1、浙江省台州市书生中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）（满分：150分 考试时间：120分钟） 20207一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用集合交集的定义进行运算即可.【详解】因为，由交集的定义可得.故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道基础题.2.已知复数，则（ ）A. 2B. C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】先将复数化简，再求模长即可.【详解】故选：D【点睛】此题考查复数的化简和模长计算公式，属于简单题目.3.的展开式中的常数项
2、为（ ）A. B. 20C. D. 30【答案】A【解析】【分析】首项写出展开式的通项，再令的指数为1，从而计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.设a，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据的定义域和单调性，判断充分必要条件.【详解】的定义域是，并且单调递增，当时，不能推出，因为有可能不满足定义域，但当时，成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，
3、属于基础题型.5.函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性，可排除A，B；利用基本不等式，可排除C.【详解】奇函数， 图象关于原点对称，排除A，B当时，排除C故选：D【点睛】本题主要考查函数图象和性质等基础知识，考查特殊与一般等思想方法.6.在棱长为3的正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，再利用即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系，则知，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量法求线面角、考查了基本运
4、算能力，属于基础题.7.已知，随机变量X的分布列如图：X01则当b在内增大时（ ）A. 增大B. 减小C. 先增后减D. 先减后增【答案】A【解析】【分析】根据期望及方差公式计算即可得到答案.【详解】由已知，所以，所以当b在内增大时，增大.故选：A【点睛】本题主要考查根据分布列求随机变量的均值及方差，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.8.若函数，且，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出函数定义域，判断函数出为奇函数且在上单调递减，利用单调性以及奇偶性可得，解不等式组即可.【详解】由题知的定义域为，且，所以为奇函数且在上单调递减，由，可知，于是有，
5、解得.故选：C【点睛】本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，属于基础题.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，离心率为e，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，且，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：，设，则，由双曲线定义可得：，故，解得则在中，由勾股定理可得：即得故选点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，依据题意得到直角三角形，本题的关键是求出三角形三边的长度与的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值，本题属于中档题，需要理解关键步骤10.已知数列满足，若对于
6、任意，都有，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.【详解】解：用排除法：当时，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，成立；假设当时，成立，则当时，所以当时，成立，综上：对任意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，排除CD；当时，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，故选：B.【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11.已知实数、满足条件，则的最小值为_，最大值为_.【答案】 (1). (2).
7、 2.【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】由实数、满足条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最小，有最大值，等于.由，解得当直线过时直线在轴上的截距最大，有最小值，等于.故答案为：；2.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.12.一个几何体三视图如图所示，该几何体体积为_表面积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）首先由三视图还原几何体，再根据几何体和线面的位置关系，计算几何体的体积；
8、（2）分别求每个面的面积，再求和.【详解】（1）由三视图可知，几何体是四棱锥，如图所示，底面是正方形，是正方形，且平面平面，点到平面的距离，；（2）和是直角边为2的等腰直角三角形，是等腰三角形，,边上的高，所以四棱锥的表面积.故答案为：；【点睛】本题考查三视图，几何体的体积和表面积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.13.在中，A的角平分线AD交BC于点D，若，则，_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用余弦定理可得BC的长，在中由正弦定理可得AD的长.【详解】在中，由余弦定理，所以；所以为等腰三角形，在中，由正弦定理，即，解得.故答案为：；【点睛】本题主要考查正余
9、弦定理解三角形，考查学生数学运算求解能力，是一道容易题.14.设函数则_；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是_【答案】 (1). (2). 或【解析】【分析】（1）直接代入求值；（2）首先画出函数的图象，转化为与的图象有1个交点时，根据图象求实数的取值范围.【详解】（1），；（2）方程有且仅有1个实数根，即与的图象有1个交点，当时，画出函数的图象，由图可知当与只有1个交点时，或 故答案为：；或【点睛】本题考查分段函数求值，根据方程实根个数求参数的取值范围，重点考查函数与方程的思想，属于基础题型.15.某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能
10、排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有_【答案】300【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分2步进行分析：，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，则有种不同的顺序，故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题16.己知，且，若恒成立，则实数m的取值范围_【答案】【解析】【分析】利用“1”的替换求出的最小值，再解不等式即可.【
11、详解】因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.17.已知向量，满足，若存在不同的实数，使得，且则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设，变形（数量积的运算）得是方程的两根，利用韦达定理求得，则可表示为的函数，由的范围可得结论，在题中注意的范围的确定【详解】，设（），由得，整理得，同理，所以是方程的两根，由得，时方程无解，故且，所以， ，所以，由且得的范围是故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设后通过数量积的运算把是方程的两根，这样可用韦达定理求得，从而求得目标关于的函数，属于难题三、解答
12、题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.已知函数（1）求的值（2）若，求取值范围；【答案】（1）-1；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式化简，再代入求值即可；（2）根据的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为所以，（2），当时，即时，的最小值为，当时，即时，的最大值为1，即的取值范围为【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，属于中档题.19.如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过线
13、面垂直判定定理证明平面，进而得到；（2）取中点，联结，通过已知条件得出四边形为正方形，得出即为所求角，进而可得结果.【详解】（1）由题意易得：，又平面，平面，又，平面，又平面，（2）取中点，联结，又，底面是正方形，由题意易得为直角三角形，由棱柱的性质以及平面，可得四边形为正方形，由（1）得，,面，即为所求角，且大小为，即直线与平面所成的角为.【点睛】本题主要考查了通过线面垂直得出线线垂直，直线与平面所成角的求法，属于中档题.20.设数列前项和为，已知（且），是数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）求满足的最大正整数的值【答案】（1）；（2）2020.【解析】【分析】（1）由数列的前项和与项
14、满足，消掉和可得数列是等比数列，进而求数列的通项公式（2）由（1）可得，则，即可得到，再解不等式即可；【详解】解：（1）因为当时，解得，当时，即因为，故，则是以2为首项，4为公比的等比数列故（2）由（1）得：，即，令，解得故满足条件的最大正整数的值为【点睛】本题考查数列项与和的转化，等比数列的通项公式，解整数不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.已知椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点，与直线相交于点，是椭圆上一点且满足（其中为坐标原点），试问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.【答案
15、】（1）；（2）存在，且定点的坐标为.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出的值，由椭圆的离心率可得的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，由点在椭圆上得出，并求出点的坐标，设点，计算出，由为定值求出，由此可求得定点的坐标.【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，由题意可知，且，则，因此，椭圆的方程为；（2）设点、，联立，消去并整理得，由韦达定理得，则，即点，由于点在椭圆上，则，化简得，联立，得，则点，设在轴上是否存在一点，使得为定值，为定值，则，得，因此，在轴上存在定点，使得为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解
16、，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题.22.已知函数（1）讨论函数的单调性（2）若函数恰有一个零点，且（i）求a的取值范围；（ii）求的最大值【答案】（1）答案见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由题意可知，分与两种情况讨论即可；（2）（i）当时，由零点存在性定理易得满足题意，当时，只需满足，解不等式即可；（ii）更换主元，令，即等价于在上有零点，即，再分情况讨论即可.【详解】解（1）由题意可知，当时，在R上单调递增，当时，令，得当或时，当时，所以在上递增，上递减，上递增，（2）（i）由（1）得当时，因为，所以在区间必有一个零点，符合题意；当时，故要恰有一个负零点，只需满足，即，令，故，解得，所以的取值范围为（ii）存在，使得方程成立，令，即等价于在上有零点，即，故当时，存在零点；当时，故只需，令，故，解得，所以可得综上：的最大值为【点晴】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴题.
