1、河北武邑中学2019-2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.第卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求解集合再求并集即可.【详解】
2、因为,所以.故选：B【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.2.已知是虚数单位，且复数，且是实数，则实数的值为( )A. 6B. C. 0D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据复数运算公式求出，由于是实数，再根据复数的性质，令虚部为0，即可求出结果【详解】，是实数，得，故选A.【点睛】本题主要考查复数四则运算以及复数是实数的等价条件，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在
3、四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D4.设，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点
4、有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.5.大衍数列，米源于我国古代文献乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接代入检验，排除其中三个即可【详解】由题意，排除D，排除A，C同时B也满足，故选：B【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解6.椭圆的左、右焦点分别为、，点在
5、椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ）A. 7倍B. 6倍C. 5倍D. 4倍【答案】C【解析】【分析】根据题意可得轴，再利用通径的长度的一半，可求得，利用椭圆的定义可求得，即可得答案；【详解】设的中点为，为的中位线，轴，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义和通径等知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,再求体积.【详解】根据三视图
6、，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的，如图所示平面的面积为，故该几何体的体积，故选B. 【点睛】本题考查利用三视图求几何体的体积问题，关键时看懂三视图，能还原出原几何体的形状，属于中档题.8.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案【详解】解：的定义域为，恒成立，在，单调递增，当时，函数单调递增，故排除，当时，故排除，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题9.已知函数与轴交于点，距离轴最近的最大值点，若，且，
7、恒有，则实数的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由与轴交于点，则，可得，最大值点,则， 且，由五点作图法知，解得，求出的表达式，且，恒有，则在单调，由三角函数的单调性，可得出答案.【详解】由题意得，的最大值点,则.与轴交于点，则，所以又的最大值点，即，由五点作图法知，解得，且，恒有，则在单调.则，又（0，）是函数包含原点增区间的子区间，所以（a，a）是包含原点增区间的子集，令，. 解得，. ，故选：C.【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数解析式，根据单调性区间求参数的最值，属于中档题.10.唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.
8、”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出关于的对称点，根据题意，则为最短距离，即可得答案；【详解】设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，根据题意，为最短距离，先求出的坐标，的中点为，直线的斜率为1，故直线为，由，解得，所以，故，故选：A【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距
9、离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）A 4B. C. D. 【答案】B【解析】外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为中点，故考虑，所以点睛：和三角形外心有关的，多联系投影的应用，式子两边点击向量，出模长12.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，则函数的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【详解】当时，则，此时有，函数是周期为2的周期函数令，则，由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数在同一坐标系内画出函数和函数的图
10、象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点，函数的零点个数为3.选B点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解第II卷 非选择题（共90分）二、填空题13.若满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求出的最小值.【详解】做出满足的可行域，如下图所示（阴影部分），当目标函数过时，
11、取得最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组0-1区间的均匀随机数，然后进行平移和伸缩变换，若共产生了个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为_.（结果用，表示）【答案】【解析】【分析】根据平移和伸缩变换可得点落在矩形区域内，再利用几何概型的概率计算，估计面积，即可得答案；【详解】，落在长为4，宽为4的正方形区域内，其面积为，设和所围成图形的面积为，故答案为：.【点睛】本题考查随机模拟估计面积、几何概率模型的应用，考查数形结
