1、习题课(2)限时：45分钟 总分：100分一、选择题(每小题5分，共40分)1抛物线y22px(p0)上一点M到焦点的距离是a(a)，则点M的横坐标是(B)AaBaCap Dap解析：由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x的距离，所以点M的横坐标，即点M到y轴的距离为a.2若抛物线y24x上一点P到焦点F的距离为10，则P点坐标为(B)A(9,6) B(9，6)C(6,9) D(6，9)解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线为x1.P到F的距离为10，设P为(x，y)，x110，x9.又P在抛物线上，y236，y6，P点坐标为(9，6)3动圆M经过点A(8,0)且与直线
2、l：x8相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(A)Ay232x By28xCy28x Dy29x解析：由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以A为焦点，直线l为准线的抛物线，因此p16，故抛物线方程为y232x.4到定点(3,5)与定直线2x3y210的距离相等的点的轨迹是(D)A圆 B抛物线C线段 D直线解析：点(3,5)在直线2x3y210上，符合条件的点的轨迹是过点(3,5)且与直线2x3y210垂直的直线5设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(C)A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解析：设圆
3、的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y2，由圆与准线相交知416，所以8y0(y02)216，即y4y0120，解得y02或y02，故选C.6过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为(C)A45 B60C90 D120解析：设抛物线方程为y22px(p0)，如图|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOFA1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90.7如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线
4、上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是(A)A.B.C.D.解析：由题可知抛物线的准线方程为x1.如图所示，过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则.8已知点P为抛物线y22px(p0)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴的切点为点Q，则点Q(B)A位于原点的左侧 B与原点重合C位于原点的右侧 D以上均有可能解析：设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B，如图由抛物线的定义知|PC|PF|，由切线性质知|PA|PB|，于是|AC|BF|.又|AC|DQ
5、|，|BF|FQ|，所以|DQ|FQ|，而|DO|FO|，所以O，Q重合，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p2，准线方程为x1.解析：因为抛物线y22px的焦点坐标为，准线方程为x，所以p2，准线方程为x1.10抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是2.解析：抛物线y22x的焦点为F，准线方程为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|BF|x1x25，解得x1x24，故线段AB的中点的横坐标为2，故线段AB的中点到y轴的距离是2.11平面上一机器人在行进中始终保持与点F
6、(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是(，1)(1，)解析：依题意可知，机器人行进的轨迹方程为y24x.由题意知直线的斜率存在，且不为0，设斜率为k，则直线方程为yk(x1)(k0)，联立消去y，得k2x2(2k24)xk20.由(2k24)24k41，解得k1.12已知AB为抛物线yx2上的动弦，且|AB|a(a为常数且a1)，则弦AB的中点M离x轴的最近距离为(2a1)解析：如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A，M，B.由抛物线的定义，|AF|AA|y1，|BF|
7、BB|y3.所以y1|AF|，y3|BF|.又M是线段AB的中点，所以y2(y1y3)(2a1)，等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦又|AB|a1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，所以中点M到x轴的最近距离为(2a1)三、解答题(共40分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤)13(12分)已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心M的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y
8、.14(13分)已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为(，0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)设点A的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出df(a)的函数表达式解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2(x)2y2(x)22x(x)2.因为x0，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，所以当x0时，|PA|min，故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)，最短距离是.(2)同(1)求得d2(xa)2y2(xa)22xx(a1)2(2a1)当a10，即a1时，d2a1，解得dmin，此时xa1；当a10，即a0)上的两点，并满足OAOB，求证：A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值证明：因为AB斜率不为0，设直线AB方程为myxb，由消去x，得y22pmy2pb0.由(2pm)28pb0，又y1y22pm，y1y22pb，又OAOB，x1x2y1y20.y1y20.b22pb0.b2p0.b2p.y1y24p2，x1x2b24p2.A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p2和4p2.
