，方差为b，错误；对于，回归直线y=bx+a不一定过点（x
16、1，y2），（x2，y2），（xn，yn）中的某一个点，一定过样本中心点（，），错误；以上正确的结论没有故选：A9从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个红球”与“都是黑球”B“恰有1个黑球”与“恰有2个红球”C“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D“至少有一个黑球”与“都是黑球”【考点】互斥事件与对立事件【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”不同时发生，这两个事件是互斥事件且对立事件，A不正确；对于B：事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰
17、有两个红球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是黑球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，B正确；对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，这两个事件不是互斥事件，C不正确；对于D：事件：“至多有一个黑球”与“都是黑球”不能同时发生，这两个事件不是互斥事件，D不正确；故选：B10已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2=（x12+x22+x32+x4216），则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为（）A7B6C4D5【考点】众数、中位数、平均数【分析】由方差的计算公式求出数据x1，x2，x3，x4的平均数
18、，再计算x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= （x1）2+（x2）2+（xn）2= x12+x22+xn22（x1+x2+xn）+n2= x12+x22+xn22n2+n2= x12+x22+xn22；且方差s2=（x12+x22+x32+x4216）=（x12+x22+x32+x42）4，又x1，x2，x3，x4都为正数，所以=2，所以数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为+3=5故选：D11设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为（）A3BC5D7【考点】基本不等式【分析】先判断a、c是正数，且
19、ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【解答】解：由题意知，a0，=14ac=0，ac=4，c0，则2=3，当且仅当时取等号，则的最小值是 3故选A12已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是（）ABCD2【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，而k=表示区域内动点P（x，y）与原点连线的斜率，运动点P可得k的取值范围为2，4不等式a（x2+y2）（x+y）2可化为a1+，再算出不等式右边的最大值，即可得到实数a的最小值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（，），
20、B（1，4），C（2，4）设k=，表示区域内动点P（x，y）与原点O连线的斜率，运动点P，可得当P与A重合时，斜率取得最小值为2；当P与C重合时，斜率取得最大值为4因此，k=的取值范围为2，4不等式a（x2+y2）（x+y）2恒成立，两边都除以x2+y2，得a=1+=1+k2，4，可得，t=1+的取值范围为，a1+对任意k2，4恒成立，a（1+）max=故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为18人【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】设出
21、男同学的人数，可得女同学的人数，根据女同学的概率为，解得x的值，即可求得参加聚会的同学的人数【解答】解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，由题意可得 =，解得 x=6，则这个班所有的参加聚会的同学的人数为 2x+6=18人，故答案为：18人14关于x的一元二次方程x2+2（a+1）x（a1）=0的一个根大于1，一个根小于1，则实数a的取值范围是a4【考点】二次函数的性质【分析】利用二次函数的性质列出不等式求解即可【解答】解：一元二次方程x2+2（a+1）x（a1）=0的一个根大于1，一个根小于1，可得12+2（a+1）（a1）0，解得：a4故答案为：a415如图是一容量为100的样本的重量频
22、率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为12【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图，计算数据的中位数即可【解答】解：根据频率分布直方图，得；0.065=0.30.5，0.3+0.150.5；令0.3+0.1x=0.5，解得x=2；中位数是10+2=12故答案为：1216已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn3Sn1（n2），若对于任意nN*，当t1，1时，不等式2（+）x2+tx+1恒成立，则实数x的取值范围为（，22，+）【考点】数列递推式【分析】a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn3Sn1（n2），可得Sn+1Sn=3（SnSn1），因此an+1=
23、3an，n=1时也成立利用等比数列的通项公式可得an=3n1， =，因此数列是等比数列利用等比数列的求和公式可得：2（+）由对于任意nN*，当t1，1时，不等式2（+）x2+tx+1恒成立，可得3x2+tx+1，即x2+tx20，令f（t）=xt+x22，利用一次函数的单调性即可得出【解答】解：a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn3Sn1（n2），a1=1，a2=3，Sn+1Sn=3（SnSn1），an+1=3an，n=1时也成立数列an是公比为3的等比数列，首项为1an=3n1=，因此数列是首项为1，公比为的等比数列2（+）=2=3对于任意nN*，当t1，1时，不等式2（+）x2+tx+1恒
