1、2.7.2抛物线的几何性质学 习 任 务核 心 素 养1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质(重点)2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题(重点、难点)3掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识通过对抛物线几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物
2、面的线抛物线的几何性质知识点1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e11抛物线x22py(p0)有几条对称轴？提示有一条对称轴2抛物线的范围是xR，这种说法正确吗？提示抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y22px(p0)的范围是x0，yR，故此说法错误3参数p对抛物线开口大小有何影响？提示参数p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线
3、是中心对称图形()(2)抛物线的范围为xR()(3)抛物线关于顶点对称()(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)在抛物线中，以x代x，y代y，方程发生了变化(2)抛物线的方程不同，其范围不同，y22px(p0)中x0，yR(3)(4)离心率都为1，正确知识点2焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)拓展：焦点弦的几何性质如图，已知AB是抛物线y22px(p0)的
4、焦点弦，点F是抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，M(x0，y0)为AB的中点，MMCD于点M，N为准线l与x轴的交点，可以证明以下结论：(1)A，O，D三点共线，且B，O，C三点共线；(2)AMBM，CFDF，MFAB；(3)以AB为直径的圆与准线相切(切点为M)；以CD为直径的圆与AB相切(切点为F)，以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(4)ANFBNF；(5)|AF|，|BF|；(6)|AB|x1x2p2(x0)；(7)y1y2p2，x1x2，|y1y2|；(8)kOAkOB4，p2；(9)；(1
5、0)SAOB；(11)焦点弦长|AB|2p2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x26，则|AB|_8y24x，2p4，p2由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21， |AB|x1x2p628 类型1由抛物线的几何性质求标准方程【例1】(1)(对接教材人教B版P156例1)顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点P(4，2)的抛物线的标准方程是_(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程(1)y23x根据题意，设抛物线的标准方程为y22px(p0)因为点P(4
6、，2)在抛物线上，所以(2)22p4，解得2p3故所求抛物线的标准方程为y23x(2)解椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3用待定系数法求抛物线方程的步骤是什么？提示跟进训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程解设抛物线方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0)因为点P到对称轴距离为6，所以y06，因为点P到准线距离为10，所以10因为点P在抛物线上，
7、所以362ax0由，得或或或所以所求抛物线方程为y24x或y236x 类型2抛物线性质的应用【例2】(1)抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且AFO120(O为坐标原点)，AKl，垂足为K，则AKF的面积是_(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y22px(p0)上，求这个三角形的边长(1)4如图，设A(x0，y0)，过A作AHx轴于H，在RtAFH中，|FH|x01，由AFO120，得AFH60，故y0|AH|(x01)，所以A点的坐标为，将点A坐标代入抛物线方程可得3x10x030，解得x03或x0(舍)，故SAKF(31)24(
8、2)解如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2又|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0x10，x20，2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p|AB|2y14p这个正三角形的边长为4p利用抛物线的性质可以解决哪些问题？提示(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题(4)焦点：解决焦点弦问题跟进训
9、练2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，求抛物线的标准方程解由已知得2，所以4，解得即渐近线方程为yx，而抛物线准线方程为x，于是A，B，从而AOB的面积为p可得p2，所以抛物线的标准方程为y24x 类型3焦点弦问题【例3】已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程解决焦点弦问题需注意什么？提示要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解解过焦点的弦长|AB
10、|p，弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)y22px的焦点为F直线AB方程为yk由整理得k2x2(k2p2p)xk2p20(k0)，x1x2，|AB|x1x2pp，又|AB|p，pp，k2所求直线方程为y2或y21(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离解设AB中点为M(x0，y0)，由例题解答可知2x0x1x2p，所以AB的中点M到y轴的距离为p2(变换条件)本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1解由例题解析可知AB的方程为yk，即xy，代入y22px消x可得y2yp2，即y2yp20，y1y2p2，
11、由A1点的坐标为，B1点的坐标为，得kA1F，kB1FkA1FkB1F1，A1FB190解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.跟进训练3过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()ABCD2C法一：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线为l：x1，由|AF|3及焦半径公式可得A点的横坐标为2，代入抛物线方程，得y2，不妨设A(2，2)，则直线AB的方程为y2(x1)，与y24x联立，消去y得
12、2x25x20，解得x12，x2，则可得B，所以SAOBSAOFSBOF1|2()|法二：设AFx(0)，|BF|m，则点A到准线l：x1的距离为3，即323cos ，则cos 又m2mcos ，则m，所以AOB的面积为S|OF|AB|sin 11若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()ABCDAAB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为12在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4，2)B(4，2)C(2，4)D(2，4)D抛物线y216x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x
13、，y)符合题意，则有所以符合题意的点为(2，4)3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2)B(1，2)C(1，2)D(2，2)B由题意知F(1，0)，设A，则，由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B4已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是5以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为_4由题意，不妨设抛物线
14、方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，解得p4回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何理解抛物线的几何性质？提示(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为1；(5)抛物线的通径为2p，2p越大，抛物线的张口越大2怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？提示一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴一次项系数的符号决定开口方向如果y是一次项，负时向下，正时向上如果x是一次项，负时向左，正时向右
