1、江苏省无锡市天一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)一、单选题(共8题,每题5分,总计40分,在每小题给出的选项中,只有1项符合题意)1.设,“”是“复数是纯虚数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当a=0时,如果b=0,此时是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果已经是纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到a=0,因此是必要条件,故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件,但问题中又涉及到了复数问题,复数部分本题所考查的是纯虚数的定义2.四个同学猜同一个谜语,如果每人猜
2、对的概率都是,并且各人猜对与否互不影响,那么他们同时猜对的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据独立事件同时发生的概率计算方法即可得解.【详解】由题各人猜对与否互不影响,每人猜对的概率都是,他们同时猜对的概率为.故选:B【点睛】此题考查独立事件同时发生的概率,关键在于准确掌握独立事件相关概率计算方法.3.的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析:写出,然后可得结果详解:由题可得令,则所以故选C.点睛:本题主要考查二项式定理,属于基础题4.设这两个正态分布密度曲线如图所示,则下列结论中正确是( ) A. B. C. D. 【答案
3、】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系,结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得的关系.【详解】由图可得:X的正态分布密度曲线更“瘦高”,且对称轴偏左,结合正态分布密度曲线性质可得:.故选:B【点睛】此题考查正态分布密度曲线的性质,关键在于熟练掌握图象性质,根据对称轴和曲线关系判断得解.5.对于不等式n+1(nN*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1.那么当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何nN*,不等式均成立.则上述证
4、法( )A. 过程全部正确B. n=1验得不正确C. 归纳假设不正确D. 从n=k到n=k+1的证明过程不正确【答案】D【解析】【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式,正确的证明过程如下:在(2)中假设 时有 成立,即成立,即时成立,故选D点睛:数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础,归纳递推是证题的关键,两个步骤缺一不可(2)在用数学归纳法证明问题的过程中,要注意从k到k1时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性,过程中要体现数学归纳法证题的形式.6.为支援湖北抗击新冠疫情,无锡市某医院欲从6名医生和4名
5、护士中抽选3人(医生和护士均至少有一人)分配到A,B,C三个地区参加医疗救援(每个地区一人),方案要求医生不能去A地区,则分配方案共有( )A. 264种B. 224种C. 250种D. 236种【答案】A【解析】【分析】分类计数,考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解.【详解】当选取的是1名医生2名护士,共有种选法,分配到A,B,C三个地区参加医疗救援(每个地区一人),方案要求医生不能去A地区,共有种,即一共种方案;当选取的是2名医生1名护士,共有种选法,分配到A,B,C三个地区参加医疗救援(每个地区一人),方案要求医生不能去A地区,共有种,即一共种方案.综上所述:分配方
6、案共有264种.故选:A【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用,涉及排列组合相关知识,综合性强.7.在的展开式中, 项的系数为( )A. 10B. 25C. 35D. 66【答案】D【解析】【分析】分析的展开式的本质就是考虑12个,每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项,利用组合知识即可得解.【详解】的展开式考虑12个,每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项,要得到项,就是在12个中,两个括号取,10个括号取1,所以其系数为.故选:D【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数,关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题,将问题转化为计数原理组合问题.8.设F1,F
7、2是椭圆E:(ab0)的左、右焦点,若在右准线上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆E的离心率e的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合图形关系即在右准线上存在点P,使线段,将问题转化为,即,即可求得离心率范围.【详解】在右准线上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,即在右准线上存在点P,使线段,所以,所以.故选:D【点睛】此题考查求离心率的取值范围,关键在于根据图象关系找出不等关系,构造齐次式求解离心率取值范围.二、多选题(共4题,每题5分,总计20分,在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分)9.下面是
8、关于复数(i为虚数单位)的四个命题: ; ; 的共轭复数为;若,则的最大值为.其中正确的命题有( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据复数运算法则求出,求出模长和共轭复数,根据运算法则求出,结合几何意义求解的最大值.【详解】由题,其共轭复数,所以,若,设,则,即是圆上的点,可以看成圆上的点到原点的距离,最大值为所以正确的命题为.故选:BD【点睛】此题考查复数的运算法则和几何意义以及模长问题,关键在于熟练掌握运算法则,根据已知条件建立等量关系求解.10.如果是一个随机变量,则下列命题中的真命题有( )A. 取每一个可能值的概率都是非负数B. 取所有可能值的概率之和是1C.
