1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念ab2.f(x)0有实根与yf(x)有零点的关系bc3.函数零点的判定bc知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系2熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1零点的定义对于函数yf(x)，把f(x)0的实数x，叫做函数yf(x)的零点函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零2方程的根与函数零点的关系知识点二函数零
2、点的判定函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1,0)(x2,0)()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()答案：(1)(2)(3)2函数y3x2
3、的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A.；B.；C； D.；解析：令3x20，则x，函数y3x2的图象与x轴的交点坐标为，函数零点为.答案：B3函数f(x)ln (x1)的零点所在的一个区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：f(1)ln 220，f(1)f(2)0，函数f(x)的一个零点区间为(1,2)答案：B4函数f(x)x3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3解析：f(x)x(x1)(x1)，令x(x1)(x1)0，解得x0，x1，x1，即函数的零点为1,0,1，共3个答案：D类型一函数零点的概念及求法例1(1)下列图象表示的函数中没有零点的是()(2)判
4、断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出f(x)x24x4；f(x)4x5；f(x)log3(x1)【解析】(1)由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点(2)令x24x40，解得x2，所以函数的零点为x2.令4x50，则4x50，即方程4x50无实数根，所以函数不存在零点令log3(x1)0，解得x0，所以函数的零点为x0.【答案】(1)A(2)见解析(1)由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点(2)求函数对应方程的根即为函数的零点方法归纳函数零点的求法求函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画
5、出函数yf(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练1若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点解析：由题意知f(3)0，即(3)23a0，a6.所以f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.由函数f(x)的零点是3，得f(3)0，求a.类型二确定函数零点的个数例2(1)函数f(x)x2的零点个数为()A0 B1 C2 D3(2)判断函数f(x)x3ln x的零点个数【解析】(1)令f(x)0得x20，设t(t0)，则t2t20，解得t2或t1(舍)故2即x4，因此方程f(x)0有一个根4，所以函数f(
6、x)有一个零点(2)令f(x)x3ln x0，则ln xx3，在同一平面直角坐标系内画出函数yln x与yx3的图象，如图所示：由图可知函数yln x，yx3的图象只有一个交点，即函数f(x)x3ln x只有一个零点【答案】(1)B(2)见解析思路一：解方程求零点，方程f(x)0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数方法归纳判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数(2)图象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在
7、同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法：函数yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点跟踪训练2f(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3解析：方法一方程x20(x0)的根为x1，所以函数f(x)有2个零点2与1.方法二画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点答案：C解决分段函数的零点个数
8、问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围类型三判断函数的零点所在的大致区间例3设x0是函数f(x)ln xx4的零点，则x0所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【解析】因为f(2)ln 224ln 22ln e10，f(2)f(3)0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)【答案】C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断
9、(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点跟踪训练3函数f(x)2x1x5的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析：f(2)221250，故f(2)f(3)0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)2x1x5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)答案：C利用f(a)f(b)0时，由f(x)2ln x0得xe2.所以函数的零点个数为2.答案：B4若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2 B0，C0， D2，解析：2ab0，g(x)
10、2ax2axax(2x1)零点为0和.答案：C5函数f(x)xlog2x的零点所在区间为()A. B.C. D.解析：因为flog20，所以ff0，故函数f(x)xlog2x的零点所在区间为.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点解析：方法一f(1)123118200，f(1)f(8)0，又 f(x)x23x18在区间1,8上的图象是连续的，故f(x)x23x18在区间1,8上存在零点方法二令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18在区间1,8上存在零点答案：存在7
11、已知函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_解析：由题意知，方程x2axb0的两根为2、3，即a5，b6，方程bx2ax16x25x10的根为、，即为函数g(x)的零点答案：，8已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_解析：由题意f(1)f(0)0.a(2a)0.2a0.答案：(2,0)三、解答题(每小题10分，共20分)9判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.解析：(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3.(2)令x
12、22x40，由于2244120，f(1)40，所以在(3，1)内必有根，又由f(2)40，所以在(2,4)内必有根答案：A12函数f(x)ln xx23的零点的个数是_解析：方法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点从而ln xx230有一个根，即函数f(x)ln xx23有一个零点方法二因为f(1)2，f(2)ln 210.所以f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f
13、(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个答案：113函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，求实数a的取值范围解析：由f(x)0得a12|x|x2，因为函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，所以函数ya1与y2|x|x2的图象有四个交点，画出函数y2|x|x2的图象，如图所示，观察图象可知， 0a11，所以1a2.即a的取值范围为(1,2)14已知二次函数f(x)x22ax4，在下列条件下，求实数a的取值范围(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内解析：(1)因为方程x22ax40的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2a.即a的取值范围为.(2)因为方程x22ax40的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)52a.即a的取值范围为.(3)因为方程x22ax40的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得 a.即a的取值范围为.- 10 - 版权所有高考资源网