12、合思想，考查运算求解能力.15.已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且，都位于第一象限，且，可知为的三等分点，设，将坐标用表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值.【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且，都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且，点在直线上，并且，则，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查
13、转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于，的齐次式，转化为，的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得（的取值范围）.16.点为棱长是正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为_【答案】【解析】由题意得经过球的球心，动点P的轨迹为经过点B且与垂直的平面被球所截所得的截面圆的圆周由几何知识可得，平面为过点B且与垂直的平面，由题意得截面圆即为的内切圆结合题意可得为边长等于的等边三角形，故内切圆的半径为，所以周长为答案：三、解答题17.为利于分
14、层教学，某学校根据学生的情况分成了，三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下：类第次12345分数（小于等于）150145839572110，；类第次12345分数（小于等于）15085939076101，；类第次12345分数（小于等于）1508592101100112，；（1）经计算已知，的相关系数分别为，请计算出学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留三位有效数字，越大认为成绩越稳定）；（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为，利用线性回归方程预测该生第九次的成绩.参考公式：（1
15、）样本的相关系数；（2）对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1），类学生；（2）135.2【解析】【分析】（1）根据公式计算，比较的大小，即可得答案；（2）根据回归直线经过样本点的中心，可求得的值，再将代入方程求得的值，即可得答案；【详解】（1）根据题意，可知类学生的，相关系数，又因，则类学生学习成绩最稳定（2）因为，所以，所以，当时，所以预测该生的第九次成绩约为135.2.【点睛】本题考查相关系数的计算及应用、回归方程的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.18.已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式，. （1）求数列的
16、通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 由是，的等差中项得,则，可得，所以得到，由通项公式可求得，从而得到答案.(2) ,用裂项相消法求和.【详解】（1）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以. 所以，. （2）由（1）可得，. 所以，所以.【点睛】本题考查等差等比数列的基本性质和用裂项相消法求和，属于中档题.19.如图，四边形是直角梯形，又，直线与直线所成的角为60.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知，可得平面，即可证明结论；（2）过做，交于，连，根据（1）可得平面
17、，得到为异面直线与直线所成的角，在求出，中可得出，求出，用等体积法，即可求解.【详解】（1），平面，平面，.（2）过做，交于，连，为中点，平面，平面，为异面直线与直线所成的角，在中，由余弦定理得，在中，设点到平面的距离为，点到平面的距离为.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与直线垂直，应用等体积法求点到平面的距离，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标【答案】（1）；（2）证明见解析，定点【解析】【分析】（1）设，利
18、用“点差法”确定的值，从而求出直线的方程；（2）求出直线的方程，利用韦达定理以及探究直线过哪个定点.【详解】（1）设，则，得 又因为是线段的中点，所以所以， 又直线过，所以直线的方程为；（2）依题设，直线的方程为，即，亦即，代入抛物线方程并化简得 所以， 于是， 同理，易知，所以直线的斜率故直线的方程为，即此时直线过定点故直线恒过定点【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求证：【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）见解析【解析】【分析】（1）分别令，求出单调性；
19、（2）设，则， 要证：，即证：，而，令，等价于， ，证明的单调性即可.【详解】（1）函数定义域为 ，令得，令得，故在单调递增，在单调递减.（2），不妨设，则， 要证：，即证：（*），而，令，（*）等价于， ，设， 令，在恒成立，则在单调递增，故，故在单调递增，故，故原命题得证【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为（，），点是曲线与的交点，点是
20、曲线与的交点，、均异于原点，且，求实数的值.【答案】（1）：，:（2）或【解析】【分析】（1）消去参数,可得曲线的普通方程，利用可得直角坐标方程；（2）将曲线化为极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义，结合辅助角公式，即得解.【详解】（1）曲线的参数方程为,消去参数，可得曲线的普通方程为：故：曲线的极坐标方程为.又故：的直角坐标方程为：.（2）曲线：化为极坐标方程为设点，依题设知，所以由知因为，故或因此或【点睛】本题考查了极坐标，参数方程与一般方程的互化，以及利用极坐标的几何意义解决线段长度问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.23.已知函数，解不等式；若对任意的，均存在，使得成立，求实数a的取值范围【答案】()；()【解析】试题分析：（1）由题意得，所以，解得；（2）由题意，所以，解得或试题解析：()由，得，得不等式的解为 ()，对任意的均存在，使得成立， ， ，解得或，即实数的取值范围为：或点睛：本题考查绝对值不等式绝对值不等式的求解，掌握基本解法即可绝对值的三角不等式考查技巧性较高，形式上需要满足定义域及系数的统一，本题的另一个难点就是题意的理解转化，得到值域的包含关系
