1、江苏省无锡市天一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）1.设，“”是“复数是纯虚数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义2.四个同学猜同一个谜语，如果每人猜
2、对的概率都是，并且各人猜对与否互不影响，那么他们同时猜对的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据独立事件同时发生的概率计算方法即可得解.【详解】由题各人猜对与否互不影响，每人猜对的概率都是，他们同时猜对的概率为.故选：B【点睛】此题考查独立事件同时发生的概率，关键在于准确掌握独立事件相关概率计算方法.3.的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题4.设这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确是( ) A. B. C. D. 【答案
3、】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系，结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得的关系.【详解】由图可得：X的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左，结合正态分布密度曲线性质可得：.故选：B【点睛】此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.5.对于不等式n+1(nN*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1.那么当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何nN*,不等式均成立.则上述证
4、法（ ）A. 过程全部正确B. n=1验得不正确C. 归纳假设不正确D. 从n=k到n=k+1的证明过程不正确【答案】D【解析】【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设 时有 成立，即成立，即时成立，故选D点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.6.为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名
5、护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有( )A. 264种B. 224种C. 250种D. 236种【答案】A【解析】【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解.【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有种，即一共种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有种，即一共种方案.综上所述：分配方
6、案共有264种.故选：A【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.7.在的展开式中, 项的系数为( )A. 10B. 25C. 35D. 66【答案】D【解析】【分析】分析的展开式的本质就是考虑12个，每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】的展开式考虑12个，每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到项，就是在12个中，两个括号取，10个括号取1，所以其系数为.故选：D【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.8.设F1，F
7、2是椭圆E：(ab0)的左、右焦点，若在右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆E的离心率e的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合图形关系即在右准线上存在点P，使线段，将问题转化为，即，即可求得离心率范围.【详解】在右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，即在右准线上存在点P，使线段，所以,所以.故选：D【点睛】此题考查求离心率的取值范围，关键在于根据图象关系找出不等关系，构造齐次式求解离心率取值范围.二、多选题（共4题，每题5分，总计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9.下面是
8、关于复数（i为虚数单位）的四个命题： ； ； 的共轭复数为；若，则的最大值为.其中正确的命题有( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据复数运算法则求出，求出模长和共轭复数，根据运算法则求出，结合几何意义求解的最大值.【详解】由题，其共轭复数，所以，若，设，则，即是圆上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，最大值为所以正确的命题为.故选：BD【点睛】此题考查复数的运算法则和几何意义以及模长问题，关键在于熟练掌握运算法则，根据已知条件建立等量关系求解.10.如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )A. 取每一个可能值的概率都是非负数B. 取所有可能值的概率之和是1C.
9、的取值与自然数一一对应D. 的取值是实数【答案】ABD【解析】【分析】根据随机变量及其分布列性质即可判断.【详解】根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.故选：ABD【点睛】此题考查随机变量概念辨析，需要数量掌握随机变量及其分布列的性质，根据性质辨析得解.11.(1axby)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为( )A. a=2，n=5B. a=1，n=6C. a=1，n=5D. a=1，n=5【答案】CD【解析】【分析】每个(1axby)中取1，ax，b
