1、2015-2016学年江西省南昌市八一中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A1+iB1iC1iD1+i2设集合A=1，2，3，5，7，B=xN|2x6，全集U=AU B，则A（uB）=（）A1，2，7B1，7C2，3，7D2，73在ABC中，“sinA”是“A”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4下列四个结论：其中正确结论的个数是（）命题“xR，xlnx0”的否定是“x0R，x0lnx00”；命题“若
2、xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；若x0，则xsinx恒成立A1个B2个C3个D4个5设函数f（x）=kaxax，（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）ABCD6设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心球O的表面积为100，且ABC是边长为的正三角形，则三棱锥OABC的体积为（）A12B12C24D367O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则ABC是（）A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为
3、斜边的直角三角形8某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）ABCD39已知非零向量，满足|=|，则函数f（x）=x3+|x2+2x+1在R上有极值，则，的取值范围（）ABCD10已知函数f（x）=lnx+（xb）2（bR）在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）ABC（，3）D11已知函数f（x）=lnx+tan（0，）的导函数为f（x），若使得f（x0）=f（x0）成立的x01，则实数的取值范围为（）A（，）B（0，）C（，）D（0，）12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范
4、围是（）A1， +2B1，e22C+2，e22De22，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数f（x）=，则f（x）dx的值为14已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3（x1x2x3），则x1+2x2+x3=15点M（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式2xy+m0总成立，则m的取值范围是16已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x1），当x0，1时，f（x）=2x1，则函数g（x）=f（x）ln的零点个数为三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5、）17已知函数f（x）=|x3|xa|（1）当a=2时，解不等式f（x）；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）a成立，求实数a的取值范围18设函数（1）把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值，并求出此时x的值；（2）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若求a的最小值19在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：BC平面PBD；（2）设E为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角EBDP的大小为4520数列an中，
6、a1=2，an+1=an+cn（c是不为0的常数，nN），且a1，a2，a3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，Tn为数列bn的前n项和，证明：Tn121已知函数f（x）=+lnx在（1，+）上是增函数，且a0（1）求a的取值范围；（2）求函数g（x）=ln（1+x）x在0，+）上的最大值22已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围2015-2016学年江西省南昌市八一中学高三（上）12月
7、月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A1+iB1iC1iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数z=1+i，z2=2i，则+z2=1i+2i=1+i，故选：A2设集合A=1，2，3，5，7，B=xN|2x6，全集U=AU B，则A（uB）=（）A1，2，7B1，7C2，3，7D2，7【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据全集U=AUB，以及B，求出B的补集，找出A与B补集
8、的交集即可【解答】解：B=xN|2x6=3，4，5，6，A=1，2，3，5，7，U=AUB=1，2，3，4，5，7，uB=1，2，7，A（uB）=1，2，7，故选：A3在ABC中，“sinA”是“A”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先看由sinA能否得到：A时，根据y=sinx在上的单调性即可得到，而A时显然满足A；然后看能否得到sinA，这个可通过y=sinx在（0，）上的图象判断出得不到sinA，并可举反例比如A=综合这两个方面便可得到“sinA”是“A”的充分不必要条件【解答】解：ABC中，若A（0，
9、 =sin，所以sinA得到A；若A，显然得到；即sinA能得到A；而，得不到sinA，比如，A=，；“sinA”是“A”的充分不必要条件故选A4下列四个结论：其中正确结论的个数是（）命题“xR，xlnx0”的否定是“x0R，x0lnx00”；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；若x0，则xsinx恒成立A1个B2个C3个D4个【考点】复合命题的真假；命题的否定【分析】利用命题的否定定义即可判断出真假；利用逆否命题的定义即可判断出真假；利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假；若x0，
10、令f（x）=xsinx，则f（x）=1cosx0，即可函数f（x）在（0，+）上的单调性，即可判断出真假【解答】解：命题“xR，xlnx0”的否定是“x0R，x0lnx00”，正确；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”，正确；“命题pq为真”，则p与q中至少有一个为真命题，取p真q假时，“命题pq为真”为假命题，反之：若“命题pq为真”，则p与q都为真命题，因此“命题pq为真”，“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件，因此是假命题；若x0，令f（x）=xsinx，则f（x）=1cosx0，因此函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）=