24、成立，3x2+tx+1，化为x2+tx20，令f（t）=xt+x22，则，解得x2或x2，实数x的取值范围为（，22，+）故答案为：（，22，+）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n（1）证明：数列an是等差数列，并求出数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由a1=S1，n1时，an=SnSn1，结合等差数列的定义和通项公式即可得到；（2）求得=（），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和【解答】（1）证明：Sn=n2+
25、2n，可得a1=S1=3，n1时，an=SnSn1=n2+2n（n1）2（n1）=2n+1综上可得an=2n+1（nN*），即anan1=2，则数列an是首项为3和公差为2的等差数列，数列an的通项公式an=2n+1；（2）解： =（），即有前n项和为Tn=（+）=（）=18某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克
26、的概率【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）根据茎叶图所给的两组数据，分别做出这两组数据的平均数，再作出这两组数据的方差，得到甲车间的产品的重量相对较稳定（2）由题意知本题是一个古典概型的概率，试验发生包含的事件数，可以通过列举得到共有15种结果，而满足条件的事件数也通过列举得到，两个做比值得到概率【解答】解：（1），=21，=，=，S甲2S乙2，甲车间的产品的重量相对较稳定（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：，设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A的基本事件有4种：，故所求概率为19为了解学生的身体状况，某校
27、随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间将数据分成以下5组：第1组45，50），第2组50，55），第3组55，60），第4组60，65），第5组65，70，得到如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检（）求每组抽取的学生人数；（）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【分析】（I）根据频率分布直方图求出各组学生数之比，再根据分层抽样按比例抽得各组学生数即可；（II）根据古典概型的计算公式，先求从6名学生抽得2名学生的所
28、有可能情形，再求符合要求的可能情形，根据公式计算即可【解答】解：（）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3：2：1所以，每组抽取的人数分别为：第3组：6=3；第4组： =2；第5组： =1从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生 （）记第3组的3位同学为，；第4组的2位同学为A，B；第5组的1位同学为C 则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：（，），（，），（，A），（，B），（，C），（，），（，A），（，B），（，C），（，A），（，B），（，C），（A，B），（A，C），（B，C）共15种可能其中，（，），（，），（，），（A，B）四种为2名学生在
29、同一组，有11种可能符合2名学生不在同一组的要求，所求概率P=20下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据x3456y2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程=x+；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5）计算回归系数，公式为【考点】回归分析的初步应用【分析】（1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的
30、公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量【解答】解：（1）=4.5， =3.5，=32.5+43+54+64.5=66.5，=32+42+52+62=86，=0.7，=3.50.74.5=0.35所求的回归方程为=0.7x+0.35（2）现在生产100吨甲产品用煤=0.7100+0.35=70.35，9070.35=19.65生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤21已知函数f（x）=ax2（a+2）x+2（a为常数）（）当a=1时，解关于x的不等
31、式f（x）0；（）当aR时，解关于x的不等式f（x）0【考点】二次函数的性质【分析】（）a=1时，x23x+20，解得即可，（）原不等式等价为（ax2）（x1）0对a经行分类讨论，即可求出不等式的解集【解答】解：（）a=1时，x23x+20，解得1x2，故不等式的解集为（1，2）（）x的不等式f（x）0等价为（ax2）（x1）0（1）当a=0时，原不等式为（x1）0，解得x1即原不等式的解集为（1，+）（2）若a0，则原不等式可化为（x）（x1）0，对应方程的根为x=1或x=当1，即0a2时，不等式的解为1x当a=2时，不等式的解集为空集当1，即a2时，不等式的解为x1（3）若a0，则原不等式
32、可化为（x）（x1）0，所以1，所以不等式的解为x1或x综上：（1）当a=0时，不等式的解集为（1，+）（2）0a2时，不等式的解集为（1，）当a=2时，不等式的解集为空集当a2时，不等式的解集为（，1）当a0时，不等式的解集为（，）（1，+）22已知数列an的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有（I）求证：an+1+an=4n+2；（II）求数列an的通项公式；（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定【分析】（I）由，知，由此能够导出（II）在中，令n=1，得a1=2，
33、代入（I）得a2=4由an+1+an=4n+2，知an+2+an+1=4n+6，故an+2an=4，由此能导出数列an的通项公式是an=2n（III）等价于，令f（n）=，则f（n）0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围【解答】解：（I），=，即（II）在中，令n=1，得a1=2，代入（I）得a2=4an+1+an=4n+2，an+2+an+1=4n+6，两式相减，得：an+2an=4，数列an的偶数项a2，a4，a6，a26，依次构成一个等差数列，且公差为d=4，当n为偶数时， =，当n为奇数时，n+1为偶数，由上式及（I）知：an=4n+2an+1=4n+22（n+1）=2n，数列an的通项公式是an=2n（III），等价于，令f（n）=，则由（II）知f（n）0，=f（n+1）f（n），即f（n）的值随n的增大而减小，nN*时，f（n）的最大值为，若存在实数a，符合题意，则必有：，即，它等价于，解得，或，因此，存在实数a，符合题意，其取值范围为2016年12月10日