10、y之一求得乘积构成(1axby)n的展开式中的每一项，利用组合知识得出所有系数的绝对值，结合二项式定理即可得解.【详解】(1axby)n的展开式可以看成n个(1axby)，每个(1axby)中取1，ax，by之一求得乘积构成的每一项， (1axby)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，即，即，结合四个选项则a，n的值可能为：a=1，n=5，或a=1，n=5故选：CD【点睛】此题考查二项式定理的应用，关键在于弄清多项式展开式的求法，结合组合知识和二项式定理求解.12.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 (a，b0)的左右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，左准线为l，
11、过F1作直线交双曲线C左支于P，Q两点，则下列命题正确的是( )A. 若PQx轴，则PQF2的周长为B. 连PA交l于D，则必有QD/x轴C. 若PQ中点为M，则必有PQMF2D. 连PO交双曲线C右支于点N，则必有PQ/NF2【答案】AD【解析】【分析】结合图象分析当PQx轴时，求出PQF2的周长，通过证明四边形为平行四边形，得PQ/NF2，结合双曲线图像性质判定BC.【详解】根据上图，若PQx轴，则PQF2的周长为，所以A选项正确；连PA交l于D，则必有QD/x轴，由上图可得选项说法错误；若PQ中点为M，则必有PQMF2，假设该命题成立，则MF2是线段的PQ的垂直平分线，所以，根据双曲线的
12、对称性可知，当且仅当PQx轴时成立，所以选项错误；连PO交双曲线C右支于点N，则必有PQ/NF2，考虑四边形PF1NF2，所以四边形为平行四边形，所以，所以有PQ/NF2.故选项正确.故选：AD【点睛】此题考查双曲线的图象和性质，根据图象性质判定线段长度关系和位置关系，涉及双曲线的定义的理解，利用定义解决焦点三角形周长关系，综合性强.三、填空题（共4题，每题5分，总计20分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）.13.计算：_.【答案】【解析】【分析】处理即可得解.【详解】.故答案为：【点睛】此题考查复数的运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则进行计算.14.投篮测试中，每人投
13、3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_。（用分数表示）【答案】【解析】【分析】各次投篮是否投中相互独立，可以看成独立重复试验，利用独立事件概率求法计算得解.【详解】由题各次投篮是否投中相互独立，该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中三次，所以其概率为.故答案为：【点睛】此题考查计算独立事件的概率，将问题抽象出来就是进行独立重复试验，根据概率公式求解.15.设，那么满足的所有有序数组的组数为_.【答案】26【解析】【分析】满足的所有有序数组，分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共
14、四类情况，分类求解.【详解】，所有有序数组中，满足的所有有序数组，分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共四类情况，不同的种数为故答案为：26【点睛】此题考查计数原理的应用，涉及组合相关知识，关键在于准确进行分类处理.16.设nN*，an为(x4)n(x1)n的展开式的各项系数之和，（x表示不超过实数x的最大整数），则 (tR )的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据展开式求出系数和得，求出，将转化为点到的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】an为(x4)n(x1)n的展开式的各项系数之和，即，考虑，所以递减，所以，所以，可以看成点到的距离的平方，即求
15、点到直线的距离最小值的平方，由图可得即求点或到直线的距离的平方，即故答案为：【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.四、解答题（共6题，共计70分.评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.（1）计算：（i为虚数单位）；（2）已知是一个复数，求解关于的方程，（i为虚数单位）.【答案】（1）8；（2）或【解析】【分析】（1）即可化简得值；（2）设，建立等式，列方程组求解.【详解】（1）；（2）设，即，所以，解得或，所以或.故答案为：或【点睛】此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确
16、计算求解.18.某产品在3-7月份销售量与利润的统计数据如下表：月份34567销售量（单位：万件）36478利润（单位：万元）1934264146（1）从这5个月的利润中任选2个值，分别记为，求事件“均小于45”的概率；（2）已知销售量与利润大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出关于的线性回归方程； （3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2万元，则认为得到的利润估计是理想的.请用表格中7月份的数据检验由（2）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是否理想？参考公式, 【答案】（1）；（2）；（3）是理想的【解析】【分析】（1）求出基本事件总数，再求出“均小于45
17、”包含的基本事件个数即可得解；（2）利用参考公式代入求值即可得解；（3）当时，即可判定.【详解】（1）从这5个月的利润中任选2个值，分别记为，共有种， “均小于45” 共有种，其概率为；（2），所以回归直线方程为；（3）由题可得当时，所以用表格中7月份的数据检验由（2）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是理想的.【点睛】此题考查求古典概型和回归直线方程，并利用回归直线方程检验模型是否理想，关键在于熟练掌握古典概率求解方法和回归直线方程的计算方法.19.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获
