1、数学试卷一、选择题（每题只有一个正确答案）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义计算【详解】由题意故选：B【点睛】本题考查交集运算，属于简单题2. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法法则化简即可得解.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查利用复数的乘法法则化简计算，考查计算能力，属于基础题.3. 双曲线 的焦距是（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的方程可以求出、的值，再利用求出得值，即可求出焦距【详解】由得，所以，可得，所以焦距，故选：D【点睛】本题主要考查了由双曲线的方程求双
2、曲线的焦距，属于基础题.4. 西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过西游记的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70100=0.7故选C【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运
3、算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题5. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面.在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬40，则晷针与点处的水平面所成角为（ ）A. 40B. 50C. 80D. 90【答案】A【解析】【分析】过晷针和球心作截面，在截面中表示赤道平面，表示水平面，是晷针，由题意，由平面几何知识可得【详解】如图，过晷针和球心作地球的截面，表示赤道平面，表示水平面，是晷针，由题意，故选：A【点睛】本题考
4、查直线与平面所成的角，解题关键是读懂题意，作出图形，通过图形得出结论考查了学生的空间想象能力6. 已知与均为单位向量，若，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件算出，再由向量夹角公式求解即可.【详解】，与夹角为.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的垂直，向量的数量积的计算，向量的夹角求解等问题.7. 有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法为（ ）A. 6种B. 12种C. 36种D. 72种【答案】C【解析】【分析】4名同学中选2名作为一人，共3人分到三个小区即可【详解】由题意不同的安排方法
5、是故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件方法8. 设定义在上的奇函数满足（），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据奇函数求得函数的解析式，解不等式，再解即可.【详解】因为（），且是上的奇函数，故，当时，则，故故不等式即或或，或，故不等式的解为或，或，即解集为.故选：D.【点睛】本题考查了利用奇偶性求函数解析式，考查了解分段函数不等式，属于中档题.二、选择题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）9. 某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：
6、公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期在10月份D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】CD【解析】【分析】根据折线图对每一个选项作出判断即可.【详解】由折线图可知：月跑步平均里程数按从小到大的顺序排列，可得的中位数为5月份对应的里程数，故选项A不正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故选项B不正确；月跑步平均里程高峰期在10月份，故选项C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选项
7、D正确；故选：CD【点睛】本题主要考查了统计中的折线图，属于基础题.10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A. 在上的最小值为B. 在上的最小值为-1C. 在上最大值为D. 在上的最大值为1【答案】AD【解析】【分析】根据函数图象的平移可得，结合正弦函数的图像和性质可求最值.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数,故选AD.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.11. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质及对数函数、指数函数的性质判断【详解】，A正确；，B正确；，C正确；若，
8、满足条件，但，D错误故选：ABC【点睛】本题考查不等式的性质，对数函数、指数函数的性质，对错误的命题可举一反例说明12. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.下列正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则随着的增大而增大C. 若，则随着的增大而增小D. 若，随机变量所有可能的取值为，且，则【答案】AD【解析】【分析】当时，可得，由题中定义可求得的值，可判断A选项的正误；当时，可得出，利用特殊值法可判断B选项的正误；利用对数函数的单调性可判断C选项的正误；求得和的表达式，利用对数函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，则，A选项正确；对于B
9、选项，当时，则，其中，.当时，；当时，.两者相等，B选项错误；对于C选项，若，则，所以，随着的增大而增大，C选项错误；对于D选项，若，随机变量所有可能的取值为，且，所以，则，所以，D选项正确.故选：AD.【点睛】本题考查新定义问题，考查随机变量的概率相关命题正误的判断，考查对数函数的单调性的应用，属于中等题.三、填空题（本题共4小题）13. 函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 已知是等差数列，则的前项和为_.【答案】【解析】【分析】由基本量法求出和
10、公差，再根据等差数列前项和公式计算【详解】设公差，则，解得，故答案为：【点睛】本题考查求等差数列的前项和，解题方法是基本量法15. 已知点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是_【答案】2【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F（1，0），利用抛物线的定义，即可求点M到抛物线C焦点的距离【详解】由点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p0）上，可得4=2p，p=2， 抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0）， 则点M到抛物线C焦点的距离是：1+1=2， 故答案为2【点睛】本题考查抛物线的标准方程及抛物线的定义，考查计算能力，属于
11、基础题16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为_【答案】【解析】【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为，则，解得
12、，故答案为：【点睛】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长四、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据
13、选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件的解析：据此可得：，此时.选择条件的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件的解析：可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：, ，,若选，,c=1;若选，,则,;若选,与条件矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围
14、18. 已知公比大于1的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等比数列的基本量法求得和公比，得通项公式；（2）由等比数列前项和公式计算【详解】（1）设公比为，则由题意得，；（2）由（1）得，【点睛】本题考查等比数列通项公式和前项和公式，解题方法是等比数列的基本量法19. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由线面垂直得线线垂直.，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直；（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标
15、系，用空间向量法求二面角【详解】解：（1）由已知得，平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由题设知，所以，故，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即所以可取得.设平面的法向量为，则即所以可取，得.于是.所以，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角求得二面角20. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级1（优）2162
16、52（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：，【答案】（1）350；（2）表格见解析，有95%的把握.【解析】【分析】（1）写出各锻炼人次区间对应的频数，利用所给的平均数求法求解；（2）先根据题目中给的数据补
17、充22列联表，利用公式求出，再与临界值比较即可.【详解】解：（1）锻炼人次为的有天，锻炼人次为的有天，锻炼人次为有天，一天中到该公园锻炼平均人次的估计值为.（2）根据所给数据，可得22列联表：人次400人次400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得.因为， 由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题主要考查了利用频率分布表计算平均数，同时也考查了独立性检验的应用，属于基础题.21. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【答案】（1）（2）或【解析
18、】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.将代入得所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思
19、想，考察学生的计算能力，难度较大22.已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；（2）因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