11、0，则xsinx恒成立，正确综上只有是真命题故选：C5设函数f（x）=kaxax，（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，0a1，由此不难判断函数的图象【解答】解：函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是奇函数则f（x）+f（x）=0即（k1）（axax）=0则k=1又f（x）=axkax（a0且a1）在（，+）上是减函数则0a1，则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数
12、图象必过原点，且为减函数故选：D6设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心球O的表面积为100，且ABC是边长为的正三角形，则三棱锥OABC的体积为（）A12B12C24D36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】先求球的半径，确定小圆中三角形ABC的特征，作出三棱锥OABC的高，然后解三角形求出三棱锥OABC的底面面积及三棱锥OABC的高，即可得到三棱锥OABC的体积【解答】解：表面积为48的球面，它的半径是R，则100=4R2，R=5，因为ABC是边长为的正三角形，AB=BC=AC=4，三棱锥为正三棱锥，作OD平面ABC，D为ABC的小圆的圆心，所以OD平面ABC，OD就是三棱锥OABC
13、的高，CD=OD=3，则三棱锥OABC的体积为V=12故选：B7O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则ABC是（）A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】设BC的中点为 D，由条件可得2=0，故，故ABC的BC边上的中线也是高线，ABC是以BC为底边的等腰三角形【解答】解：设BC的中点为 D，（22）=0，2=0，故ABC的BC边上的中线也是高线 故ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选 B8某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）ABCD3【考点】由三视
14、图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则SAED=，SABC=SADE=，SACD=，故选：B9已知非零向量，满足|=|，则函数f（x）=x3+|x2+2x+1在R上有极值，则，的取值范围（）ABCD【考点】利用导数研究函数的极值；数量积表示两个向量的夹角【分析】根据三次函数在R上有极值，可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，从
15、而判别式大于0，结合条件，可求的取值范围【解答】解：令f（x）=0函数在R上有极值方程f（x）=0有两个不等的实数根0的取值范围是故选D10已知函数f（x）=lnx+（xb）2（bR）在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）ABC（，3）D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解b的范围【解答】解：函数f（x）在区间上存在单调增区间，函数f（x）在区间上存在子区间使得不等式f（x）0成立，设h（x）=2x22bx+1，则h（2）0或，即84b+10或，得故选：B11已知函数f（x）=lnx+tan（0，）的导函数为f（x），若使得f（x0）=f（x
16、0）成立的x01，则实数的取值范围为（）A（，）B（0，）C（，）D（0，）【考点】导数的运算【分析】由于f（x）=，f（x0）=，f（x0）=f（x0），可得=ln x0+tan ，即tan =ln x0，由0x01，可得ln x01，即tan 1，即可得出【解答】解：f（x）=，f（x0）=，f（x0）=f（x0），=ln x0+tan ，tan =ln x0，又0x01，可得ln x01，即tan 1，（，）故选：A12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1， +2B1，e22C+2，e22De2
17、2，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解，构造函数f（x）=2lnxx2，求出它的值域，得到a的范围即可【解答】解：由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解设f（x）=2lnxx2，求导得：f（x）=2x=，xe，f（x）=0在x=1有唯一的极值点，f（）=2，f（e）=2e2，f（x）极大值=f（1）=1，且知f（e）f（），故方程a=2lnxx2在上有解等价于2e2a1从而a的取值范围为1，e22故选B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数f（x）=，则f（x）dx的值为6+【考点】定积分【
18、分析】利用定积分的运算法则，将所求转为2到0和0到2上的积分，然后计算【解答】解：因为函数f（x）=，所以f（x）dx=（2xx2）|+=6+；故答案为：6+14已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3（x1x2x3），则x1+2x2+x3=【考点】正弦函数的图象【分析】作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2和x2+x3的值，相加即可【解答】解：函数的图象，可看作函数y=4sin2x的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，x1+x2=2（）=，x2+x3=2（）=，x1+2x2+x3=（x1+x2）+（x2+x3）=+=，故答案为：
19、15点M（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式2xy+m0总成立，则m的取值范围是m3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若2xy+m0总成立my2x总成立即可，设z=y2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线经过点C（0，3）时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=30=3，m3，故答案为：m316已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x1），当x0，1时，f（x）=2x1，则函数g（x）=f（x）ln的零点个数
20、为4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数g（x）=f（x）ln的零点个数可化为f（x）与y=ln的图象的交点的个数，从而作出函数f（x）与y=ln的图象求解即可【解答】解：函数g（x）=f（x）ln的零点个数可化为f（x）与y=ln的图象的交点的个数，作函数f（x）与y=ln的图象如下，结合图象可知，函数f（x）与y=ln的图象有四个交点，故函数g（x）=f（x）ln的零点个数为4，故答案为：4三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=|x3|xa|（1）当a=2时，解不等式f（x）；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）a
