1、三简单曲线的极坐标方程 目 标 导 学 1理解极坐标方程的意义与形式2掌握直线与圆的极坐标方程知识梳理1在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变量的方程(，)0来表示如果曲线C上的点与一个二元方程(，)0建立如下关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一个满足方程(，)0；(2)极坐标满足方程(，)0的点都在曲线C上，那么方程(，)0叫做曲线C的极坐标方程，曲线C叫做极坐标方程(，)0的曲线2直线的极坐标方程直线l经过极点，从极轴到直线l的角是，则直线l的极坐标方程是或(，R)3圆的极坐标方程(1)圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程是 ；(2)圆心在(a,0)(a0)、半径为a的圆的极坐标
2、方程是 .求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹将已知条件用曲线上的点的极坐标，的关系式f(，)0表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略圆的极坐标方程如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲
3、线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标【思路探索】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意方程中的取值范围(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标【解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点M1：2cos ，M2：2cos2sin ，M3：2cos()2cos .(2)解方程2cos 得，此时P的极坐标为；解方程2sin 得，或，此时P的极坐标为或；解方程2cos 得，此时P的极坐标为.故P的极坐标为，.名 师 点 拨(1)求圆的
4、极坐标方程时，常利用极点、圆心与点M构成的三角形，运用余弦定理或直角三角形列出方程f(，)并化简(2)几种特殊位置的圆的极坐标方程圆心位于极点，半径为r的圆：r.圆心位于M(r,0)，半径为r的圆：2rcos .圆心位于M，半径为r的圆：2rsin .(2019天津和平区模拟)在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为4cos 4sin ，试判断点A和圆E的位置关系解：将点A的极坐标化为直角坐标为(2，2)，圆E的极坐标方程4cos 4sin 化为直角坐标方程为x2y24x4y0，即(x2)2(y2)28，所以圆心E(2,2)，半径r2.因为点A到圆心E的距离d4r2，所以点A在圆外
5、题型二直线的极坐标方程求过点A(1,0)且倾角为的直线的极坐标方程【思路探索】欲求直线的极坐标方程，可在极坐标系下构造三角形，利用正弦定理求解，也可以先求直线的直角坐标方程再转化为极坐标方程【解】解法一：如图所示，设M(，)为直线上除点A以外的任意一点，则xAM，OAM，OMA，在OAM中，由正弦定理得，即，故sin，即，化简得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1，其中，0(1)和2(1)解法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率ktan1，直线方程为yx1，将ysin ，x
6、cos 代入上式，得sin cos 1，所以(cos sin )1，其中，0(1)和2(1)名 师 点 拨(1)在极坐标系下求直线的极坐标方程，常常利用极点O，定点A，动点P三点构成三角形，利用正弦定理求解，解题时，要注意检验点A也在直线上(2)几种特殊位置的直线的极坐标方程过极点且极轴到直线的角为，其方程为(R)或(R)过点A(a,0)(a0)且垂直于极轴，其方程为cos a.过点A(a0)且平行于极轴，其方程为sin a.过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程为_；过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为_；过点(1,0)，倾斜角为的直线的极坐标方程为_解析：过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程为(
7、0)；过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为(0)和(0).设P(，)为过A(1,0)，且倾斜角为的直线上任意一点，由正弦定理得，得，又A(1,0)也满足上式，所求的直线的极坐标方程为2sin1.答案：(0)(0)和(0)或，R2sin1题型三极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)xy0；(2)x2(y2)24；(3)4；(4)sin cos ；(5)2cos 3sin 5.【思路探索】利用公式xcos ，ysin ，2x2y2，进行直角坐标方程与极坐标方程互化即可【解】(1)把xcos ，ysin 代入xy0，得(cos sin )0，tan 1，(0)和(0)
8、综上可知，直线xy0的极坐标方程为(0)和(0)或(R)或(R)(2)x2(y2)24，x2y24y.代入xcos ，ysin ，得24sin ，4sin .(3)4，242，x2y216.(4)sin cos ，2sin cos ，x2y2yx，即22.(5)2cos 3sin 5，2x3y5.名 师 点 拨(1)由于根据极坐标方程不容易确定方程的曲线形状与位置关系，所以常常把极坐标方程化为直角坐标方程求解(2)因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合，所以将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的公式ysin ，xcos .进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)y22
9、x；(2)；(3)2cos 24；(4)；(5)x2y22x10.解：(1)将xcos ，ysin 代入y22x得极坐标方程为2sin22cos ，即sin22cos .(2)tan ，tan，即yx.(3)2cos 24，2(cos2sin2)4，x2y24.(4)，2cos 1，2x1，化简得3x24y22x10.(5)x2y22x10，22cos 10.题型四极坐标方程的应用在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，
10、求C2MN的面积【思路探究】(1)直接用直角坐标与极坐标的互化公式求解(2)将(R)代入(1)中求得的极坐标方程求解【解】(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12.即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，面积为.名 师 点 拨遇到极坐标方程问题时，如果极坐标方程较为复杂，可以转化为直角坐标方程求解在转化过程中，要注意应与恒等变形相结合在化为极坐标方程时，如果没有特别说明，就认为0.(2019石家庄一摸)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x2)2y2r2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0r2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求的取值范围解：(1)曲线C的普通方程为(x2)2y2r2，令xcos ，ysin ，化简得24cos 4r20.所以曲线C的极坐标方程为24cos 4r20(2)把代入曲线C的极坐标方程中，得224r20.令44(4r2)0，3r24.方程的解1，2分别为点A，B的极径，122，124r20，.3r24，04r21，(2，)
