1、体积的等积变形一填空题（共24小题）1如果一个长方体的长增加20%，宽增加10%，高减少10%，则它的体积增加了 %。2如图，将一个小正方体放入一个大正方体内，小正方体的体积为5立方厘米，大正方体棱长是小正方体棱长的4倍，则两个正方体之间空白部分的体积为 立方厘米。3一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶内酒精体积是 立方厘米4一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内已知
2、原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为 cm5如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米圆锥形铁块的高 厘米6用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是 cm7一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升
3、高至16厘米，则石块的体积是 立方厘米8在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降说法正确的是 9有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是 厘米10一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8厘米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是 厘米11一个正
4、方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多 12把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加 平方厘米13如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体积是 cm314图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图b中，水瓶中圆锥部分的高
5、度为 厘米15如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米若将木块从容器中取出，水面将下降 厘米16一位拉面师傅，拉出的面条很细很细他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长1.6米的圆柱形面棍，然后对折拉长到1.6米，再对折拉长到1.6米，又再对折拉长到1.6米，如此继续进行下去最后拉出的面条的粗细（直径）只有原先面棍的，这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和有 米（假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费）17一个盖有瓶盖的玻璃瓶里面装着一些水（如图所示，玻璃的厚度忽略不计），请你根据图中标
6、明的数据，计算瓶子的容积是 立方厘米。18如图，瓶子高度为25厘米，下部成直圆筒形。内装8两油，油面高14厘米；若将其倒立，则油面高18厘米。这个瓶子可装油 两。19圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径1厘米，高15厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深 厘米20把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水3.14升如果将钢球铸成底面直径为2分米的圆柱体，它的高是 分米21如图，有两个长方体水箱中装有水甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，水面高10厘米现将甲水箱中的部分水倒入乙水
7、箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高 厘米（水箱厚度不计22在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深 分米23已知如图中，A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米，h为0.5米，现在要把A地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高 米24往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到（也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍）另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同即使是往相同的容器里倒入的啤酒量，也会因倒入的方法不同而不同如图，往深度为30厘米的圆柱形
8、的容器里倒入500毫升的啤酒，从容器的底部到以上15厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第一次）然后，往相同的容器里倒入700毫升的啤酒，从容器的底部到以上x高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第二次）x的值是 二解答题（共34小题）25一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？26一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？27
9、设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？28一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0a50，现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？29一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10厘米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？30如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满
10、；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在 （）（A）20cm3以上，30cm3以下；（B）30cm3以上，40cm3以下；（C）40cm3以上，50cm3以下；（D）50cm3以上，60m3以下31一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中的数据，计算这个瓶子的容积是多少？32在一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘米的玻璃鱼缸中，放入一个棱长为10厘米的正方体石块这时鱼缸内的水上升了 厘米，鱼缸水的高度达到 厘米33有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后
11、，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？34一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器已知容器的高度是50厘米长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？35有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？36将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一
12、个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积37一个棱长为6厘米的正方体容器里放了4厘米深的水，现放入棱长为2厘米的正方体木块，这木块一半沉在水中，容器里的水升高了多少厘米？38一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米把一块铁块从这个容器的水中取出后，水面下降2厘米，这块铁块的体积是多少？39有一空的长方体容器A和装有21厘米深水的圆柱体容器B，其中B的底面积是A的3倍，现在将B中的水倒一部分到A中，使B中水深是A中水深的2倍，那么A容器的水深将是多少？40在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8厘米，这时池里的
