1、数系的扩充与复数的概念_1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念3理解复平面、实轴、虚轴等概念4理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用5理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系一复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合Cabi|a，bR|中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数其中i叫做虚数单位，满足i21(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部(3)复数集全体复数所
2、构成的集合叫做复数集记作Cabi|a，bR二两个复数相等的充要条件(1)在复数集Cabi|a，bR中任取两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是ac且bd(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小三复数的分类(1)复数abi(a，bR)(2)集合表示：四复平面、实轴、虚轴点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi(a，bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，
3、0),它所确定的复数是z00i0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数五复数的几何意义六复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|且|z|类型一.复数的概念例1：请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？解析：形如abi(a，bR)的数叫做复数其中i叫做虚数单位，满足i2-1答案：它们都是虚数，它们的实部分别是2，3，0，;虚部分别是3，;i是纯虚数.练习1：复数2i+3.14的实部和虚部是什么？答案：实部是3.14，虚部是2.练习2：实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解析：因为mR，所以m+1，m1都是实数，由复数z
4、=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.答案：(1)当m1=0，即m=1时，复数z是实数；来(2)当m10，即m1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且m10时，即m=1时，复数z是纯虚数.类型二.复数相等的条件例2：已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x与y.解析：两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是ac且bd答案：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4练习1：满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_.解析：由题意知点对有(3，)，(1，)共有2个.答案：2类型三.复数的分类
5、例3：设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是纯虚数，求m的值.解析：由题意知，m=1.答案：m=1练习1：已知mR，复数z=+(m2+2m3)i，当m为何值时，(1)zR; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.答案：(1)m须满足解之得：m=3.(2)m须满足m2+2m30且m10，解之得：m1且m3.(3)m须满足解之得：m=0或m=2.(4)m须满足解之得：m类型四.复数的几何意义例4：复数35i、1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_解析：复数35i,1i和2ai在复平面内对应的点分别为(3，5)，(1，1)，(2，
6、a)，所以由三点共线的条件可得.解得a5.答案：a5练习1：实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i是：(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线xy50上答案：(1)由m22m150，得知m5时，z的对应点在x轴上方；(2)由(m25m6)(m22m15)50，得知：m或m，z的对应点在直线xy50上类型五.复数的模例5：已知复数z0abi(a，bR)，z(a3)(b2)i，若|z0|2，求复数z对应点的轨迹解析：设zxyi(x，yR)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知z0abi，|z0|2，a2b24.将代入得(x3)2(y2)24.点P的轨迹是以(3，2)为
7、圆心，2为半径的圆答案：点P的轨迹是以(3，2)为圆心，2为半径的圆1.若复数2-bi(bR)的实部与虚部互为相反数,则b的值为()A.-2B.1C.-1D.2解析:复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.答案:D2.设全集I=复数,R=实数,M=纯虚数,则()A.MR=IB.(IM)R=IC.(IM)R=RD.M(IR)=解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.所以应有:MRI,( IM)R=IM,M(IR),故A,B,D三项均错,只有C项正确.答案:C3.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是
8、纯虚数,则点(x,y)的轨迹是()A.以原点为圆心,以2为半径的圆B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(，),(-,-)来源:1解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则x2+y2-4=0即x2+y2=4且xy.故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(，),(-,-) 答案:D4.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(mR)是正实数,则实数m的值为()A.-2B.3C.-3D.3解析:依题意应有解得m=3.答案:B5.在复平面内,复数6+5i,-2
9、+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i解析:复数6+5i对应A点坐标为(6,5),-2+3i对应B点坐标为(-2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.故选C.答案:C6.已知0a2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)解析:|z|=0a2,0a24,1|z|,即1|z|z2,则a的值为_.解析:由z1z2,得2a2+3a=0，a2+a=0解得a=0.答案:0.已知复数z1=x+yi,z2=x+(x-3y)i
10、,x,yR.若z1=z2,且|z1|=,则z1=_.解析:因为z1=z2,所以y=x-3y,即x=4y.又|z1|=,即17y2=17,解得y=1,x=4或y=-1,x=-4,所以z1=4+i或z1=-4-i.答案:4+i或-4-i_基础巩固1.若(x+y)i=x-1(x,yR),则2x+y的值为()A.B.2C.0D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y，故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M=1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i,N=-1,3,且MN=3,则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于MN=3,故3M,必有m2-3m-1
11、+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:-2i,3+,8i2,isin,4+i;其中表示实数的有(填上序号) _.解析:为实数;8i2=-8为实数;isin=0i=0为实数,其余为虚数.答案:4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:|z|2-2|z|-3=0,(|z|-3)(|z|+1)=0,|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在AB
12、C中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为_.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-20).|z|=1,a2=.而a0,a=.z=答案
13、:z=11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=_.解析:设z=a+bi(a,bR),则|z|=,代入方程得,a+bi+=2+8i,解得a=-15z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若MP=P,求实数m的值.解析:MP=P,MP,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cos+(1+sin
14、)i(R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解析:设复数z=2+cos+(1+sin)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cos,y=1+sin即cos=x-2,sin=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.答案:复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14 已知复数zm(m1)(m22m3)i(mR)(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围答案: (1)z为实数，m22m30，解得m3或m1.(2)z为纯虚数，解得m0.(3)z所对应的点在第四象限，解得3m0.
