1、5.计数原理与二项式定理1已知函数f(x)x2ln x设g(x)f(x)，求证：g(x)ng(xn)2n2(nN*)证明f(x)x，即g(x)x.当n1时，不等式成立当n2时，g(x)ng(xn)nCxn2Cxn4C，由已知x0，所以g(x)ng(xn)CCC2n2.2(2017江苏常熟中学质检)设等差数列an的首项为1，公差为d(dN*)，m为数列an中的项(1)若d3，试判断m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，m的展开式中均不含常数项(1)解因为an是首项为1，公差为3的等差数列，所以an3n2.假设m的展开式中第r1项为常数项(rN)，Tr
2、1Cxmrr，于是mr0.设m3n2(nN*)，则有3n2r，即r2n，这与rN矛盾所以假设不成立，即m的展开式中不含常数项(2)证明由题设知an1(n1)d，设m1(n1)d，由(1)知，要使对于每一个m，m的展开式中均不含常数项，必须有：对于nN*，满足1(n1)dr0的r无自然数解，即r(n1)N.当d3k(kN*)时，r(n1)2k(n1)N.故存在无穷多个d，满足对每一个m，m的展开式中均不含常数项3(2017江苏震泽中学模拟)已知f(x)(2)n，其中nN*.(1)若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；(2)当x3时，求证：f(x)必可表示成(sN*)的形式(1)解因为Tr1C
3、2nr,所以r6，故x3项的系数为C2n614，解得n7.(2)证明由二项式定理可知，(2)nC2n()0C2n1()1C2n2()2C20()n，设(2)nxy，而若有(2)n，a，bN*，则(2)n，a，bN*.()()(2)n(2)n1，令as，sN*，则ab1，有bs1，(2)n必可表示成的形式，其中sN*.4(2017江苏启东中学质检)已知p(p2)是给定的某个正整数，数列ak满足：a11，(k1)ak1p(kp)ak，其中k1,2,3，p1.(1)设p4，求a2，a3，a4；(2)求a1a2a3ap.解(1)由(k1)ak1p(kp)ak，得p，k1,2,3，p1，即46，a26a16；4，a316；41，a416.(2)由(k1)ak1p(kp)ak，得p，k1,2,3，p1，即p，p，p，以上各式相乘，得(p)k1，ak(p)k1(p)k1(p)k2CC(p)k，k1,2,3，p，a1a2a3apC(p)1C(p)2C(p)3C(p)p(1p)p1