13、水面就下降4厘米问：这个铁块的体积是多少立方厘米？41一个圆柱，底面直径是4分米，它的侧面积是62.8平方分米，那么它的体积是多少立方分米？42一个长方体容器，长90厘米，宽40厘米容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？43一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器的水深是多少厘米？44一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中现将铁块取出，水面下降18厘米；
14、如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米？45一个容器装了的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的已知每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半求大、中、小三球的体积比46有一种饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30dm3。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20cm，倒放时空余部分的高度为5cm。问：瓶内现有饮料多少立方分米？47有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别是20厘米
15、，24厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了6厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水没外溢，则这时乙杯中的水位上升了 厘米48一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米请问：原正方体的体积是多少？49在一个有溶剂刻度的瓶子里装水300毫升把瓶倒放后，瓶里水的水平面在250毫升刻度线处，这瓶子的容积是多少毫升？50一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？51如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的
16、长方体水池，存有四分之三池水，请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？52图中，A，B是两个圆柱形水槽，内直径分别是60厘米和20厘米，底部用带阀门的管子相连，（解题中不考虑管子的容积）关上阀门，分别向A，B里注入50.24升水后，两个水槽的水面高度相差几厘米？打开阀门，水面离槽底的高度有几厘米？53皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米皮球有的体积浸在水中问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多
17、少厘米？（注：半径为r的球的体积是）54有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？55如图饮料瓶中装有18升的饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还能装进多少升的饮料？56有一个棱长为1米的木质正方体，已知将其放入水中将有0.7米浸入水里现将其分割成棱长为0.2米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，求此时各小正方体直接和水接触的表面积的和是多少？57把一
18、个底面积是12.56平方厘米的圆锥形钢件，放入长6.28cm，宽6cm的装有水的长方体容器内，水面升高1cm这个钢件的高是多少厘米？58如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据沙从上面的容器漏到下面的容器的数量计量时间的（单位：cm）（1）这时沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？（2）这时沙漏下部沙子的体积是多少立方厘米？体积的等积变形参考答案与试题解析一填空题（共24小题）1如果一个长方体的长增加20%，宽增加10%，高减少10%，则它的体积增加了18.8%。【分析】设原来的长为a，宽为b，高为c，则新长方形的高为120%a，宽为110%b，高为90%c
19、，根据长方体的体积公式进行计算即可。【解答】解：设原来的长为a，宽为b，高为c，则新长方形的高为120%a，宽为110%b，高为90%c新的体积为：120%110%90%abc118.8%abc（118.8%abcabc）abc100%18.8%答：它的体积增加了18.8%。故答案为：18.8。【点评】本题主要考查了长方体的体积公式，熟练掌握是本题解题的关键。2如图，将一个小正方体放入一个大正方体内，小正方体的体积为5立方厘米，大正方体棱长是小正方体棱长的4倍，则两个正方体之间空白部分的体积为315立方厘米。【分析】根据正方体体积的计算公式以及积的变化规律，可以求出大正方体的体积，再减去小正方
20、体的体积即为所求。【解答】解：54445201653205315（cm3）答：两个正方体之间空白部分的体积为315立方厘米。故答案为：315。【点评】本题主要考查了正方体的体积公式以及积的变化规律，熟练掌握即可。3一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶内酒精体积是19.8立方厘米【分析】液体体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，圆柱的高为6+28厘米，知道瓶子的容积和高，则可求底面积，底面积乘瓶内的酒精的液面高即可得酒精的体积【解答】解：圆柱的
21、底面积：26.4（6+2）3.3（平方厘米），瓶内酒精体积：3.3619.8（立方厘米）；答：瓶内酒精体积是19.8立方厘米【点评】此题关键是明白液体体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，瓶子倒放时，空余部分成为可计算的，进而可以求解4一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为27cm【分析】根据正方体的体积公式先求出大正方体的体积和8小正方体的体积，然后相减可得剩下的体积，然后设放入铁块后水面高度变为xcm根据原来水的体积+铁
22、块的体积露出水面的铁块的体积，列方程解答即可【解答】解：303030101010827000800019000（立方厘米）设放入铁块后水面高度变为xcm2500x250020+190001010（30x）5 2000x54000 x27答：放入铁块后水面高度变为27cm故答案为：27【点评】本题考查了体积的等积变形，要注意水没有完全浸没铁块，还有露出来的部分5如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米圆锥形铁块的高15厘米【分析】根据题意知道圆柱形容器的水面下降的3.2cm的水的体
23、积就是1个圆锥形铁块的体积，由此再根据圆锥的体积公式的变形，h3Vs，即可求出铁块的高【解答】解：圆锥形铁块的体积是：3.14（102）23.23.14253.2251.2（cm3）铁块的高是：251.233.14（）2251.2350.2415（cm）答：铁块的高是15cm【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据下降的水的体积求得圆锥铁块的体积是本题的关键6用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm【分析】
24、圆柱与圆锥的底面半径和高都相等，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，又因205203，所以将容器倒立，沙子不能填满圆柱，则圆柱内沙子的高度应该是5+203，据此即可得解【解答】解：据分析可知，沙子的高度为：5+20311（厘米）；答：沙子的高度为11厘米故答案为：11【点评】解答此题的主要依据是：圆柱的体积是与其等底等高的圆锥体积的3倍7一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是5832立方厘米【分析】根据题意，把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，首先求出水面上升的高度，1
25、6厘米12厘米4厘米，石头的体积等于玻璃缸内高为4厘米的水的体积，但考虑到石块可能会露出水面，所以假设块棱长是16厘米，则体积为：1616164096（立方厘米）比5184小，所以石块有部分露出水面，所以要先求出石块的底面积，进而求出体积，由此解答【解答】解：5424（1612）12964，5184（立方厘米）；若石块棱长是16厘米，则体积为：1616164096（立方厘米）比5184小，所以石块有部分露出水面石块的底面积是：518416324（平方厘米），3241818，所以石块的棱长是18厘米石块的体积是：1818185832（立方厘米）答：石块的体积是5832立方厘米故答案为：5832【
