1、3.1.2两条直线平行与垂直的判定知识导图学法指导1.本节的重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的条件2判断直线的位置关系时，要注意斜率不存在的情形3当直线的斜率含参数时，要对参数进行分类讨论高考导航两条直线平行与垂直的判定是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)综合考查，分值46分.知识点一两条直线平行设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为1，2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示1. l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合2当两条直线
2、不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90 ，则l1l2.知识点二两条直线垂直图示对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2两直线的斜率一个不存在，另一个为0时，则l1与l2的位置关系是垂直l1l2k1k21成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10且k20.小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行()(2)若l1l2，则k1k2.()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平
3、行()答案：(1)(2)(3)(4)22019蚌埠市淮上区校级检测给出下列说法：若两直线斜率相等，则两直线平行；若l1l2，则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行，其中说法正确的个数为()A1B2C3 D4解析：当k1k2时，l1与l2平行或重合，不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，不正确；显然正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，不正确答案：A3已知直线l1的倾斜角为30，直线l1l2，则直线l2的斜率为()A. BC. D解析：因为l1l2，所以kl2kl1tan30.答案：C4已知直线l
4、1，l2的斜率分别为k1，k2，且k12，l1l2，则k2_.解析：l1l2，k1k21，k2.答案：类型一两条直线的平行关系例1(1)2019衡水检测直线l1的斜率k1，直线l2经过点A(1,2)，B(a1,3)，l1l2，则a的值为()A3 B1C.D.(2)已知l1经过点A(3,3)，B(8,6)，l2经过点M，N，求证：l1l2.【解析】(1)直线l2的斜率k2，l1l2，k1k2，a.(2)证明：直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，因为k1k2，且kAN，所以l1与l2不重合，所以l1l2.【答案】(1)C(2)见解析两直线平行根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进
5、行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况方法归纳判断两条不重合直线是否平行的步骤跟踪训练1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1的倾斜角为60，l2经过点M(3,2)，N(2，3)解析：(1)由题意知k1，k2.因为k1k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1l2.(2)由题意知k1tan60，k2.因为k1k2，所以l1l2或l1与l2重合直接结合斜率公式，比较所给直线的斜率关系，确定其位置关系类型二两条直线的垂直关系例2判断下列各题中l1与l2是否垂直(1)l1经过点A(3，4)，B
6、(1,3)，l2经过点M(4，3)，N(3,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)【解析】(1)k1，k2，k1k21，l1与l2不垂直(2)k110，k2，k1k21，l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴；k20，则l2x轴，l1l2.直线斜率均存在时，直接计算所给直线的斜率，通过比较它们的斜率之间的关系，确定其位置关系，有一条直线斜率不存在时，可比较两直线的倾斜角大小，确定其位置关系方法归纳使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤(1)首先查看所给两点的横坐标是
7、否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则将点的坐标代入斜率公式(2)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，要应用斜率公式对参数进行讨论总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1k21.跟踪训练2已知点A(2，5)，B(6,6)，点P在y轴上，且APB90，则点P的坐标为()A(0，6)B(0,7)C(0，6)或(0,7)D(6,0)或(7,0)解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)因为APB90，所以APBP，且直线AP与直线BP的斜率都存在又kAP，kBP，kAPkBP1，即1，解得y6或y7.所以点P的坐标为(0，
8、6)或(0,7)，故选C.答案：C若斜率均存在，求出斜率，利用l1l2k1k21进行判断，但要注意斜率不存在的特殊情况类型三直线平行与垂直关系的应用,例3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为ADCD，ADBC，所以kADkCD1，且kADkBC.所以解得或其中不合题意，舍去所以第四个顶点D的坐标为(2,3).计算kAB，kCD，kBC，kDA，再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可方法归纳利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜
9、率不存在并不意味着问题无解跟踪训练3已知A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状解析：由题意，可得kAB1，kCD1，kBC1，kDA1，kABkCD，kBCkDA，ABCD，BCDA，四边形ABCD为平行四边形又kABkBC1，直线AB与BC垂直，即ABC90，四边形ABCD为矩形利用几何图形各边所在直线的斜率可以确定各边所在直线是否相互平行或垂直，从而判定几何图形的形状.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列命题中，正确的是()A斜率相等的两条直线一定平行B若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等C直线l
10、1：x1与直线l2：x2不平行D直线l1：(1)xy2与直线l2：x(1)y3平行解析：A错误，斜率相等的两条直线还可能重合B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且12，所以两直线平行D正确，由于直线l1：(1)xy2与直线l2：x(1)y3的斜率分别为k11，k21，则k1k2，所以l1l2.答案：D2由三条直线l1：2xy20，l2：x3y30和l3：6x2y50围成的三角形是()A直角三角形B等边三角形C钝角三角形 D锐角三角形解析：kl2，kl33，kl2kl31，l2l3.答案：A3若两条直线yax2和y(2
11、a)x1互相平行，则a等于()A2 B1C0 D1解析：因为两条直线平行，则a2a，得a1.答案：B4如果直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为()A. BaC D或不存在解析：当a0时，由l1l2得k1k2ak21，k2；当a0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，故直线l2的斜率不存在直线l2的斜率为或不存在答案：D5下列直线中，与已知直线yx1平行，且不过第一象限的直线的方程是()A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y420解析：先看斜率，A、D选项中斜率为，排除掉；直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合答案：B二
12、、填空题(每小题5分，共15分)62019山东省济南市校级月考若经过两点A(2,3)，B(1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则x_.解析：设直线l1的斜率为k，则k.l1l2，k1，x0.答案：07已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为_解析：设D(a，b)，由平行四边形ABCD，得kABkCD，kADkBC，即，解得，所以D(1,6)答案：(1,6)8已知直线l过点(2，3)且与直线2x3y40垂直，则直线l的方程为_解析：直线2x3y40的斜率为，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为.又直线l过点(2，3)，因此直线l的方程为3x
13、2y120.答案：3x2y120三、解答题(每小题10分，共20分)9根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1经过点A(1,6)，B(1,2)，l2经过点M(2，1)，N(2,1)解析：(1)由题意知l1的斜率不存在，且l1不是y轴，l2的斜率也不存在，l2恰好是y轴，所以l1l2.(2)由题意知k11，k21，虽然k1k2，但是kEG1，即E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合(3)直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k2，k1k
14、21，故l1与l2垂直10当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行解析：(1)由kAB1，得2m2m30，解得m或1.(2)由3及垂直关系，得，解得m或3.(3)令2，解得m或1.经检验m1，m均符合题意能力提升(20分钟，40分)11直线l1的倾斜角为，l1l2，则直线l2的倾斜角不可能为()A90B90C|90| D180解析：(1)当0时，l2的倾斜角为90(如图1)(2)当090时，l2的倾斜角为90.(如图2)(3)当90时，l2的倾斜角为0.(如
15、图3)(4)当90180时，l2的倾斜角为90.(如图4)答案：D12已知A(2,3)，B(1，1)，C(1，2)，点D在x轴上，则当点D坐标为_时，ABCD.解析：设点D(x,0)，因为kAB40，所以直线CD的斜率存在则由ABCD知，kABkCD1，所以41，解得x9.答案：(9,0)13已知ABC的顶点分别为A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，求m的值解析：若A为直角，则ACAB，kACkAB1，即1，解得m7；若B为直角，则ABBC，kABkBC1，即1，解得m3；若C为直角，则ACBC，kACkBC1，即1，解得m2.综上，m的值为7，2,2或3.14已知四点A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状解析：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，因为kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形
