1、1.3正弦定理、余弦定理的应用学 习 目 标核 心 素 养1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.正、余弦定理在物理学中的应用【例1】如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力试求杆OA，OB所受的力思路探究：先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解解如图，作F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作OCED，则F1，F2.由题设条件可知，|10，OCE50，OEC70，所以CO
2、E180507060.在OCE中，由正弦定理，得，因此，|F1|11.3 N，|F2|12.3 N.即灯杆OA所受的力为11.3 N，灯杆OB所受的力为12.3 N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.1作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡已知F130 N，F250 N，F1与F2之间的夹角是60，求F3的大小与方向(精确到0.1)解F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在OF1F中，由余弦定理，得F70(N)，再由正弦定理，得sinF1
3、OF，所以F1OF38.2，从而F1OF3141.8.即F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8.正、余弦定理在几何中的应用【例2】如图，在ABC中，B，AC2，cos C.(1)求sinBAC的值；(2)设BC的中点为D，求中线AD的长思路探究：(1) (2) 解(1)因为cos C，且C是三角形的内角，所以sin C.所以sinBACsin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.(2)在ABC中，由正弦定理得，则BCsinBAC6，所以CDBC3.又在ADC中，AC2，cos C，所以由余弦定理得，AD.(三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几
4、何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.2.如图所示，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.解(1)因为BCD9060150，CBACCD，所以CBE15.所以cosCBEcos(4530).(2)在ABE中，AB2，由已知和(1)知ABEABCCBE451530，AEBACBEBC9015105，由正弦定理，得，AE.正、余弦定理在测量学中的应用探究问题1如图，A，B两点在河的对岸，且不可到达，
5、如何测量其两点间的距离？提示在河岸这边选取点C，D，测得CDa，ACD，BCD，BDC，ADC，则在ACB和ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在ACB中应用余弦定理求AB.2如图，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)提示测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角，前进a米后，再测出此时山顶的仰角，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用ABhH求解【例3】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行
6、速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时？思路探究：在ABD中，利用正弦定理求出BD的长，再在DBC中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间解由题意知AB5(3)，DBA906030，DAB45，所以ADB105，所以sin 105sin 45cos 60sin 60cos 45，在ABD中，由正弦定理得，所以BD10，又DBC180606060，BC20，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcos 603001 20021020900，所以CD30(海里)，则至少需要的时间t1(小时)本例中，A与B的距离改为“5()海里”，点C的位置改为“位于A点南偏西15且与A
7、点相距10海里，如图所示”，其他条件不变，应如何解答？解在ABD中，由正弦定理得，所以AD10.在ACD中，CAD904515150，AD10，AC10，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 15010030021010700，所以CD10(海里)，则需要的时间t(小时)1解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用2测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决
8、此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解1本节课要掌握四类问题的解法(1)测量距离问题(2)测量高度问题(3)角度问题(4)与立体几何有关的测量问题2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解1判断正误(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离
9、无法求得()(3)东偏北45的方向就是东北方向()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面()答案(1)(2)(3)(4)提示已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错2身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()Ad1d2Bd120 m Dd2tan 40，所以d1d2.3一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为_6 kmv实2(km/h)所以实际航程为26(km)4某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要_元150aS2030sin 1502030150(m2)，购买这种草皮需要150a元5如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40 m的C，D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA60，那么此时A，B两点间的距离是多少？解在ACD中，应用正弦定理得AC20(1)(m)，在BCD中，应用正弦定理得BC40(m)在ABC中，由余弦定理得AB20(m)