26、点评】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解决这类物体，注意，要判断石块是否完全浸没在水中，再根据长方体的体积计算方法解答8在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降说法正确的是小华【分析】石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降问题得以解决【解答】解：石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该
27、下降，正确的是小华故答案为：小华【点评】本题主要是考察了同等质量相同的水和石头的体积的大小关系9有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是7厘米【分析】按题意，放进铁块后，水面高度肯定小于铁块高度，而油面可能漫过铁块，故可以先求的水面的高，再利用体积变形求得油层的高【解答】解：根据分析，水高16126（161288）9（厘米），设油层高为x厘米，故：油层的体积V16126（129）（161288）+（x3）1612，解得：x7即：油层
28、的层高是7厘米故答案是：7【点评】本题考查了体积的等积变形，本题突破点是：先求出水高，再求油层高10一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8厘米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是5.4厘米【分析】先根据圆柱的体积计算公式：Vr2h，求出水的体积，然后设圆柱体容器的高是h厘米，根据圆柱的体积计算公式，求出圆柱体体积，有题意可知：长方体铁块的高即圆柱容器的高，则长方体铁块的高也是h厘米，进而根据长方体体积计算公式，求出长方体铁块的体积，进而根据：水体积+长方体体积圆柱体体积，列出方程，解答即可【解答】解：设圆柱体容
29、器的高是h厘米，则：624.8+43h62h 3364.8（33612）h 96h518.4 h5.4答：长方体的高是5.4厘米故答案为：5.4【点评】明确长方体铁块的高即圆柱容器的高，是解答此题的关键11一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多48【分析】首先根据正方体的体积公式：va3，求出正方体的体积，再根据长方体的体积公式：vabh，用体积除以长除以宽求出高，由正方体的表面积公式：s6a2，长方体的表面积公式：s（ab+ah+bh）2，把数据分别代入公式求出它们的表面积差即可【解答】解：长方体的高：12121
30、2（188）172814412，（188+1812+812）212126（144+216+96）21446456286491286448故答案为：48【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用12把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加1666平方厘米【分析】把正方体的橡皮泥捏成长方体，只是形状变了，但体积不变，首先根据正方体的体积公式：va3，求出正方体的棱长，进而求出正方体的表面积，改成棱长为整厘米数的一个长方体，要使表面积最大，则改成底面边长为1厘米，高为512厘米长方体根据长方体的表面积公式求出这个长方体的表面积
31、，然后与正方体的表面积进行比较即可【解答】解：因为512888，所以正方体的棱长是8厘米，正方体的表面积：886384（平方厘米）；把这个正方体改捏成底面边长1厘米，高为512厘米长方体，长方体的表面积：112+151242+20482050（平方厘米）；20503841666（平方厘米）；答：表面积最多能增加1666平方厘米故答案为：1666【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用13如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3【分析】通过
32、画图分析，结合题意，得出立体图形有8个面；它的体积等于正方体体积的一半减去三棱锥的体积；正方体的体积棱长3，三棱锥的体积sh，三棱锥的底面正好是正方形面积的一半，高即正方体的高，代入数值，计算即可得出结论【解答】解：（666）（662）6，10836，72（立方厘米）；答：正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3故答案为：8，72【点评】此题做题的关键是要弄清要求得立体图形是个什么形状，要认真分析，进而根据正方体和三棱锥的体积计算方法，进行计算即可14图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度
33、为12厘米将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图b中，水瓶中圆锥部分的高度为 6厘米【分析】两个瓶中空气部分的体积不变，所以左图中空气部分的体积就等于右图中高为261610（厘米）空气柱的体积，所以瓶的容积是：（102）2（12+10）550（立方厘米）；如果把瓶看作高为26厘米的圆柱的话，体积比原来多：（102）226550100（立方厘米）；这部分多的体积相当于水瓶中圆锥部分的体积的2倍，所以根据圆锥的体积计算公式可求出高【解答】解：261610（厘米），（102）2（12+10）550（立方厘米），（102）226550100（立方厘米），1002（102）26（厘米）；
34、答：水瓶中圆锥部分的高度为6厘米故答案为：6【点评】本题考查了复杂的体积的等积变形问题，关键是把不规则的左图中空气部分的体积转化为右图中规则的空气柱的体积15如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米若将木块从容器中取出，水面将下降1.5厘米【分析】由题意知，将木块拿出水面，那么水的体积就减少了原来浸在水中的木块部分的体积，可以根据长方体的体积公式计算得出减少的体积，用减少的体积除以容器的底面积就可求得水面下降的高度【解答】解：55（52）50，25350，7550，1.5（厘米），答：水面将下降1.5厘米故答案为：1.
35、5【点评】此题是利用长方体的体积公式与圆柱的体积公式的综合应用，抓住浸入水中部分的木块的体积，就是拿出木块后水减少的体积16一位拉面师傅，拉出的面条很细很细他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长1.6米的圆柱形面棍，然后对折拉长到1.6米，再对折拉长到1.6米，又再对折拉长到1.6米，如此继续进行下去最后拉出的面条的粗细（直径）只有原先面棍的，这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和有 6553.6米（假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费）【分析】第一次对折后长度为1.62米，第二次对折后长度为1.622米，第三次对折后长度为1.623米，第四次对折后长度为1
36、.624米，第n次对折后长度为1.62n米，设面条原来的半径为r，最后拉出的面棍粗细仅有原来面棍的，则此时面条的直径是，由于虽然面条的长度发生了变化，但是体积没有发生变化，设最后的长度为x，根据圆柱的体积公式可得方程：1.6r2x【解答】解：设面条原来的半径为r，最后的长度为x，可得方程：1.6r2x， 1.6r2x， 1.6 x6553.6答：最后面条师傅拉出的这些面条的总长度有6553.6米故答案为：6553.6【点评】明确这一过程中，拉面的体积没有变，并由此列出方程进行分析是完成本题的关键17一个盖有瓶盖的玻璃瓶里面装着一些水（如图所示，玻璃的厚度忽略不计），请你根据图中标明的数据，计算
37、瓶子的容积是 80立方厘米。【分析】由已知我们可以知道，一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，两种放法的水的体积是相等的，那么用第一个图的水的体积加上第二图空的体积就是瓶子的容积；然后根据圆柱的体积公式解答即可。【解答】解：10（107+5）10880（立方厘米）答：瓶子的容积是80立方厘米。故答案为：80。【点评】此题关键要通过已知明确两种放法的水的体积是相等的，可得到瓶子的容积等于第一个图水的体积加上第二个图空的部分的体积。18如图，瓶子高度为25厘米，下部成直圆筒形。内装8两油，油面高14厘米；若将其倒立，则油面高18厘米。这个瓶子可装油12两。【分析】正着放的空瓶部分的体积倒着放的空瓶部分