21、成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x3时，当x2时，当2x3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x3|x2|，当x3时，f（x），即为（x3）（x2），即1成立，则有x3；当x2时，f（x）即为（3x）（2x），即1，解得x；当2x3时，f（x）即为3x（x2），解得，x，则有x3则原不等式的解集为，3）3，+）即为，+）；（2）由绝对值不等式的性质可得|x
22、3|xa|（x3）（xa）|=|a3|，即有f（x）的最大值为|a3|若存在实数x，使得不等式f（x）a成立，则有|a3|a，即或，即有a或a则a的取值范围是（，18设函数（1）把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值，并求出此时x的值；（2）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若求a的最小值【考点】正弦定理；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+）+1，根据三角函数图象变换规律可得，由，可得，利用余弦函数的图象和性质即可得解（2）由f（B+C）
23、=，化简得：cos（2A）=，结合A（0，），可求A=，由余弦定理可得a2=43bc，由b+c=2知：bc（）2=1，当且仅当b=c=1时取等号，即可求得a的最小值【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=cos（2x）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+1，所以因为，所以所以当即时，函数g（x）在区间上的最小值为 （2）由题意，f（B+C）=，即cos（22A+）=，化简得：cos（2A）=，A（0，），2A（，），则有2A=，即A=，在ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c22b
24、ccos=（b+c）23bc=43bc，由b+c=2知：bc（）2=1，当且仅当b=c=1时取等号，a243=1，则a取最小值119在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：BC平面PBD；（2）设E为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角EBDP的大小为45【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由题设条件可证得DP，DA，DC三线两两垂直，故可以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，按题中所给的条件，给出各点的坐标，求出直线BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由数
25、量积为0证明线面垂直（2）由（1）中的坐标系，及E为侧棱PC上一点，给出用参数表示的点E的坐标，求出两个平面EBD与平面PBD的法向量，由公式用参数表示出二面角的余弦值，再令其值是45的余弦值，解出其参数值即可【解答】解：（1）证明：平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）=（1，1，0）所以=0，BCDB，又由PD平面ABCD，可得PDBC，又BDPD=D所以BC平面PBD（2）平面PBD的法向量为=（1，1，0），（0，1），所以E（0，2，1），设
26、平面EBD的法向量为=（a，b，c），=（0，2，1）由=0， =0，得所以，由cos解得=1（用传统方法解得答案酌情给分）20数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为0的常数，nN），且a1，a2，a3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，Tn为数列bn的前n项和，证明：Tn1【考点】数列的求和【分析】（1）利用等比数列的通项公式、“累加求和”即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式【解答】（1）解：由已知a2=2+c，a3=2+3c，a1，a2，a3成等比数列，则（2+c）2=2（2+3c）得c=2，从而an+1=an+2n，n2时，an=a1
27、+（a2a1）+（a3a2）+A+（anan1）=2+21+22+2n=n2n+2，n=1时，a1=2也适合上式，因而an=n2n+2（2）证明：bn=，Tn=b1+b2+bn=+Tn=+，Tn=1，Tn1成立21已知函数f（x）=+lnx在（1，+）上是增函数，且a0（1）求a的取值范围；（2）求函数g（x）=ln（1+x）x在0，+）上的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出f（x）的导数为，利用函数f（x）在（1，+）上是增函数，在（1，+）上恒成立，得到在（1，+）上恒成立，然后求解即可；（2）求出导函数g（x），判断函数的单调性，然
28、后求解函数的最值【解答】解：（1）f（x）的导数为，因为函数f（x）在（1，+）上是增函数，所以在（1，+）上恒成立，即在（1，+）上恒成立，所以只需，又因为a0，所以a1；（2）因为x0，+），所以所以g（x）在0，+）上单调递减，所以g（x）=ln（1+x）x在0，+）上的最大值为g（0）=022已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分
29、析】（）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（）对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）maxg（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（）由已知，则f（1）=2+1=3故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（）当a0时，由于x0，故ax+10，f（x）0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+）当a0时，由f（x）=0，得在区间上，f（x）0，在区间上f（x）0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（）由已知，转化为f（x）maxg（x）max，因为g（x）=x22x+2=（x1）2+1，x0，1，所以g（x）max=2由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，值域为R，故不符合题意当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（）=1+ln（）=1ln（a），所以21ln（a），解得a2017年1月4日
