1、5.计数原理与二项式定理1已知函数f(x)x2ln x设g(x)f(x),求证:g(x)ng(xn)2n2(nN*)证明f(x)x,即g(x)x.当n1时,不等式成立当n2时,g(x)ng(xn)nCxn2Cxn4C,由已知x0,所以g(x)ng(xn)CCC2n2.2(2017江苏常熟中学质检)设等差数列an的首项为1,公差为d(dN*),m为数列an中的项(1)若d3,试判断m的展开式中是否含有常数项?并说明理由;(2)证明:存在无穷多个d,使得对每一个m,m的展开式中均不含常数项(1)解因为an是首项为1,公差为3的等差数列,所以an3n2.假设m的展开式中第r1项为常数项(rN),Tr
2、1Cxmrr,于是mr0.设m3n2(nN*),则有3n2r,即r2n,这与rN矛盾所以假设不成立,即m的展开式中不含常数项(2)证明由题设知an1(n1)d,设m1(n1)d,由(1)知,要使对于每一个m,m的展开式中均不含常数项,必须有:对于nN*,满足1(n1)dr0的r无自然数解,即r(n1)N.当d3k(kN*)时,r(n1)2k(n1)N.故存在无穷多个d,满足对每一个m,m的展开式中均不含常数项3(2017江苏震泽中学模拟)已知f(x)(2)n,其中nN*.(1)若展开式中含x3项的系数为14,求n的值;(2)当x3时,求证:f(x)必可表示成(sN*)的形式(1)解因为Tr1C
3、2nr,所以r6,故x3项的系数为C2n614,解得n7.(2)证明由二项式定理可知,(2)nC2n()0C2n1()1C2n2()2C20()n,设(2)nxy,而若有(2)n,a,bN*,则(2)n,a,bN*.()()(2)n(2)n1,令as,sN*,则ab1,有bs1,(2)n必可表示成的形式,其中sN*.4(2017江苏启东中学质检)已知p(p2)是给定的某个正整数,数列ak满足:a11,(k1)ak1p(kp)ak,其中k1,2,3,p1.(1)设p4,求a2,a3,a4;(2)求a1a2a3ap.解(1)由(k1)ak1p(kp)ak,得p,k1,2,3,p1,即46,a26a16;4,a316;41,a416.(2)由(k1)ak1p(kp)ak,得p,k1,2,3,p1,即p,p,p,以上各式相乘,得(p)k1,ak(p)k1(p)k1(p)k2CC(p)k,k1,2,3,p,a1a2a3apC(p)1C(p)2C(p)3C(p)p(1p)p1