38、的体积瓶的容积已装油的体积，所以正着放的空瓶部分的体积相当于底面与瓶子底面相等，高为25187厘米高的圆柱的体积，整个瓶子的体积就转化为高为7+1421厘米的圆柱的体积。【解答】解：（814）（7+14）12（两）答：这个瓶子可装油12两。故答案为：12。【点评】本题解答的难点和关键是把不规则的空隙部分的体积转化为规则的圆柱的体积，运用等积变形解答。19圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径1厘米，高15厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深10.42厘米【分析】放入铁棒前后的水的体积不变，根据水深10厘米，可以先求得水
39、的体积，那么放入铁块后，容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度【解答】解：3.145210（3.14523.1412），3.142510（3.14253.141），78.510（78.53.14），78575.36，10.42（厘米），答：这时水深10.42厘米故答案为：10.42【点评】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了铁棒的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题20把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水3.14升如果将钢球铸成底面直径为2分米的圆柱体，它的高是1分米【分析】溢出水的体积等于钢球体积，将钢球铸成圆柱体，圆柱体积等于钢球体积，
40、用体积除以底面积即得圆柱的高【解答】解：铸成圆柱的底面半径：221（分米），3.14升3.14立方分米，3.14（3.1412），3.143.14，1（分米），答：圆柱的高是1分米故答案为：1【点评】解答此题的关键是理解溢出水的体积就是钢球的体积，也是圆柱的体积，再用体积除以底面积就是圆柱的高，由此解决问题21如图，有两个长方体水箱中装有水甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，水面高10厘米现将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高16.4厘米（水箱厚度不计【分析】由甲水箱长40厘米，宽32厘米，可求出甲水箱的底面积，由乙水箱长30厘
41、米，宽24厘米，可求出乙水箱的底面积，进而求出甲、乙 两水箱的底面积的比；由甲水箱中水的高度可求出甲水箱中水的体积，由乙水箱中水的高度，可求出乙水箱中水的体积，进而求出两个水箱中水的总体积，把水的体积按比例分配，即可求出每个水箱中水的体积，然后再用水的体积除以水箱的底面积即可再求出水面的高度【解答】解：（4032）：（3024）1280：72016：9，403220+30241025600+720032800（立方厘米）328003280020992（立方厘米）20992（4032）20992128016.4（厘米）；或328003280011808（立方厘米）11808（3024）11808
42、72016.4（厘米）；故答案为：16.4【点评】将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，关键是求每个水箱中水的体积，而要求每个水箱中放入水的体积，必须求出水的总体体，再求出两个水箱底面积的比，根据按比例分配即可求出每个水箱放入的水的体积，进而求出水面的高度22在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深20.09分米【分析】要求这时容器中水深多少分米，由题意可知，先根据“正方体的体积棱长3”，求出正方体铁块的体积，即33327立方分米，放入容器中，体积增加27立方分米；根据“长方体的底面积长宽”求出容器的底面
43、积，进而根据“长方体的高体积底面积”求出上升水的高度，然后加上水原来的深度即可【解答】解：30厘米3分米，（333）（2015）+20，27300+20，20.09（分米）；答：这时容器中水深20.09分米；故答案为：20.09【点评】解答此题的关键是先抓住不变量，即铁块的体积不变，根据长方体的体积、底面积和高的关系，求出水上升的高度，进而得出结论23已知如图中，A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米，h为0.5米，现在要把A地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高0.3米【分析】首先根据长方体的体积底面积高，求出底面积是24平方米，高是0.5米的长方体的体积是多少；然后用底面
44、积是24平方米，高是0.5米的长方体的体积除以A面和B面的面积的面积和，求出B地可升高多少米即可【解答】解：240.5（24+16）12400.3（米）答：B地可升高0.3米故答案为：0.3【点评】此题主要考查了等积变形问题的应用，解答此题的关键是求出底面积是24平方米，高是0.5米的长方体的体积是多少24往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到（也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍）另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同即使是往相同的容器里倒入的啤酒量，也会因倒入的方法不同而不同如图，往深度为30厘米的圆柱形的容器里倒入500毫
45、升的啤酒，从容器的底部到以上15厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第一次）然后，往相同的容器里倒入700毫升的啤酒，从容器的底部到以上x高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第二次）x的值是27厘米【分析】第一次泡沫全部变成液体时，高度为15+15320厘米，因此高度是1厘米的液体是25毫升；第二次泡沫全部变成液体时，高度为7002528厘米，高度是1厘米的液体成为泡沫时变为3厘米，高度增加2厘米，有（3028）21厘米，即由泡沫变成的液体有1厘米，因此求出原有的液体【解答】解：15+15320（厘米），5002025（毫升），7002528（厘米）
46、，28（3028）227（厘米），故答案为：27厘米【点评】关键是根据题意求出两次由泡沫变为液体时液体的高度二解答题（共34小题）25一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？【分析】根据题意，可以切割成棱长为15的小正方体大正方体表面积：666216，体积是：666216，切割后小正方体表面积总和是：216720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（6353）1391（个），这时表面积总和是：526+12691696720，所以不可能有棱
47、长为5的小正方体然后，分棱长为4、3、2、1的小正方体分类讨论，列方程组解答即可【解答】解：大正方体表面积：666216，体积是：666216，切割后小正方体表面积总和是：216720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（6353）1391（个），这时表面积总和是：526+12691696720，所以不可能有棱长为5的小正方体（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，则解得：（2）棱长为3的小正方体要少于（63）
48、（63）（63）8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，化简：由上式可得：b9c+24，a，当c0时，b24，a24，当c1时，b33，a19.5，（不合题意舍去）当c2时，b42，a15，当c3时，b51，a10.5，（不合题意舍去）当c4时，b60，a6，当c5时，b69，a28.5，（不合题意舍去）当c6时，b78，a3，（不合题意舍去）当c7时，a负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个【点评】本题关键是根据表面积变化前后体积不变，确定小
49、正方体的棱长的范围，然后分类讨论即可26一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？【分析】根据长方体的高是7厘米，可以分上下两层来分析：上层高3厘米，可放（405）（124）24（块）；下层高4厘米，可放（405）（123）32（块）据此加起来即可解答问题共24+3256（块）【解答】解：分上下两层来分析：上层高3厘米，可放（405）（124）8324（块）下层高4厘米，可放（405）（123）8432（块）24+3256（块）答：最多可以放56块【点评】此题考查了借助长方体的体积公式解
