1、课时素养评价十二复数的乘方与除法运算 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020新高考全国卷)=()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.=-i.2.若将复数表示为a+bi(a,bR,i是虚数单位)的形式,则a+b=()A.0B.1C.2D.-1【解析】选B.因为=i,=a+bi,所以a=0,b=1,所以a+b=1.3.若z2+z+1=0,则z2 017+z2 018+z2 020+z2 021的值为()A.2B.-2C.-+iD.-i【解析】选B.因为z2+z+1=0,两边同乘(z-1),得z3-1=0,所以z3=1(z1),则z4=z,z2 017=(z3)67
2、2z=z,于是原式=z2 017(1+z+z3+z4)=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.4.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选D.由题意,得z=-1-i.5.已知复数z满足:(1-i)z=4+2i(i为虚数单位),则z的虚部为()A.1B.3C.3iD.-3【解析】选B.因为(1-i)z=4+2i,所以z=1+3i,所以虚部为3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知i为虚数单位,若复数z=+i(aR)的实部与虚部互为相反数,则a=_;=_.【解析】z=+i=+i=+i,因为复数z=+i(aR)的
3、实部与虚部互为相反数,所以-=,解得a=-.z=-+i,所以=-i.答案:- -i7.已知复数z=,则z=_.【解析】z=-+,所以=-,于是z=.答案:8.设a是实数,且R,则实数a=_.【解析】因为R,所以不妨设=x,xR,则1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有所以a=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算下列各题:(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).(2)+5+i2-.(3)(+i)5+.【解析】(1)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=2(11-7i)+25(
4、1-i)=47-39i.(2)原式=+5+i2-=i+5-1-i=i+4-i=4.(3)原式=-i()5(1+i)22(1+i)+i7=16(-1+i)-i=-+(16-1)i.10.复数z=,若z2+0,求纯虚数a.【解析】z=1-i.因为a为纯虚数,所以可设a=mi(m0),则z2+=(1-i)2+=-2i+=-+i0,所以解得m=4,所以a=4i. (20分钟40分)1.(2020全国卷)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i【解析】选A.(1-i)4=(-2i)2=-4.2.(5分)定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z=()A.3+iB.3-iC.1+3iD.
5、-1+3i【解析】选B.由定义知zi+z=4+2i,所以z=3-i.3.(5分)已知复数z=是纯虚数,则=_.【解析】=(tan -)+i,因为z=是纯虚数,所以tan -=0,所以=k+(kZ).答案:k+(kZ)4.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=_.【解析】因为zi=1+i,所以z=+1=1-i.所以z2=(1-i)2=1+i2-2i=-2i.答案:-2i5.(10分)计算:(1).(2)+.【解析】(1)=.(2)原式=+=+=i+i=2i.6.(10分)已知z2=8+6i,求z3-16z-.【解题指南】要求z3-16z-的值,应先求出复数z,再代入求解.【解析】设z=a+bi(a,bR),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=8+6i,所以解得或当z=3+i时,z3-16z-=(z2-16)z-=(-8+6i)(3+i)-=-30+10i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,z3-16z-=(z2-16)z-=(-8+6i)(-3-i)+=30-10i+30-10i=60-20i.综上所述,z3-16z-=-60+20i或z3-16z-=60-20i.
