1、4简单计数问题1进一步理解计数原理和排列、组合的概念(重点)2能够运用原理和公式解决简单的计数问题(难点)基础初探教材整理简单计数问题阅读教材P18P21，完成下列问题1计数问题的基本解法(1)直接法：以_为考察对象，先满足_的要求，再考虑_(又称元素分析法)或以_为考察对象，先满足_的要求，再考虑_(又称位置分析法)(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数【答案】(1)元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置2解决计数问题应遵循的原则先_后一般，先_后排列，先_后分步，充分考虑元素的特殊性，进行合理的分类与分步【答案】特殊组合分类5个不同的球放入4个不同的
2、盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放入A盒，则不同放法总数是()A120B72C60D36【解析】分两类：第一类，A盒只有甲球，则余下4个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有C种，每一种有A种放法，共有CA种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，则有A种排法由分类加法计数原理，得共有放法总数CAA60种【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型排列问题某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1
3、日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种B960种C1 008种D1 108种【精彩点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工【自主解答】(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案ACA192种；(2)若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有ACA192种；(3)若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4ACA192种；若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有4ACCA432种所以共有1921921924321 008种【答案】C1本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁
4、不在特殊位置)进行讨论2较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法再练一题1由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是() 【导学号：62690018】A72B96C108D144【解析】第一步将2,4,6全排，有A种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有AA种；1,3,5均不相邻，有A种故总的排法为A(AAA)108种，故选C.【答案】C组合问题某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选
5、；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选【精彩点拨】这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素【自主解答】(1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人由分步乘法计数原理，得CC种(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人由分步乘法计数原理，得CC种(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共CC种，即C种(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有CCCC种，或CCC种(5)某3人可除外，故共有CC种，即C种(6)CCC种，即CC种解答组合应用题的总体思路1整体分类，对事件
6、进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理2局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理再练一题2将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A252种B112种C20种D56种【解析】不同的分配方案共有CCCCCCCC112(种)【答案】B探究共研型排列、组合的综合应用探究1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的
7、结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有C6(个)不同结果完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘探究2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有A210(个)不同结果这个问题属于排列问题完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除探究3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按
8、0是否在个位分类进行第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有ACCC30(种)不同的结果有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取(2
9、)采用先选后排的方法(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先选后排，有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA360种解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1按事情发生的过程进行分步2按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元
10、素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数再练一题3某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有()A16种B36种C42种D60种【解析】若选择了两个城市，则有CCA36种投资方案；若选择了三个城市，则有CA24种投资方案，因此共有362460种投资方案【答案】D构建体系1(2016长武高二检测)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选
11、派方案种数为()A14B24C28D48【解析】(间接法)：6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C.所以至少有1名女生的选派方案有CC14(种)【答案】A2在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有()A6个B9个C12个D18个【解析】由题意知，所求三位数只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有AA12(个)【答案】C36个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答). 【导学号：62690019】【解析】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A种方法，然后把甲、乙两人插
12、入4个人的5个空位，有A种方法，所以共有：AA480.【答案】4804将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)【解析】有CCA36种满足题意的分配方案其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数【答案】365车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法【解】法一：设A，B代表两名老师傅A，B都不在内的选派
13、方法有：CC5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：CCC10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：CCC30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：CACC80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：CCC20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：CCC40(种)所以共有CCCCCCCCCACCCCCCCC185(种)选派方法法二：5名钳工有4名被选上的方法有：CC75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：CCC100(种)；5名钳工有2名被选上的方法有：CCC10(种)所以一共有7510010185(种)选派方法我还有这些不足：(1)(2)我的课下提
14、升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为()ACCBCACCACADAA【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种故有CA种【答案】B2某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有()A22种B56种C210种D420种【解析】按第一种方法有CC种不同的搭配方法，按第二种方法共有CC种不同的搭配方
15、法，故共有CCCC621421210种搭配方法，故答案选C.【答案】C3将A，B，C，D四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有()A15B18C30D36【解析】间接法，所有的不同放法有CA种A，B两球在同一个盒子中的放法种数为3A，满足题意的放法种数为CA3A663236630.【答案】C4某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为()A360B520C600D720【解析】当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数
16、为2CA480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为AA120，则不同的发言顺序的种数为480120600，故选C.【答案】C5在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A23个B24个C18个D6个【解析】各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有ACA24个【答案】B二、填空题6现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有_种. 【导学号：62690020】【解析】6位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选2人去B风景区，有C种，余下
17、2人去C，D风景区，有A种，所以分配方案共有CCA180(种)【答案】1807用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答)【解析】分两种情况：第一类：个、十、百位上各有一个偶数，有CACAC90个；第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，有CACCCAC234个共有90234324个【答案】3248某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种为_种(结果用数值表示)【解析】在5种不
18、同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是C10.因选择方式至少为200种，设素菜为x种，则有CC200.即20，化简得x(x1)40，解得x7.所以至少应准备7种素菜【答案】7三、解答题93名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上，有A种方法，在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志，有C种方法，还有2名女同志有A种安排方法共有ACA432种安排方法(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种分法，将4组安排到4辆车上有A种方法共有CCA2
19、16种安排方法10按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球【解】(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有464 096种不同放法(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有CCACCA1 560(种)不同放法(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有CC10(种)不同放法法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将
20、6个球分成四份，共有C10(种)不同放法能力提升1(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个B120个C96个D72个【解析】分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数故符合条件的偶数共有2ACA120(个)【答案】B2从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有()A240种B180种C120种D60种【解析】取一
21、双同色手套有C种取法，在剩下的5双手套中取2只不同色的手套，有C22种取法，由分步乘法计数原理知，恰好有一双同色手套的取法有CC22240种【答案】A3(2016孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有_种【解析】若用三种颜色，有CA种染法，若用四种颜色，有5A种染法，则不同的染色方法有CA5A240(种)【答案】2404已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CAA种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法所以共有不同测试方法AAA103 680种(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法CCA576种