50、决实际问题的灵活应用，关键是把长方体分成上下两层，分别计算可以装下的小长方体的个数27设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？【分析】画出图形，见下图，球的内接正方形ABCDA1B1C1D1的顶点在球面上，它的（体）对角线AC1就是球的直径，即AC121020（厘米）然后由图的对称性以及勾股定理解决问题【解答】解：球的内接正方形ABCDA1B1C1D1的顶点在球面上，它的（体）对角线AC1就是球的直径，即AC121020（厘米）由图的对称性，可知AA1C190，A1B1C190设正方形的棱长为a，即AA1A1B1B1C1a，连续用勾股定理两次，得到
51、：A1C122a2，AC12AA12+A1C12+3a2，则3a2202400，a2133显然，只要一个正方体的棱长a为整数，满足a2133，那么这个正方体一定可以放入球中，因为112121133144122故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于11厘米答：该正方体的棱长最大等于11厘米【点评】此题根据图形特点，运用了图的对称性以及勾股定理解决问题28一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0a50，现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？【分析】此题要分情况进行讨论，若放入铁块时水溢出容器，此时先计算水恰好上升至至容器口时这
52、种临界情况，根据容器的体积等于原来水的体积加上铁块的体积，列出等式计算此种情况下原来的水深，则当原水深介于此值到50之间时，放入铁块后水深为50厘米；若原来容器中的水较，放入铁块后还未溢出，此时先计算水恰好与铁块同高这种临界情况，根据放入铁块前容器中水的体积加上铁块的体积等于容器的底面积乘以此时水面的高度，列出等式计算此情况下原来的水深，当原来的水深介于此值与第一种情况的临界值时，计算放入铁块后的水深；最后一种情况是当容器中的水非常少时，放入铁块后仍未淹没铁块，同理列出灯亮关系求解【解答】解：由题设，知水箱底面积S40251000（cm2），水箱体积V水箱10005050000（cm3），铁块
53、体积V铁1010101000（cm3）（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm时1000a+100050000，得a49（cm）所以，当49a50时，水深为50cm（多余的水溢出）（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm时1000a+100010000，得a9（cm）所以，当9a49时，水深为 （a+1）cm（3）由（2）知，当0a9时，设水深为xcm，则1000x1000a+100x得x（cm）答：当0a9时，水深为 acm；当9a49时，水深为（a+1）cm；当49a50时，水深为50cm【点评】解答此题的关键是：考虑放入铁块后水溢出的情况，放入铁块后水仍未淹没铁块的情况，按照
54、一定的顺序，不重复不遗漏29一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10厘米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？【分析】根据“这时容器中的水深40厘米”，可知原来铁块被水浸湿的部分是在40厘米处，后来将铁块提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁块提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是10厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁块上被水浸湿的那部分的长度【解答】解：水位下降的高度：1
55、01024（50501010）240024001（厘米）露出水面被水浸湿的部分：24+125（厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米【点评】解决此题明确露出水面的铁块上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁块提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解30如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在 （）（A）20cm3以上，30cm3以下；（B）30cm3以上，40cm3以下；（C）40
56、cm3以上，50cm3以下；（D）50cm3以上，60m3以下【分析】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500300）立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可【解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：500300200（立方厘米），一颗玻璃球的体积最少是：200540（立方厘米），因此推得这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下故选：C【点评】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，进而得解31一个盖着瓶盖的瓶
57、子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中的数据，计算这个瓶子的容积是多少？【分析】先根据题意把倒立瓶子进行修补，补成瓶颈与瓶身相同的形状；再根据瓶子里水的体积不变，求出所补部分的容积，之后可轻松求出这个瓶子的容积了【解答】解：瓶子里水的体积是10440立方厘米把倒立的瓶子补完整如右上图，这时补全瓶子的容积是10770立方厘米；5厘米高的瓶子的容积是10550立方厘米；补的部分的体积是504010立方厘米；所以原瓶子的容积是701060立方厘米答：这个瓶子的容积是60立方厘米【点评】此题解答的突破口就是“补图”，补好后有利于解答32在一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘米的玻璃鱼缸中，放入
58、一个棱长为10厘米的正方体石块这时鱼缸内的水上升了 0.5厘米，鱼缸水的高度达到 20.5厘米【分析】上升的水的体积等于正方体石块的体积，先求正方体石块体积，再除以玻璃鱼缸的长和宽，得出上升的厘米数，再加原水深可得现在水的高度【解答】解：1010105040，10005040，0.5（厘米），0.5+2020.5（厘米），答：这时鱼缸内的水上升了0.5厘米，鱼缸水的高度达到20.5厘米故答案为：0.5，20.5【点评】此题主要考查长方体正方体体积计算方法及实物体积的测量方法33有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中
59、的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【分析】由题意可知：当铁块取出后，下降的水的体积就等于铁块的体积，铁块的体积容易求出，用铁块的体积除以乙容器的底面积就是的乙杯中的水位上升的高度，从而问题得解【解答】解：3.14（102）223.14，50100，0.5（厘米），答：这时乙杯中的水位上升了0.5厘米【点评】解答此题的关键是明白：下降的水的体积就等于铁块的体积，从而问题得解34一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器已知容器的高度是50厘米长方体
60、的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？【分析】已知长方体的高度是20厘米，容器内注入与长方体等高的水用3分钟，又过了18分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（5020）厘米；这样就可以求出两次注水所用时间的比由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比【解答】解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20：302：3注20厘米的水的时间为1812（分），这说明注入长方体铁块所占空间的水要用时间为1239（分）已知长方体铁块高为20厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比，而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：
61、容器底面面积9：123：4答：长方体底面积与容器底面面积的比是3：4【点评】此题的解答关键是求出两次注水时间的比，再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟，由此进行分析解答即可35有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积沉入在中水池的碎石的体积，即330.060.54（米3），而沉入小水池中的碎石的体积是：220.
