1、课时提能演练(十四)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.曲线y在点(1，1)处的切线方程为()(A)y2x1 (B)y2x1(C)y2x3 (D)y2x22.(2012宿州模拟)若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()(A)2 (B)0 (C)2 (D)43.ysinxtcosx在x0处的切线方程为yx1，则t等于()(A)1 (B)2 (C)1 (D)04.(2012汕头模拟)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()(A)4 (B) (C)2 (D)5.(2012杭州
2、模拟)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()(A)0，) (B)，)(C)(， (D)，)6.已知函数f(x)(1)ex(x0)，其中e为自然对数的底数.当a2时，则曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与坐标轴围成的面积为()(A)e (B)2e (C)3e (D)4e二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012哈尔滨模拟)等比数列an中，a11，a2 0124，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa2 012)，则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.8.若函数f(x)4lnx，点P(x，y)在曲线yf(x)上运动，作PMx轴，垂足为M，则POM(O
3、为坐标原点)的周长的最小值为.9.(易错题)函数yf(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lnyg(x)lnf(x)，两边求导数得g(x)lnf(x)g(x)，于是yf(x)g(x)g(x)lnf(x)g(x).运用此方法可以求得y (x0)的导数为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知函数f(x)满足如下条件：当x(1,1时，f(x)ln(x1)，且对任意xR，都有f(x2)2f(x)1.(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求当x(2k1,2k1，kN*时，函数f(x)的解析式.11.函数f(x)aex，g(x)lnxlna，
4、其中a为常数，且函数yf(x)和yg(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离.【探究创新】(16分)已知曲线Cn：ynx2，点Pn(xn，yn)(xn0，yn0)是曲线Cn上的点(n1,2，).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn).答案解析1.【解析】选A.因为y，所以，在点(1，1)处的切线斜率ky|x12，所以，切线方程为y12(x1)，即y2x1，故选A.2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f(1)为常数，先求出
5、f(1)，再求f(0).【解析】选D.f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(1)4.3.【解析】选A.ycosxtsinx，当x0时，yt，y1，切线方程为yxt，比较可得t1.4.【解析】选A.由题意知g(1)2，又f(x)g(x)2x，yf(x)在(1，f(1)处切线的斜率为f(1)g(1)24.5.【解析】选D.y，y1.当且仅当ex，即x0时，“”成立.又y0，1y0.倾斜角为，则1tan0，又0，)，故选D.6.【解析】选B.f(x)ex，当a2时，f(x)ex，f(1)e1e，f(1)e，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为yex2e，切线与x轴、
6、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0，2e)，所以，所求面积为2|2e|2e.7.【解析】f(x)(xa1)(xa2)(xa2 012)x(xa2)(xa3)(xa2 012)x(xa1)(xa3)(xa2 012)x(xa1)(xa2)(xa2 011)，f(0)(a1)(a2)(a2 012)(a1a2 012)1 00622 012，切线方程为y22 012x.答案：y22 012x【变式备选】已知函数f(x)，g(x)alnx，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.【解析】f(x)，g(x)(x0)，由已知得：，解得ae，xe2.两
7、条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，所以切线的方程为ye(xe2)，即x2eye20.8.【解析】f(x)(x0)，P(x，)，M(x,0)，POM的周长为x242(当且仅当x2时取得等号).答案：429.【解析】对yx(x0)两边取对数得lnylnx，两边求导得，yx(1lnx).答案：y(1lnx)10.【解析】 (1)x(1,1时，f(x)ln(x1)，f(x)，所以，函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0)，即yx. (2)因为f(x2)2f(x)1，所以，当x(2k1，2k1，kN*时，x2k(1,1，f(x)2f(x2)12
8、2f(x4)2123f(x6)22212kf(x2k)2k12k2212kln(x2k1)2k1.11.【解析】f(x)aex，g(x)，yf(x)的图象与坐标轴的交点为(0，a)，yg(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f(0)g(a)，即a.又a0，a1.f(x)ex，g(x)lnx，函数yf(x)和yg(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：xy10，xy10，两平行切线间的距离为.【方法技巧】求曲线的切线方程：求曲线的切线方程，一般有两种情况：(1)求曲线yf(x)在(x0，f(x0)处的切线，此时曲线斜率为f(x0)，利用点斜式可得切线方程为yf(x0)f(x0
9、)(xx0)；(2)求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，此时需要设出切点A(xA，yA)，表示出切线方程，再把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，解得xA，进而写出切线方程.【变式备选】已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab).(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程.(2)设x1，x2是f(x)0的两个根，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4.【解析】(1)当a1，b2时，f(x)(x1)2(x2)，因为f(x)(x1)(3x5)，故f(2)1，f(2
10、)0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为yx2.(2)因为f(x)3(xa)(x)，由于ab，故a.所以f(x)的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零点，故x3b.又因为a2(b)，所以x1，x4，x2，x3成等差数列.所以x4(a)，所以存在实数x4满足题意，且x4.【探究创新】【解析】(1)y2nx，y|2nxn，切线ln的方程为：ynx n 22nxn(xxn).即：2nxnxynx n 20，令x0，得ynx n 2，Qn(0，nx n 2).(2)设原点到ln的距离为d，则d，|PnQn|.所以，当且仅当14n2x n 2，即x n 2 (xn0)时，等号成立，此时，xn，所以，Pn(，).
