1、第一章 数 列第 2 课时 等差数列的性质1等差数列中的项与序号的关系(1)两项关系anam()d(m，nN)(2)多项关系若 mnpq(m，n，p，qN)，则 aman若 mn2p，则 aman2ap.nmapaq2等差数列的“子数列”的性质若数列an是公差为 d 的等差数列，则(1)数列an去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列(2)奇数项数列a2n1是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列a2n是公差为 2d 的等差数列(3)若数列kn是等差数列，则数列akn也是等差数列(4)从等差数列 an中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化判断(正确的打“”，错误的
2、打“”)(1)若an是等差数列，则|an|也是等差数列()(2)若|an|是等差数列，则an也是等差数列()(3)在等差数列an中，若 mnr，m，n，rN，则 amanar.()(4)若数列an是等差数列，则 a1，a3，a5，a7，a9 是等差数列()等差数列an中，a4a515，a712，则 a2 等于()A3 B3C.32D32答案：A等差数列 a1，a2，a3，an 的公差为 d，则数列 5a1，5a2，5a3，5an 是()A公差为 d 的等差数列B公差为 5d 的等差数列C非等差数列D以上都不对答案：B等差数列an中，a100120，a90100，则公差 d 等于_答案：21等差
3、数列几个常用的结论若an是公差为 d 的等差数列，则下列数列：(1)can(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列(2)can(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列(3)ank(kN)是公差为 kd 的等差数列(4)若an，bn分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列panqbn(p，q 是常数)是公差为 pd1qd2 的等差数列2应用等差数列的性质时，应注意以下两点(1)an为等差数列，若 mnpq(m，n，p，qN)，则 amanapaq，反之不一定成立(2)等差数列an中，若 mpq(m，p，qN)，则 amapaq 不一定成立 等差数列的性质的应用(1)已知数列an是等差数
4、列，若 a1a9a177，则 a3a15()A7 B14C21 D7(n1)(2)设数列an，bn都是等差数列，且 a1b17，a3b321，则 a5b5_(3)等差数列an中，a13a8a15120，则 2a9a10 的值是_【解析】(1)因为a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以 a3a152a92714.(2)因为an，bn都是等差数列，所以anbn是等差数列 设anbn的公差为 d，则(a3b3)(a1b1)2d，即 d7，所以 a5b5(a3b3)2d212735.(3)因为 a13a8a155a8120，所以 a824.所以 2a9a10a10a8a10a824.【
5、答案】(1)B(2)35(3)24等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于 a1，d 的方程(组)，确定 a1，d，然后求其他量(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 mnpq2r(m，n，p，q，rN)，则 amanapaq2ar.1.(1)在等差数列an中，a1030，a2050，则 a40 等于()A40 B70 C80 D90(2)数列an满足 3anan1 且 a2a4a69，则 log6(a5a7a9)的值是()A2 B12C2 D12解析：(1)选 D.法一：因为 a20a1010d，所以 503010d，所以 d2，a40a2020d5020290.法
6、二：因为 2a20a10a30，所以 25030a30，所以 a3070，又因为 2a30a20a40，所以 27050a40，所以 a4090.(2)选 C.由 3anan1，得 an1an3.又 a2a4a69，且 a2a62a4，所以 3a49，则 a43，所以 a7a43d33312，故 log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362.等差数列的实际应用问题 某公司 2017 年经销一种数码产品，获利 200 万元，从2017 年起，预计其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解】记 2
7、017 年为第一年，由题设可知第 1 年获利 200 万元，第 2 年获利 180 万元，第 3 年获利 160 万元，则每年的获利构成等差数列an，且当 an0 时，该公司经销此产品将亏损设第 n 年的利润为 an，因为 a1200，公差 d20，所以 ana1(n1)d22020n.由题意知数列an为递减数列，令 an0，即 an22020n11，即从第 12 年起，也就是从 2028 年开始，该公司经销此产品将亏损 解答数列实际应用问题的基本步骤(1)审题，即仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题(3)判型，即判断该数列是否为等
8、差数列(4)求解，即求出该问题的数学解(5)还原，即将所求结果还原到实际应用问题中 2.我国某地区为了防止沙漠流动，缓解沙尘暴的侵蚀，决定建立若干条防沙林带，其中最前面一条长133 km，最后面一条长 293 km，各条的长度成等差数列且公差为 40 km，试求该防沙林带的条数解：用an表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列，由已知条件，有 a1133，an293，d40.由通项公式，得 293133(n1)40，解得 n5.故该防沙林带一共有 5 条规范解答等差数列的综合问题(本题满分 12 分)已知无穷等差数列an，首项 a13，公差 d5，依次取出项的序号被 4 除余 3 的项组成
9、数列bn(1)求 b1 和 b2；(2)求数列bn的通项公式；(3)数列bn中的第 110 项是数列an中的第几项？【解】(1)由题意，等差数列an的通项公式为 an35(n1)85n，(2 分)设数列bn的第 n 项是数列an的第 m 项，则需满足 m4n1，nN.所以 b1a38537，b2a785727.(4 分)(2)由(1)知 bn1bna4(n1)1a4n14d20，所以数列bn也为等差数列，(6 分)且首项为 b17，公差为 d20，(8 分)所以 bnb1(n1)d 7(n1)(20)1320n.(10 分)(3)因为 m4n1，nN，所以当 n110 时，m41101439，
10、所以数列bn中的第 110 项是数列an中的第 439 项(12 分)(1)正确分析新数列bn的项与原数列an中项的关系，得到关系式 m4n1，nN是解题关键 易忽视证明数列bn是等差数列，导致解题过程不严谨，至少要扣 2 分(2)已知等差数列an的基本量后，求解由an的部分项构成的数列bn的通项公式，首先要搞清bn中的项是由an中的哪些项构成，从而确定数列bn的特性(公差)是解决本题的关键(3)有关两个等差数列公共项问题，处理办法有两种，一是将公共项组成等差数列；二是从通项公式入手，利用最小公倍数，建立 ambn 这样的方程，再求一定范围内的整数解1已知在等差数列an中，a1a2a1030，
11、则 a5a6()A3 B6C9 D36解析：选 B.因为数列an是等差数列，所以 a1a2a105(a5a6)30，所以 a5a66.2等差数列an中，若 a6a4 0304，则 a2 018()A2 B4C6 D2解析：选 A.因为 a6a4 0302a2 018，所以 2a2 0184，即 a2 0182.3一架飞机在起飞时，第一秒滑行了 2 m，以后每秒都比前一秒多滑行 4 m，又知离地前一秒滑行了 58 m，则这架飞机起飞所用的时间为_秒解析：飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为an，其中 a12，d4，an58，代入等差数列的通项公式 ana1(n1)d，得 24(n1)58，所以 n15(秒)答案：154已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为 18，平方和为 116，求这三个数解：设这三个数为 ad，a，ad，由已知得（ad）a（ad）18，（ad）2a2（ad）2116，由得 a6，代入得 d2.因为该数列是递增数列，所以 d0，即 d2.所以这三个数依次为 4，6，8.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放