62、040.16（米3）；然后求出两块碎石的体积和，再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度，解决问题【解答】解：6厘米0.06米，4厘米0.04米330.060.54（米3），220.040.16（米3），0.54+0.160.7（米3），大水池的底面积是：6636（米2），大水池的水面升高了：0.736（米）（厘米）答：大水池的水面升高了厘米【点评】解答此题，关键在于理解：把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积36将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积【分析】因为正方体的每一个面的面积相等，所
63、以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米故三个正方体的棱长分别是3、4、5厘米则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可【解答】解：5469（平方厘米），因为339，所以这个正方体的棱长是3厘米，96616（平方厘米），因为4416，所以这个正方体的棱长是4厘米，150625（平方厘米），因为5525，所以这个正方体的棱长是5厘米，33+43+53，27+64+125，216（立方厘米），答：这个大正方体的体积是216立方厘米【点评】分别求出三个正方体的棱长是解答关键37一个棱长为6厘米的正方体容器里放了4厘米深的水，现放入棱长为2厘米的正方体木块，这木块一半沉在水中，容器里的
64、水升高了多少厘米？【分析】首先计算出棱长为2厘米的正方体木块沉在水中的体积，即排开水的体积；由于棱长为6厘米的容器的底面积被小木块的底面积占据了一部分；因此排开水的底面积应该是（6222）平方厘米；然后用沉在水中木块的体积（排开水的体积）除以容器的底面积由此列式解答【解答】解：求木块排开水的体积：22（22）414（立方厘米）；求水升高时容器的底面积：622236432（平方厘米）；求水上升的高度：4320.125（厘米）；答：容器里的水升高了0.125厘米【点评】此题主要考查正方体的体积计算，此题解答关键是理解容器的底面积被木块的底面积占据了一部分利用公式解答即可38一个圆柱形玻璃容器的底面
65、直径是10厘米把一块铁块从这个容器的水中取出后，水面下降2厘米，这块铁块的体积是多少？【分析】只要求出下降水的体积就是这个铁球的体积，由题可知道圆柱的底面直径是10厘米，下降的水深是2厘米，运用圆柱的体积公式vr2h解答出来即可【解答】解：3.14（102）22，3.14252，157（立方厘米）；答：这块铁块的体积是157立方厘米【点评】本题考查了圆柱的体积公式的运用，同时考查了学生的转化思想，即把铁块的体积转化成下降水的体积39有一空的长方体容器A和装有21厘米深水的圆柱体容器B，其中B的底面积是A的3倍，现在将B中的水倒一部分到A中，使B中水深是A中水深的2倍，那么A容器的水深将是多少？
66、【分析】设A容器的水深将是x厘米，则B中水深是2x厘米，设长方体容器A的底面积为s，则圆柱体容器B的底面积为3s，根据长方体和圆柱体的体积公式分别表示出后来两个容器中水的体积，再根据后来两个容器中水的体积之和等于原来圆柱体容器B中水的体积列方程解答即可得解【解答】解：设A容器的水深将是x厘米，则B中水深是2x厘米，设长方体容器A的底面积为s，则圆柱体容器B的底面积为3s，由题意可得：sx+3s2x3s21 sx+6sx63s 7sx63s x9答：A容器的水深将是9厘米【点评】此题考查了长方体和圆柱体的体积公式的运用，明确后来两个容器中水的体积之和等于原来圆柱体容器B中水的体积是解题关键40在
67、一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8厘米，这时池里的水面就下降4厘米问：这个铁块的体积是多少立方厘米？【分析】铁块的底面是正方形，所以铁块浸入水中的体积与它浸入水中的高度成正比，而铁块浸入水中的体积等于长方体蓄水池的液面上升部分的体积，所以漏出水中铁块的高与水面下降高度成正比例，由此列出方程求出高，再根据长方体体积公式求出体积【解答】解：设这个铁块的高是x厘米，则x：98：4， 4x98， 4x72， x18；5518450（立方厘米）；答：铁块体积450立方厘米【点评】本题关键是找出长方体的体积与高的比例关
68、系，根据这一比例关系求出铁块的高，进而求解41一个圆柱，底面直径是4分米，它的侧面积是62.8平方分米，那么它的体积是多少立方分米？【分析】根据题意可知，将圆柱拼成一个近似的长方体，则长方体的底面是圆柱侧面积的一半，高等于圆柱的半径，则长方体的体积可以用“底面积高”求出。【解答】解：62.82（42）31.4262.8（立方分米）答：这个圆柱体的体积是62.8立方分米。【点评】解答本题关键是明确圆柱与长方体的关系。42一个长方体容器，长90厘米，宽40厘米容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸
69、湿的部分长多少厘米？【分析】因为露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米铁块后水面下降的高度之和，因为下降的水的体积等于提起的24厘米的长方体的体积，所以先根据长方体体积长宽高求出高为24厘米的铁块的体积，再除以铁块还在水中时长方体容器的底面积（90401515）就可以求出下降的水的高度，再加上24即可解答【解答】解：151524（90401515）540033751.6（厘米）24+1.625.6（厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米【点评】此题的关键是：铁块提起24厘米的同时水面也相应的降低了，所以露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的
70、24厘米和提起24厘米铁块后水面下降的高度之和43一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器的水深是多少厘米？【分析】先按照铁圆柱未完全浸没，设此时的水深是x厘米，即铁圆柱浸入水的高度是x厘米，原有水的体积等于底面积为3.14（5222）水的体积，由此列出方程求出水深，再与铁圆柱的高进行比较判断是否完全浸没，再进行解答。【解答】解：若铁圆柱未完全浸没，设此时的水深是x厘米，即铁圆柱浸入水的高度是x厘米；3.14（5222）x3.145215 （ 254）x375 21x375 x17.8617.861
71、8，符合假设。答：此时的水深大约是17.86厘米【点评】抓住水的体积不变，是解决本题的关键44一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米？【分析】先求出棱长为24厘米正方体铁块的体积；再根据“将铁块取出，水面下降18厘米“，进而用铁块的体积除以水面下降的厘米数，就是长方体容器的底面积；再求出长18厘米、宽16厘米、高12厘米的长方体铁块的体积，进而用长方体铁块的体积除以容器的底面积，即为水面上升的厘米数【解答】解：正方体铁块的体积：24242413824（立
