1、模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知i是虚数单位,则复数的虚部为()A.-iB.-1C.1D.i【解析】选C.复数=-1+i,故复数的虚部为1.2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z=()A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5i【解析】选A.由z(2-i)=11+7i得,z=3+5i.3.曲线y=1-在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2【解析】选A.因为y=1-=,所以y=,y|x=-1=2,所以曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为2,所以所求切线方程
2、为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.演绎推理“因为对数函数y=logax(a0且a1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误【解析】选A.因为当a1时,函数y=logax(a0且a1)是一个增函数,当0a0且a1)是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误.5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+2时,若已假设n=k(k2,且k为偶数)时等式成立,则还需利用假设再证()A.n=k+1时不等式成立B.n=k+2时不等式成立C.n=2k+2时不等式成立D.n=2(k+
3、2)时不等式成立【解析】选B.由于k是偶数,所以k+2是k后面的第一个偶数.6.已知点列:P1(1,1),P2(1,2),P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),P7(1,4),P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1),P11(1,5),P12(2,4),则P60的坐标为()A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7)【解析】选D.横纵坐标之和为2的有1个,横纵坐标之和为3的有2个,横纵坐标之和为4的有3个,横纵坐标之和为5的有4个.因此横纵坐标之和为2,3,11的点共有1+2+3+10=55个,横纵坐标之和为12的有11个.因此P60为横纵坐标之和
4、为12的第5个点,即为(5,7).7.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是()A.(-,-2B.C.-2,3D.【解析】选D.由题图可知d=0.不妨取a=1,因为f(x)=x3+bx2+cx,所以f(x) =3x2+2bx+c.由图可知f(-2)=0,f(3)=0,所以12-4b+c=0,27+6b+c=0,所以b=-,c=-18.所以y=x2-x-6,y=2x-.当x时,y0,所以y=x2-x-6的单调递增区间为.8.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是()A.B.(,2)C.D.(2,3) 【解析】选C.y=sinx+xco
5、sx-sinx=xcosx,当x0时,由y0得xcosx0,即cosx0.【补偿训练】设函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的递增区间为()A.(0,+)B.(-1,0),(2,+)C.(2,+)D.(0,1)【解析】选C.因为f(x)=x2-2x-4lnx,x0,所以f(x)=2x-2-.令f(x) =2x-2-0(x0),解得x2,所以函数f(x)=x2-2x-4lnx的递增区间是(2,+).9.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2=r2(r0)内切于正方形ABCD,任取圆上一点P,若=m+n(m,nR),则是m2,n2的等差中项.现有一椭圆+ =1(ab0)内切于矩形A
6、BCD,任取椭圆上一点P,若=m+n(m,nR),则m2,n2的等差中项为()A.B.C.D.1【解析】选A.如图,设P(x,y),由+=1知A(a,b),B(-a,b),由=m+n,可得代入+=1可得(m-n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=,所以=,即m2,n2的等差中项为.10.设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R=()A.B.C.D. 【解题指导】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由
7、内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V=(S1+S2+S3+S4)R,所以R=.11.已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.3,+)C.(-,1D.(-,3【解析】选B.因为f(x)=x3-ax,所以f(x)=3x2-a.又f(x)在(-1,1)上单调递减,所以3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3.12.定义
8、在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf(x)2恒成立,则使x2f(x)-f(1)x2-1成立的实数x的取值范围为()A.x|x1B.(-,-1)(1,+)C.(-1,1)D.(-1,0)(0,1)【解析】选B.构造函数g(x)=x2f(x)-x2,xR,则g(x)=2xf(x)+x2f(x)-2x=x2f(x)+xf(x)-2.由题意得2f(x)+xf(x)-20恒成立,故当x0,函数g(x)单调递增;当x0时,g(x)0,函数g(x)单调递减.因为x2f(x)-f(1)x2-1,所以x2f(x)-x2f(1)-1,即g(x)0时,解得x1;当x0时,
9、因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数,同理解得x0,b0,则ln+(ab)=bln+a;若a0,b0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;若a0,b0,则ln+()ln+a-ln+b;若a0,b0,则ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2.其中的真命题有:_.(写出所有真命题的编号)【解题指南】本题为新定义问题,要注意新定义的函数的特点,根据新定义解决问题.【解析】当a1,b0时,ab1,ln+(ab)=lnab=blna,bln+a=blna,所以ln+(ab)=bln+a成立.当0a0时,0ab1,b1,所以lg a0,lg b0,则lg alg b=,4,又c1,lg c0.
10、所以4lg c,即logac+logbc4lg c.方法二:要证logac+logbc4lg c,只需证+4lg c.又因为c1,所以lg c0,故只需证+4,即证4.又因为ab=10,所以lg a+lg b=lg(ab)=1,故只需证4.又因为lg a0,lg b0,所以00,ab+bc+ca0,abc0.求证:a0,b0,c0.【证明】假设a,b,c不都是正数,由abc0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,不妨设a0,b0,则由a+b+c0,可得c-(a+b).又a+b0,所以c(a+b)-(a+b)(a+b),ab+c(a+b)-(a+b)(a+b)+ab,即ab+bc+ca0,
11、ab0,b20,所以-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)0,即ab+bc+ca0矛盾,所以假设不成立.因此a0,b0,c0成立.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+b,其中a,bR.(1)若函数f(x)在(0,2)上单调递增,求实数a的取值范围.(2)当x(0,1时,y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为,且0,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=-3x2+2ax,要使f(x)在(0,2)上单调递增,则f(x)0在(0,2)上恒成立,因为f(x)是开口向下的抛物线,所以所以a3.(2)因为0,所以tan =-3x2+2ax0,1.据题意0-3x2+2ax1在(0,
12、1上恒成立,由-3x2+2ax0,得ax,a,由-3x2+2ax1,得ax+.又x+(当且仅当x=时取“=”),所以a.综上,a的取值范围是.21.(12分)已知函数f(x)=ln(x+1)+(aR).(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的极值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ln(x+1)+,所以f(x)=+=,所以f(0)=2.又f(0)=0,所以函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=+=(x-1).令x+1+a=0,得x=-a-1.若-a-1-1,即a0,则f(x)0恒成立,此时f(x)无极
13、值.若-a-1-1即a0,则当-1x-a-1时,f(x)-a-1时,f(x)0,此时f(x)在x=-a-1处取得极小值,极小值为ln(-a)+a+1.22.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=-,Sn+=an-2(n2,nN*).(1)求S2,S3,S4的值.(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明. 【解题指南】(1)S1=a1,由S2+=a2-2=S2-a1-2求得S2,同理求得S3,S4.(2)猜想Sn=-,nN*,用数学归纳法证明:检验n=1时,猜想成立;假设Sk=-,则当n=k+1时,由条件可得,Sk+1+=Sk+1-Sk-2,解出Sk+1=-,故n=k+1时,猜想仍然成立.【解析】(1)S1=a1=-,因为Sn+=an-2(n2,nN*),令n=2可得S2+=a2-2=S2-a1-2,所以=-2,所以S2=-.同理可求得S3=-,S4=-.(2)猜想Sn=-,nN*,下面用数学归纳法证明:当n=1时,S1=a1=-,猜想成立;假设当n=k时猜想成立,即Sk=-,则当n=k+1时,因为Sn+=an-2,所以Sk+1+=ak+1-2,所以Sk+1+=Sk+1-Sk-2,所以=-2=,所以Sk+1=-=-,所以当n=k+1时,猜想仍然成立.综合可得,猜想对任意正整数n都成立,即Sn=-,nN*成立.