9、的取值与自然数一一对应D. 的取值是实数【答案】ABD【解析】【分析】根据随机变量及其分布列性质即可判断.【详解】根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数,所以A正确;取所有可能值的概率之和是1,所以B正确;的取值是实数,不一定是自然数,所以C错误,D正确.故选:ABD【点睛】此题考查随机变量概念辨析,需要数量掌握随机变量及其分布列的性质,根据性质辨析得解.11.(1axby)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,n的值可能为( )A. a=2,n=5B. a=1,n=6C. a=1,n=5D. a=1,n=5【答案】CD【解析】【分析】每个(1axby)中取1,ax,b
10、y之一求得乘积构成(1axby)n的展开式中的每一项,利用组合知识得出所有系数的绝对值,结合二项式定理即可得解.【详解】(1axby)n的展开式可以看成n个(1axby),每个(1axby)中取1,ax,by之一求得乘积构成的每一项, (1axby)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32,即,即,结合四个选项则a,n的值可能为:a=1,n=5,或a=1,n=5故选:CD【点睛】此题考查二项式定理的应用,关键在于弄清多项式展开式的求法,结合组合知识和二项式定理求解.12.在平面直角坐标系xOy中,双曲线 (a,b0)的左右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),左顶点为A,左准线为l,
11、过F1作直线交双曲线C左支于P,Q两点,则下列命题正确的是( )A. 若PQx轴,则PQF2的周长为B. 连PA交l于D,则必有QD/x轴C. 若PQ中点为M,则必有PQMF2D. 连PO交双曲线C右支于点N,则必有PQ/NF2【答案】AD【解析】【分析】结合图象分析当PQx轴时,求出PQF2的周长,通过证明四边形为平行四边形,得PQ/NF2,结合双曲线图像性质判定BC.【详解】根据上图,若PQx轴,则PQF2的周长为,所以A选项正确;连PA交l于D,则必有QD/x轴,由上图可得选项说法错误;若PQ中点为M,则必有PQMF2,假设该命题成立,则MF2是线段的PQ的垂直平分线,所以,根据双曲线的
12、对称性可知,当且仅当PQx轴时成立,所以选项错误;连PO交双曲线C右支于点N,则必有PQ/NF2,考虑四边形PF1NF2,所以四边形为平行四边形,所以,所以有PQ/NF2.故选项正确.故选:AD【点睛】此题考查双曲线的图象和性质,根据图象性质判定线段长度关系和位置关系,涉及双曲线的定义的理解,利用定义解决焦点三角形周长关系,综合性强.三、填空题(共4题,每题5分,总计20分,只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程).13.计算:_.【答案】【解析】【分析】处理即可得解.【详解】.故答案为:【点睛】此题考查复数的运算,关键在于熟练掌握复数的运算法则,根据法则进行计算.14.投篮测试中,每人投
13、3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为_。(用分数表示)【答案】【解析】【分析】各次投篮是否投中相互独立,可以看成独立重复试验,利用独立事件概率求法计算得解.【详解】由题各次投篮是否投中相互独立,该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中三次,所以其概率为.故答案为:【点睛】此题考查计算独立事件的概率,将问题抽象出来就是进行独立重复试验,根据概率公式求解.15.设,那么满足的所有有序数组的组数为_.【答案】26【解析】【分析】满足的所有有序数组,分为三个-1一个0,两个-1两个0,一个-1两个0一个2,三个0一个2共
14、四类情况,分类求解.【详解】,所有有序数组中,满足的所有有序数组,分为三个-1一个0,两个-1两个0,一个-1两个0一个2,三个0一个2共四类情况,不同的种数为故答案为:26【点睛】此题考查计数原理的应用,涉及组合相关知识,关键在于准确进行分类处理.16.设nN*,an为(x4)n(x1)n的展开式的各项系数之和,(x表示不超过实数x的最大整数),则 (tR )的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据展开式求出系数和得,求出,将转化为点到的距离的平方,结合几何意义即可得解.【详解】an为(x4)n(x1)n的展开式的各项系数之和,即,考虑,所以递减,所以,所以,可以看成点到的距离的平方,即求
15、点到直线的距离最小值的平方,由图可得即求点或到直线的距离的平方,即故答案为:【点睛】此题考查求二项式系数,数列增减性与求和,通过几何意义转化求解代数式的最值,涉及转化与化归思想和数形结合思想.四、解答题(共6题,共计70分.评分要求为:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.(1)计算:(i为虚数单位);(2)已知是一个复数,求解关于的方程,(i为虚数单位).【答案】(1)8;(2)或【解析】【分析】(1)即可化简得值;(2)设,建立等式,列方程组求解.【详解】(1);(2)设,即,所以,解得或,所以或.故答案为:或【点睛】此题考查复数的运算,关键在于根据题意利用复数的运算法则,准确
16、计算求解.18.某产品在3-7月份销售量与利润的统计数据如下表:月份34567销售量(单位:万件)36478利润(单位:万元)1934264146(1)从这5个月的利润中任选2个值,分别记为,求事件“均小于45”的概率;(2)已知销售量与利润大致满足线性相关关系,请根据前4个月的数据,求出关于的线性回归方程; (3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2万元,则认为得到的利润估计是理想的.请用表格中7月份的数据检验由(2)中回归方程所得的该月的利润的估计数据是否理想?参考公式, 【答案】(1);(2);(3)是理想的【解析】【分析】(1)求出基本事件总数,再求出“均小于45
17、”包含的基本事件个数即可得解;(2)利用参考公式代入求值即可得解;(3)当时,即可判定.【详解】(1)从这5个月的利润中任选2个值,分别记为,共有种, “均小于45” 共有种,其概率为;(2),所以回归直线方程为;(3)由题可得当时,所以用表格中7月份的数据检验由(2)中回归方程所得的该月的利润的估计数据是理想的.【点睛】此题考查求古典概型和回归直线方程,并利用回归直线方程检验模型是否理想,关键在于熟练掌握古典概率求解方法和回归直线方程的计算方法.19.为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获
