1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理(重点)2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理,并知道其地位和作用(易混点)3能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行(难点)1.通过学习直线与平面平行的判定,提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养;2通过学习平面与平面平行的判定,培养直观想象、逻辑推理的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理定理直线与平
2、面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理 文字语言 一条直线与 的一条直线 ,则该直线与此平面平行一个平面内的 与另一个平面平行,则这两个平面平行 平面外此平面内平行两条相交直线符号语言 l 图形语言laalababPa,b思考:(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行,对吗?(2)平面平行有传递性吗?提示(1)根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误(2)有若、为三个不重合的平面,则,.D A 错误,若 b,ab,则 a 或 a;B 错误,若 b,c,ab,ac,则 a 或 a;C 错误,若满足此条件,则 a或 a 或 a 与 相交;D 正确,a,b,ab 恰好
3、是判定定理所具备的不可缺少的三个条件1能保证直线 a 与平面 平行的条件是()Ab,abBb,c,ab,acCb,Aa,Ba,Cb,Db,且 ACBDDa,b,abA 根据面面平行的判定定理可知 a,b 相交2已知平面 内的两条直线 a,b,a,b,若要得出平面平面,则直线 a,b 的位置关系是()A.相交 B平行C异面D垂直a 因为,所以 与 无公共点,因为 a,所以 a 与 无公共点,所以 a.3已知平面 平面,直线 a,则直线 a 与平面 的位置关系为_合 作 探 究 释 疑 难 直线与平面平行的判定【例 1】如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1
4、C1 的中点求证:(1)AD1平面 BDC1;(2)BD平面 AB1D1.证明(1)D1,D 分别为 A1C1,AC 的中点,四边形 ACC1A1为平行四边形C1D1 綊 DA,四边形 ADC1D1 为平行四边形,AD1C1D.又 AD1平面 BDC1,C1D平面 BDC1,AD1平面 BDC1.(2)连接 DD1,BB1平面 ACC1A1,BB1平面 BB1D1D,平面ACC1A1平面 BB1D1DDD1,BB1DD1,又D1,D 分别为 A1C1,AC 的中点,BB1DD1,故四边形 BDD1B1 为平行四边形,BDB1D1,又 BD平面 AB1D1,B1D1平面 AB1D1,BD平面 A
5、B1D1.1判断或证明线面平行的常用方法有:(1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作);(2)判定定理法(a,b,aba);(3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内2证明线线平行的常用方法:(1)利用三角形、梯形中位线的性质;(2)利用平行四边形的性质;(3)利用平行线分线段成比例定理跟进训练1如图,四边形 ABCD 是平行四边形,P 是平面 ABCD 外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点求证:MN平面 PAD.证明 如图,取 PD 的中点 G,连接 GA,GN.G,N 分别是PDC 的边 PD,PC 的中点,GNDC,GN12DC.M 为平行四边形 ABCD 的边 A
6、B 的中点,AM12DC,AMDC,AMGN,AMGN,四边形 AMNG 为平行四边形,MNAG.又MN平面 PAD,AG平面 PAD,MN平面 PAD.平面与平面平行的判定【例 2】如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,G 为 DD1 上一点,且 D1GGD12,ACBDO.求证:平面 AGO平面 D1EF.证明 设 EFBDH,连接 D1H,在DD1H 中,因为DODH23 DGDD1,所以 GOD1H,又 GO平面 D1EF,D1H平面 D1EF,所以 GO平面 D1EF.在BAO 中,因为 BEEA,BHHO,所以 EHAO,又 AO平面
7、 D1EF,EH平面 D1EF,所以 AO平面 D1EF,又 GOAOO,所以平面 AGO平面 D1EF.平面与平面平行的判定方法:(1)定义法:两个平面没有公共点(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面(3)转化为线线平行:平面 内的两条相交直线与平面 内的两条相交直线分别平行,则.(4)利用平行平面的传递性:若,则.跟进训练2如图所示,在三棱锥 S-ABC 中,D、E、F 分别是棱 AC、BC、SC 的中点求证:平面 DEF平面 SAB.证明 因为 D、E 分别是棱 AC、BC 的中点,所以 DE 是ABC 的中位线,DEAB.因为 DE平面 SAB,AB平面 SAB,
8、所以 DE平面 SAB,同理可证:DF平面 SAB,又因为 DEDFD,DE平面 DEF,DF平面 DEF,所以平面 DEF平面 SAB.线面、面面平行的综合问题探究问题观察下面两个图形:1怎样证明平面 中的直线与平面 平行?提示 利用线面平行的判定定理,只需在平面 中找到一条与平面 中的直线平行的直线即可2怎样证明两个平面平行?提示 利用面面平行的判定定理,只需平面 中的两条相交直线分别与平面 平行即可【例 3】已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD,点 E 在 PD上,且PEED21,在棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论,并说出点 F 的位置思路探究:解答本题应抓住
9、 BF平面 AEC.先找 BF 所在的平面平行于平面 AEC,再确定 F 的位置解 如图,连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 OE,过 B 点作 OE 的平行线交 PD 于点 G,过点 G 作 GFCE,交 PC 于点 F,连接 BF.BGOE,BG平面 AEC,OE平面 AEC,BG平面 AEC.同理,GF平面 AEC,又 BGGFG.平面 BGF平面 AEC.BF平面 AEC.BGOE,O 是 BD 中点,E 是 GD 中点又PEED21,G 是 PE 中点而 GFCE,F 为 PC 中点综上,当点 F 是 PC 中点时,BF平面 AEC.本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥 P-
10、ABCD,在棱 PD上是否存在一点 E,使 PB平面 ACE?若存在,请找出 E 点位置;若不存在,请说明理由”,该如何解决?解 如图,连接 AC、BD 交于点 O,取 PD 中点为 E,连接 OE、AE、CE,则在PBD 中,OEPB,又 OE平面 ACE,PB平面 ACE,所以 PB平面 ACE.此时 E 为 PD 中点,故当 E 为 PD 中点时,能使PB平面 ACE.解决线线平行与面面平行的综合问题的策略:(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的(2)线线平行判定 线面平行判定 面面平行所以平行关系的综合问题的解决
11、必须灵活运用三种平行关系的判定定理课 堂 小 结 提 素 养 1直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行,即要证直线和平面平行,先证直线和直线平行,即由立体向平面转化,由高维向低维转化2证明面面平行的一般思路:线线平行线面平行面面平行3准确把握线面平行及面面平行两个判定定理的使用前提条件,是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键D 由面面平行的定义知,选 D.1平面 与平面 平行的条件可以是()A 内有无数多条直线与 平行B直线 a,aC直线 a,直线 b,且 a,bD 内的任何直线都与 平行B 因为 ABA1B1,AB平面 A1B1C1,A1B1平面 A1B1C1,所以AB平面 A1B1C1.2在三棱台 ABC-A1B1C1 中,直线 AB 与平面 A1B1C1 的位置关系是()A相交 B平行 C在平面内 D不确定3如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AB 的中点证明:BC1平面 A1CD.证明 连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 BC1DF.因为 DF平面 A1CD,BC1平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!