18、得数据如下表（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.0.150100.050.0250.01000050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中 ）抗倒伏数据如下：143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175180 188 188 192 195 195 199 203 206 206易倒伏数据如下：151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198199 199 20
19、2 202 203（1）完成 22 列联表，并说明能否在犯错概率不超过0.01的条件下认为抗倒伏是否与玉米矮茎有关?（2）（i）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，再从这9株中取出两株进行杂交试验，设取出的易倒伏玉米株数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.【答案】（1）列联表见解析，能在犯错概率不超过0.01的条件下认为抗倒伏是否与玉米矮茎有关；（2）（i）见解析；（ii）期望为，方差为【解析】【分析】（1）根据题意得出22 列联表，根据公式计算出即
20、可得解；（2）（i）根据分层抽样得易倒伏4株，抗倒伏5株，分别计算概率即可得到分布列；（ii）利用二项分布求解期望和方差.【详解】（1）根据统计数据可得22 列联表，抗倒伏易倒伏合计矮茎15419高茎101626合计252045所以能在犯错概率不超过0.01的条件下认为抗倒伏是否与玉米矮茎有关；（2）（i）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，则易倒伏4株，抗倒伏5株，从这9株中取出两株进行杂交试验，设取出的易倒伏玉米株数为X，则X所有可能的取值为0,1,2，X的分布列如下：P012X（ii）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米中取出的高茎玉米概率为从抗倒伏的玉米试
21、验田中再随机取出50株，记取出的高茎玉米株数为随机变量Y，则Y的数学期望和方差分别为【点睛】此题考查求22 列联表和独立性检验，根据题意求解分布列，计算期望方差，关键在于准确计算，结合常见结论公式，降低计算难度.20.已知n为给定的正整数，t为给定的实数，设(tx)n=a0a1xa2x2anxn.（1）当n=8时.若t=1，求a0a2a4a6a8的值；若t=，求数列an中的最大值；（2）若t=，当时，求的值.【答案】（1）128，；（2）【解析】【分析】（1）设f（x）=(1x)8=a0a1xa2x2a8x8，f（1）=28=a0a1a2a8，f（-1）=0=a0-a1a2-a8，a0a2a4
22、a6a8= f（1）+ f（-1） 2即可得解；，通过不等式组即可得解；（2）处理，利用二项式定理逆用即可得解.【详解】（1）设f（x）=(tx)n=a0a1xa2x2anxn，当n=8时若t=1，f（x）=(1x)8=a0a1xa2x2a8x8，f（1）=28=a0a1a2a8，f（-1）=0=a0-a1a2-a8，a0a2a4a6a8= f（1）+ f（-1）2=128若t=，(x)n=a0a1xa2x2anxn，所以，设第r项最大，则，解得，所以数列an中的最大值（2）若t=，当时，求的值.(x)n=a0a1xa2x2anxn，当时，当n=1时也满足，所以.【点睛】此题考查二项式定理的应
23、用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定理的逆用，综合性强.21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上有三个动点A,B,C.（1）若，求；（2）若，AB的垂直平分线经过一个定点Q，求QAB面积的最大值.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量关系求得，根据焦半径公式即可得解；（2）求出定点Q，联立直线与抛物线求出，根据面积公式求解最值.【详解】（1）平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上有三个动点A,B,C，设，所以，所以，；（2），所以，设线段AB中点，线段AB的垂直平分线：，所以AB的垂直平分线经过一个定点Q（
24、3,0），AB的方程为由得，Q（3,0）到AB的距离所以三角形面积当且仅当时取得等号，此时所以QAB面积的最大值.【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系，根据抛物线定义求解长度关系，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解三角形面积相关问题，综合性强.22.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 ，若 ，则 ； ； .
25、（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中近似为年平均收入 近似为样本方差 ，经计算得：，利用该正态分布，求：（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?【答案】（1
26、）17.4；（2）（i）14.77千元（ii）978位【解析】【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；（2）（i）根据正态分布可得：即可得解；（ii）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k的取值即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可得：；（2）（i）由题，所以满足题意，即最低年收入大约14.77千元；（ii），每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X，恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率得，所以当时，当时，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.