18、得数据如下表(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.0.150100.050.0250.01000050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中 )抗倒伏数据如下:143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175180 188 188 192 195 195 199 203 206 206易倒伏数据如下:151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198199 199 20
19、2 202 203(1)完成 22 列联表,并说明能否在犯错概率不超过0.01的条件下认为抗倒伏是否与玉米矮茎有关?(2)(i)按照分层抽样的方式,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米,再从这9株中取出两株进行杂交试验,设取出的易倒伏玉米株数为X,求X的分布列(概率用组合数算式表示);(ii)若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株,求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.【答案】(1)列联表见解析,能在犯错概率不超过0.01的条件下认为抗倒伏是否与玉米矮茎有关;(2)(i)见解析;(ii)期望为,方差为【解析】【分析】(1)根据题意得出22 列联表,根据公式计算出即
20、可得解;(2)(i)根据分层抽样得易倒伏4株,抗倒伏5株,分别计算概率即可得到分布列;(ii)利用二项分布求解期望和方差.【详解】(1)根据统计数据可得22 列联表,抗倒伏易倒伏合计矮茎15419高茎101626合计252045所以能在犯错概率不超过0.01的条件下认为抗倒伏是否与玉米矮茎有关;(2)(i)按照分层抽样的方式,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米,则易倒伏4株,抗倒伏5株,从这9株中取出两株进行杂交试验,设取出的易倒伏玉米株数为X,则X所有可能的取值为0,1,2,X的分布列如下:P012X(ii)若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米中取出的高茎玉米概率为从抗倒伏的玉米试
21、验田中再随机取出50株,记取出的高茎玉米株数为随机变量Y,则Y的数学期望和方差分别为【点睛】此题考查求22 列联表和独立性检验,根据题意求解分布列,计算期望方差,关键在于准确计算,结合常见结论公式,降低计算难度.20.已知n为给定的正整数,t为给定的实数,设(tx)n=a0a1xa2x2anxn.(1)当n=8时.若t=1,求a0a2a4a6a8的值;若t=,求数列an中的最大值;(2)若t=,当时,求的值.【答案】(1)128,;(2)【解析】【分析】(1)设f(x)=(1x)8=a0a1xa2x2a8x8,f(1)=28=a0a1a2a8,f(-1)=0=a0-a1a2-a8,a0a2a4
22、a6a8= f(1)+ f(-1) 2即可得解;,通过不等式组即可得解;(2)处理,利用二项式定理逆用即可得解.【详解】(1)设f(x)=(tx)n=a0a1xa2x2anxn,当n=8时若t=1,f(x)=(1x)8=a0a1xa2x2a8x8,f(1)=28=a0a1a2a8,f(-1)=0=a0-a1a2-a8,a0a2a4a6a8= f(1)+ f(-1)2=128若t=,(x)n=a0a1xa2x2anxn,所以,设第r项最大,则,解得,所以数列an中的最大值(2)若t=,当时,求的值.(x)n=a0a1xa2x2anxn,当时,当n=1时也满足,所以.【点睛】此题考查二项式定理的应
23、用,根据展开式求解系数关系,涉及组合数计算公式,二项式定理的逆用,综合性强.21.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上有三个动点A,B,C.(1)若,求;(2)若,AB的垂直平分线经过一个定点Q,求QAB面积的最大值.【答案】(1)6;(2).【解析】【分析】(1)根据向量关系求得,根据焦半径公式即可得解;(2)求出定点Q,联立直线与抛物线求出,根据面积公式求解最值.【详解】(1)平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上有三个动点A,B,C,设,所以,所以,;(2),所以,设线段AB中点,线段AB的垂直平分线:,所以AB的垂直平分线经过一个定点Q(
24、3,0),AB的方程为由得,Q(3,0)到AB的距离所以三角形面积当且仅当时取得等号,此时所以QAB面积的最大值.【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系,根据抛物线定义求解长度关系,联立直线与抛物线方程,结合韦达定理求解三角形面积相关问题,综合性强.22.十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:附:参考数据与公式 ,若 ,则 ; ; .
25、(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ,其中近似为年平均收入 近似为样本方差 ,经计算得:,利用该正态分布,求:(i)在2019年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?【答案】(1
26、)17.4;(2)(i)14.77千元(ii)978位【解析】【分析】(1)用每个小矩形的面积乘以该组中点值,再求和即可得到平均数;(2)(i)根据正态分布可得:即可得解;(ii)根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773,利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k的取值即可得解.【详解】(1)由频率分布直方图可得:;(2)(i)由题,所以满足题意,即最低年收入大约14.77千元;(ii),每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773,记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X,恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率得,所以当时,当时,所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数,利用正态分布估计概率,结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题,综合性强.