1、选修2-2 2.3 一、选择题1某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN*)时该命题成立，则可推得nk1时该命题也成立，现已知n5时命题不成立，那么可推得()A当n4时该命题不成立B当n6时该命题不成立C当n4时该命题成立D当n6时该命题成立答案A解析由命题及其逆否命题的等价性知选A.2等式122232n2(5n27n4)()An为任何正整数都成立B仅当n1,2,3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立答案B解析经验证，n1,2,3时成立，n4,5，不成立故选B.3用数学归纳法证明某命题时，左式为coscos3cos(2n1)(k，kZ，nN*)，在验证n1时，左边所得的代数式
2、为()A.B.cosC.coscos3D.coscos3cos5答案B解析令n1，左式cos.故选B.4已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A. B.C. D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2anan1an(n2)，当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4猜想an .故选B.5用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12 B12C13 D13答案B解析n2时1k1与归纳假设矛盾故选D.8用数学归纳法证明n
3、(n1)(2n1)能被6整除时，由归纳假设推证nk1时命题成立，需将nk1时的原式表示成()Ak(k1)(2k1)6(k1)B6k(k1)(2k1)Ck(k1)(2k1)6(k1)2D以上都不对答案C解析当nk1时，原式 (k1)(k2)(2k3)k(k1)(2k1)6(k1)2.故选C.9已知数列an，a11，a22，an12anan1(kN*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证()Aa4k1能被4整除 Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除 Da4k4能被4整除答案D解析在数列a4n中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k4.故选D.10凸n边形有f
4、(n)条对角线，则凸n1边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2答案C解析由凸n边形变为凸n1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n2)个顶点连成(n2)条对角线，同时，原来的凸n边形的那条边也变为对角线，故有f(n1)f(n)(n2)1.故选C.二、填空题11使不等式2nn21对任意nk的自然数都成立的最小k值为_答案5解析2532,52126，对n5的所有自然数n,2nn21都成立，自己用数学归纳法证明之12用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，待证表达式应为_答案1427k
5、(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)213用数学归纳法证明：12222n12n1(nN*)的过程如下：当n1时，左边201，右边2111，不等式成立；假设nk时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1时，12222k12k2k11，所以nk1时等式成立由此可知对任意正整数n，等式都成立以上证明错在何处？_.答案没有用上归纳假设解析由数学归纳法证明步骤易知其错误所在14设S112，S2122212，Sn122232n22212.用数学归纳法证明Sn时，第二步从k到k1应添加的项为_答案解析Sk1Sk.三、解答题15在数列an中，a1a21，当nN*时，满足an2an1an，且设bn
6、a4n，求证：bn的各项均为3的倍数证明(1)a1a21，故a3a1a22，a4a3a23.b1a43，当n1时，b1能被3整除(2)假设nk时，即bka4k是3的倍数则nk1时，bk1a4(k1)a(4k4)a4k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4k3a4k12a4k.由归纳假设，a4k是3的倍数，故可知bk1是3的倍数nk1时命题正确综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n，数列bn的各项都是3的倍数16给出四个等式：1114(12)14912314916(1234)猜测第n(nN*)个等式，并用数学归纳法证明解析第n个等式为：12223242(1)n1n2(1)n1 (123n)证明
7、：(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，等式成立(2)假设nk(kN*)时，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1.则当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.当nk1时，等式也成立根据(1)、(2)可知，对于任何nN*等式均成立17(2010江苏卷，23)已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cosA是有理数；(2)对任意正整数n，求证cosnA是有理数解析本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知c
8、osA 是有理数(2)用数学归纳法证明cosnA和sinAsinnA都是有理数当n1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinAsinA1cos2A也是有理数假设当nk(k1)时，coskA和cosAsinkA都是有理数当nk1时，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由和归纳假设，知cos(k1)A与sinAsin(k1)A都是有理数即当nk1时，结论成立综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数18首项为正数的数列an满足an1(a3
9、)，nN.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；(2)若对于一切nN，都有an1a1，求a1的取值范围解析(1)已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak1m(m1)1是奇数根据数学归纳法，对任何nN，an都是奇数(2)解法1：由an1an(an1)(an3)知，an1an当且仅当an3.另一方面，若0ak1，则0ak13，则ak13.根据数学归纳法，0a110an3an3，nN.综上所述，对一切nN都有an1an的充要条件是0a13.解法2：由a2a1，得a4a130，于是0a13.an1an，因为a10，an1，所以所有的an均大于0，因此an1an与anan1异号根据数学归纳法，nN，an1an与a2a1同号因此，对一切nN，都有an1an的充要条件是0a13.
