1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。32双曲线32.1双曲线的标准方程必备知识自主学习导思1.双曲线的定义是什么？2双曲线的标准方程有哪些？1.双曲线的定义(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合语言：PM|MF1MF2|2a，02ab.()提示：(1).双曲线中b2c2a2，椭圆中b2a2c2.(2).因为AB2ACBC，所以
2、C点的轨迹是两条射线(3).在双曲线1中，焦点在x轴上，且a0，b0，但是不一定ab.2(教材例题改编)设动点M到点A的距离与它到点B的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是()A1B1C1D1【解析】选C.因为|MAMB|60).(3)判断：若2a2cF1F2，满足定义，则动点M的轨迹就是双曲线，且2cF1F2，b2c2a2，进而求出相应a，b，c.(4)根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程2求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1PF2|2a；利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出PF1PF2的值
3、；利用公式SPF1F2PF1PF2sin F1PF2求得面积(2)方法二：利用公式SPF1F2F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1PF2|2a的变形使用，二是特别注意PFPF与PF1PF2的关系类型二待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算)【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦距为26，且经过点M(0，12)；(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，4)，.【思路导引】(1)判断焦点的位置，由c和a的大小，利用b2c2a2求得b，写出方程(2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程【解析】
4、(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，所以c13，所以b2c2a225.所以双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得所以双曲线的标准方程为1.把本例(2)的条件改为“双曲线过P，Q两点”，求双曲线的标准方程【解析】若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，所以解得(舍去).若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y
5、轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k0，b0).则有解得所以所求双曲线的标准方程为y21.2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)c5，b3，焦点在x轴上；(2)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上【解析】(1)因为双曲线的焦点在x轴上，c5，b3，所以a2c2b216，所以双曲线的标准方程为：1.(2)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，因为由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以所以解得a220，b216，所
6、以所求双曲线的标准方程为1.类型三利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)【典例】1.若方程1表示双曲线，则m的取值范围是()Am4 Bm9C4m9 Dm4或m9【思路导引】1.根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9m和4m异号，进而求得m的范围【解析】1.选C.因为方程1表示双曲线，所以(9m)(4m)0，解得4m9.2已知方程1表示双曲线，则k的取值范围是_.【思路导引】2方程1表示双曲线，则1k和1k同号，进而求得k的范围【解析】2方程1表示双曲线，则(1k)(1k)0，所以(k1)(k1)0，所以1k1.答案：(1，1)方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程1，当mn0
7、，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时表示焦点在y轴上的双曲线(2)对于方程1，当mn0时表示双曲线，且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围求满足下列条件的参数的值(1)已知双曲线方程为2x2y2k，焦距为6，求k的值；(2)椭圆1与双曲线1有相同的焦点，求a的值【解析】(1)若焦点在x轴上，则方程可化为1，所以k32，即k6；若焦点在y轴上，则方程可化为1，所以k32，即k6.综上所述，k的值为
8、6或6.(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2a2(a0).由椭圆方程，知c24a2，所以a24a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去).因此a的值为1.备选类型与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在ABC中，已知AB4，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0).由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径).因为2sin
9、Asin C2sin B，所以2BCAB2AC，即ACBC2a)，因为a，c2，所以b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x).求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支ABC的顶点为A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A1B1C1(x3) D1(x4)【解析】选C.由条件可得，圆与x轴的切点为T(3，0)，由相切的性质得CACBTATB82610AB，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
10、的右支由2a6，2c10，得a3，b4，所求的双曲线方程为1.考虑到点C不在直线AB上，即x3.课堂检测素养达标1若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A1m1Cm3 Dm0，即m1.2已知F1(8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1PF210，则点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C直线 D一条射线【解析】选D.F1，F2是定点且F1F210，所以满足条件PF1PF210的点P的轨迹应为一条射线3已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：y21(a0)过点，点P在双曲线C上，若PF13，则PF2()A3 B6 C9 D12【解析】选C.由左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：y
11、21(a0)过点，可得：1，解得a3，b1，c，ac3，点P在双曲线C上，若PF13，可得点P在双曲线的左支上，则PF22aPF1639.4已知双曲线的方程为x21，如图，点A的坐标为(，0)，B是圆x2(y)21上的点，点M在双曲线的右支上，则MAMB的最小值为_.【解析】设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得MAMD2a2.所以MAMB2MBMD2BD，又B是圆x2(y)21上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故BDCD11，从而MAMB2BD1，当点M，B在线段CD上时取等号，即MAMB的最小值为1.答案：1关闭Word文档返回原板块- 15 - 版权所有高考资源网