72、方厘米），长方体容器的底面积：1382418768（平方厘米），长方体铁块的体积：1816123456（立方厘米），水面上升的高度：34567684.5（厘米）答：水面将上升4.5厘米【点评】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，明确将物体放入水中或从水中取出，水面上升或下降的体积就是物体的体积，从而求出容器的底面积；也考查了正方体的体积棱长棱长棱长，长方体的体积长宽高，这两个体积公式的应用45一个容器装了的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的已知
73、每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半求大、中、小三球的体积比【分析】将容器的容积看作单位“1”，设小球的体积是容器的a，中球的体积是容器的b，大球的体积是容器的c，依次表示出三次溢出的水量，根据溢出水量的关系，找出a，b，c的比值即可。【解答】解：将容器的容积看作单位“1”，设小球的体积是容器的a，中球的体积是容器的b，大球的体积是容器的c，第一次溢出的水的体积为：+b1b，第二次溢出的水的体积为：1b+3a13ab，第三次溢出的水的体积为：13a+c1c3a，最后剩下水的体积可得：1c，解得：c根据第三次是第二次的一半，可得：2（c3a）3ab整理得：9a
74、b2c根据第一次是第三次的一半，可得：2（b）c3a整理得：6a+4b2c+1根据方程组可得：a，b，所以c：b：a：15：6：4。答：大、中、小三球的体积比15：6：4。【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出对应量，即可解答46有一种饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30dm3。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20cm，倒放时空余部分的高度为5cm。问：瓶内现有饮料多少立方分米？【分析】如题中图所示，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的20（20+5），再根据一个数乘分数的意义，用乘法列式解答即可。【解答】
75、解：3020（20+5）3024（立方分米）答：瓶内现有饮料24立方分米。【点评】用右边瓶子的空白部分去置换左边瓶子的空白部分，这样就变成一个圆柱体。47有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别是20厘米，24厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了6厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水没外溢，则这时乙杯中的水位上升了厘米【分析】由题意可知：当铁块取出后，下降的水的体积就等于铁块的体积，铁块的体积容易求出，用铁块的体积除以乙容器的底面积就是的乙杯中的水位上升的高度，从而问题得解【解答】解：3.14（202）263.14（242）2，1884452.16，（厘
76、米）；答：这时乙杯中的水位上升了厘米；故答案为：【点评】明确铁块的体积不变，是解答此题的关键解答此题的关键是明白：下降的水的体积就等于铁块的体积，从而问题得解48一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米请问：原正方体的体积是多少？【分析】由题意，一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面，又知这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，即原来大正方体的6+1218个面的面积是162平方厘米，由此可求得一个面的面积，进而得到大正方体的棱长，再根据正方体的体积公式解
77、答即可【解答】解：一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，共增加12个大正方体的面，一个面的面积：162（12+6）9（平方厘米），因为339，所以可知大正方体的棱长是3厘米，大正方体的体积：33327（立方厘米），答：原正方体的体积是27立方厘米【点评】解答此题关键是明确一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面49在一个有溶剂刻度的瓶子里装水300毫升把瓶倒放后，瓶里水的水平面在250毫升刻度线处，这瓶子的容积是多少毫升？【分析】由图中右瓶可知，瓶中空气的250毫升，由图中左瓶可知瓶中的水
78、有300毫升，瓶的容积就是瓶中的水的体积加上空气的体积【解答】解：由图中右瓶知，瓶中空气为250毫升，由图中左瓶可知，瓶中水为300毫升，瓶的容积水的体积+空气的体积300+250550（毫升）答：这瓶子的容积是550毫升【点评】注意发现题目中给出的隐含条件，如空气的体积50一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？【分析】根据题意可知，当圆锥体取出后，桶内水面将降低的高度等于圆锥的体积水桶的底面积；圆锥的体积公式是：vsh，由此列式解答【解答】解：3.14（182）2203.14（202）23.1
79、481203.141001695.63145.4（厘米）；答：桶内水面将降低5.4厘米【点评】此题主要根据圆锥的体积就是方法和圆柱体的底面积的计算方法解决问题51如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？【分析】（1）由题意知，原来容器中的水可以看成是长30分米、宽10分米、高为129分米的长方体，现将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面没
80、有淹没，求出圆柱的底面积即3301130（平方分米）再用309求出淹没部分圆柱的体积除以长方体的底面积即是水升高的高度，用水升高的高度加上9分米，（2、3）同（1）解答即可【解答】解：（1）3301112309270（立方分米）270（3010）2703000.9（分米）9+0.99.9（分米）答：水面的高度变为9.9分米（2）330119.9309.9297（立方分米）297（3010）0.99（分米）9.9+0.9910.89（分米）答：水面高度又变成了10.89分米（3）3301110.893010.89326.7（立方分米）326.7（3010）1.89（分米）10.89+1.8912
