1、景胜中学20202021学年第一学期高二年级月考（9月） 数学试题 时间120分钟 总分150分一、选择题(每小题5分，共60分)1.如图，棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面 内，若 ，则 的面积的最小值为（ ） A.B.C.D.12.已知四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面 是正方形且和球心 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 ，则球 的表面积等于（ ） A.B.C.D.3.三棱锥 中， 平面 ， ， 的面积为2，则三棱锥 的外接球体积的最小值为( ) A.B.C.D.4.在长方体 中， ， ， ，P，Q分别为棱 ， 的中点. 则从点 出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的
2、长度为（ ） A.B.C.D.5.设球的半径为时间t的函数R（t）若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ） A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A.2+ B.C.D.1+ 7.底面为正方形的四棱锥SABCD，且SD平面ABCD，SD= ，AB=1，线段SB上一M点满足 = ，N为线段CD的中点，P为四棱锥SABCD表面上一点，且DMPN，则点P形成的轨迹的长度为（ ） A.B.C.D.2 8.如
3、图，已知 是顶角为 的等腰三角形，且 ，点 是 的中点.将 沿 折起，使得 ，则此时直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A.B.C.D.9.如图，正方体 的棱长为1， 分别是棱 的中点，过 的平面与棱 分别交于点 .设 ， 四边形 一定是菱形； 平面 ；四边形 的面积 在区间 上具有单调性；四棱锥 的体积为定值.以上结论正确的个数是（ ）A.4B.3C.2D.110.用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（ ） A.B.C.D.11.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若 ，EFAB，则EF与CD所成的角为( ) A.30B.45C.60D.9012.在三棱锥
4、 中， 平面 ， ， ， ， 是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A.B.C.D.二、填空题（共16分）13.如下图，将圆柱的侧面沿母线 展开，得到一个长为 ，宽 为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 ，线长的最小值为_（线粗忽略不计） 14.如图，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为棱 、 的中点， 是线段 上的点，且 ，若 、 分别为线段 、 上的动点，则 的最小值为_ 15.如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为线段 上一点， 是平面 上一点，则 的最小值是_ 16.三棱锥 中， 平面ABC， ， ， ，则该三棱锥外接球的表面
5、积为_ 三、解答题（共6题；共70分）17.已知梯形 中， ， ，G是 的中点. ，E、F分别是 、 上的动点，且 ，设 （ ），沿 将梯形 翻折，使平面 平面 ，如图. （1）当 时，求证： ； （2）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为 ，求 的最大值； （3）当 取得最大值时，求二面角 的余弦值. 18.在底面是正方形的四棱锥 中, , ,点 在 上,且 . （）求证: 平面 ;（）求二面角 的余弦值.19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是边长为2的正方形，且 ， . （）证明： ；（）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.20.如图，在三棱柱 中， ，平面 平面 .（1）
6、求证： ； （2）若 ，求 . 21.如图所示1，已知四边形ABCD满足 ， ，E是BC的中点.将 沿着AE翻折成 ，使平面 平面AECD ， F为CD的中点，如图所示2. （1）求证： 平面 ； （2）求AE到平面 的距离. 22.如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是边长为2的正三角形， , .（）求证：平面 平面 ；（）设 是棱 上的点，当 平面 时，求二面角 的余弦值. 景胜中学20202021学年第一学期高二年级月考（9月） 数学试题答案一、单选题1.【答案】 A 2.【答案】B 3.【答案】 C 4.【答案】 B 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】
7、A 9.【答案】B 10.【答案】 B 11.【答案】 A 12.【答案】B 二、填空题13. 2 14. 15. 16.三、解答题17.（1）解：如图所示： 于H，连接 ， 平面 平面 ， ，故 平面 ， 平面 ，故 ，易知 为正方形，故 ， ，故 平面 ， 平面 ，故 .（2）解： ， 故 .（3）解：如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，易知平面 的一个法向量为 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，取 ，得到 ，故 ，观察知二面角 的平面角为钝角，故余弦值为 .18. 解： （）正方形ABCD边长为1,PA=1, ，所以 ，即 ，根据直线和平面垂直的判定定理，有
8、 平面 .（）如图，以A为坐标原点，直线 分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则 ，由(1)知 为平面ACD的法向量, ，设平面ACE的法向量为 ，则 令 ,则 ,设二面角 的平面角为 ,则 = ，又有图可知， 为锐角，故所求二面角的余弦值为 19.解：（） 证明：（）因为平面 面 ，平面 平面 ， , 平面 ,所以 平面 又 平面 ，所以 又 ， ，所以 面 又 面 ，所以平面 平面 （）取DC的中点O，连接MO，由DMMC得MODC。 又MOBC，所以MO平面ABCD，如图建立空间直角坐标系 则M（0，0，1），A（2，-1，0），B（2，1，0） , . 设 是平面MAB的一个法向
9、量 则 即 可取 ， 是平面MCD的一个法向量 平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是 20.（1）证明：因为平面AA1C1C平面ABC ， 交线为AC ， 又BCAC ， 所以BC平面AA1C1C ， 因为C1C平面AA1C1C ， 从而有BCC1C 因为A1CC190，所以A1CC1C ， 又因为BCA1CC ， 所以C1C平面A1BC ， A1B 平面A1BC ， 所以CC1A1B （2）解：如图，以C为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz 由A1CC190，AC AA1得A1CAA1 不妨设BCAC AA12，则B(2，0，0)，C1(0，1，1
10、)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)，所以 (0，2，0)， (2，1，1)， (2，2，0)，设平面A1BC1的一个法向量为 ，由 0， 0，可取 (1，0，2)设平面ABC1的一个法向量为 ，由 0， 0，可取 (1，1，3)cos ， ，又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角，所以二面角A1-BC1-A的余弦值为 21. （1）证明：如图，连接 ，取 的中点 ,连接 , 在四边形ABCD中，由 ， ，E是BC的中点，易得四边形 、四边形 均为平行四边形，可得 , 均为等边三角形，在等边 中，F为CD的中点，可得 ,且 ,故 ,在等边 , 为 的中点，故 ,又平面 平面AECD ， 平
11、面 平面 ,且 平面 ，故可得： 平面AECD ， 故： ,由 ， ， 平面 ， 平面 ，故： 平面 （2）解：如图，连接 ,取 的中点 点，连接 , 由（1）得： 平面AECD ， 故 ,且易得四边形 为平行四边形， ，由 ,可得 ,由 ,且 平面 , 平面 ,可得 平面 ， ,易得 ，且 点为 的中点，故 ,又 ,且 平面 , 平面 ,故 平面 ，易得AE到平面 的距离即为点G到平面 的距离，在 中， ，可得 ,即AE到平面 的距离为 .22.解：（I）取 中点 ，连接 ， ，因为 是边长为2的正三角形，所以 ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 .（）连接 交 于 ，连接 ， 平面 ， ，又 为 的中点， 为 的中点.以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， .设平面 的一个法向量为 ，由 得 取 ，得 .由图可知，平面 的一个法向量 ， ，二面角 的余弦值为