81、.78（分米）有一部分水溢出，水面高度为12分米答：水面高度又变成了12分米【点评】此题主要考查长方体的体积公式，完全和不完全浸入水中的圆柱的体积等于上升的水的体积52图中，A，B是两个圆柱形水槽，内直径分别是60厘米和20厘米，底部用带阀门的管子相连，（解题中不考虑管子的容积）关上阀门，分别向A，B里注入50.24升水后，两个水槽的水面高度相差几厘米？打开阀门，水面离槽底的高度有几厘米？【分析】根据Sr2，先分别求出两个圆柱形水槽的底面积，再根据Vsh，求出各自的高度，相减即可；打开后，两个圆柱形水槽的水面离槽底的高度相等，不考虑管子的容积，所以把两个水槽的水面高度相加除以2即可【解答】解：
82、50.24升50240平方厘米，A的半径：60230（cm）A的底面积：3.143023.149002826（平方厘米）A的高：50240282617.8（厘米）B的半径：20210（cm）B的底面积：3.141023.14100314（平方厘米）50240314160（厘米）两个水槽的水面高度相差：16017.8142.2（厘米）答：两个水槽的水面高度相差142.2厘米（17.8+160）2177.8288.9（厘米）答：打开阀门，水面离槽底的高度有88.9厘米【点评】此题主要考查圆的面积以及圆柱的体积（容积）的计算53皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60
83、厘米皮球有的体积浸在水中问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（注：半径为r的球的体积是）【分析】上升的这部分水的体积就是浸在水中的皮球的体积；先根据球的体积公式求出球的体积，再把球的体积看成单位“1”，用乘法求出它的，这就是上升水的体积；用上升水的体积除以水桶的底面积就是它的高【解答】解：152（厘米）；V，3.14（）3，3.14，3.14，562.53.14，1766.25（立方厘米）；1766.251413（立方厘米）；60230（厘米）；3.14302，3.14900，2826（平方厘米）；141328260.5（厘米）；答：水桶中的水面升高了0.5厘米【点评】本题关键是找出
84、上升水面的体积就是浸入水中的皮球的体积；再根据球的体积公式和圆柱的体积公式求解54有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？【分析】因为露出水面的木桩上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米木桩后水面下降的高度之和，因为下降的水的体积等于提起的24厘米的长方体的体积，所以先根据长方体体积长宽高求出高为24厘米的木桩的体积，再除以木桩还在水中时长方体容器的底面积（60601515）就可以求
85、出下降的水的高度，再加上24即可解答【解答】解：151524（60601515）540033751.6（厘米）24+1.625.6（厘米）15425.66025.61536（平方厘米）答：露出水面的木桩浸湿部分面积为1536平方厘米【点评】此题的关键是：木桩提起24厘米的同时水面也相应的降低了，所以露出水面的木桩上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米木桩后水面下降的高度之和55如图饮料瓶中装有18升的饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还能装进多少升的饮料？【分析】根据“18升的饮料，正放时饮料的高度是15厘米”可以利用圆柱的容积公式计
86、算得出这个饮料瓶的底面积；倒放时，仍利用圆柱的容积公式求得空余部分的容积即可解决问题【解答】解：15厘米1.5分米，10厘米1分米，181.5112（立方分米）12升，答：这个瓶子最多还能装进12升的饮料【点评】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决56有一个棱长为1米的木质正方体，已知将其放入水中将有0.7米浸入水里现将其分割成棱长为0.2米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，求此时各小正方体直接和水接触的表面积的和是多少？【分析】根据浮力作用的规律，正方体与浸入的高度占正方体棱长的百分比不变，求出小正方体浸入水
87、的高度，再求出一个小正方体直接和水接触的表面积，一个大正方体变成了130.23125个小正方体，最后求出所有小正方体直接和水接触的表面积的和是多少【解答】解：原正方体浸入水的高度是原正方体棱长的：0.71，小正方体浸入水的高度：0.20.14（米）一个小正方体直接和水接触的表面积的和：0.20.2+40.20.140.152（平方米）；原正方体分割成小正方体的块数：111（0.20.20.2）125（个），所有小正方体直接和水接触的表面积的和：1250.15219（平方米）；答：此时各小正方体直接和水接触的表面积的和是19平方米【点评】解答此题主要利用了浮力作用的规律：正方体与水接触部分的高度
88、占正方体棱长的百分比不变57把一个底面积是12.56平方厘米的圆锥形钢件，放入长6.28cm，宽6cm的装有水的长方体容器内，水面升高1cm这个钢件的高是多少厘米？【分析】根据题干，这个圆锥形钢件的体积就是上升1厘米的水的体积，由此利用长方体的体积长宽高可以求出这个圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的高【解答】解：6.2861312.5612.56912.569（厘米）答：这个钢件的高是9厘米【点评】此题考查了长方体与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥形钢件的体积是本题的关键58如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据沙从上
89、面的容器漏到下面的容器的数量计量时间的（单位：cm）（1）这时沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？（2）这时沙漏下部沙子的体积是多少立方厘米？【分析】根据圆锥体的体积公式：vr2h，把上下两个圆锥体的沙子的体积计算出来，然后相加即可【解答】解：（1）上面的体积：v3.14（22）233.1433.14 （立方厘米）（2）下面的体积：v3.14（62）293.141.52（94.5）3.14993.142.254.584.7810.597574.1825（立方厘米）74.1825+3.1477.3225（立方厘米）答：下面这个沙漏中沙子的总体积是77.3225立方厘米【点评】此题主要考查圆锥的体积计算公式：Vshr2声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/5 11:44:02；用户：鸡公岭小学；邮箱：jglxx；学号：47402001
