1、第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点2考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题3题型主要以解答题的形式出现，属中高档题.知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二
2、次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0)的准线为l，l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|4，则a.解析：抛物线yax2(a0)的准线l：y，双曲线y21的两条渐近线分别为yx，yx，可得xA，xB，可得|AB|4，解得a.(4)(2020福州市模拟)如图，已知抛物线y28x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆(x2)2y21于A，B，C，D四点，则|AB|4|CD|的最小值为13.解析：抛物线y28x的焦点F(2,0)，圆(x2)2y21的圆心为(2,0)，与抛物线的焦点重合，且半径为1，设A(x1，y1)，D(x2，y2
3、)，因为直线AD过焦点F，所以x1x24，则|AB|4|CD|(|AF|1)4(|DF|1)|AF|4|DF|5(x12)4(x22)5x14x25252513，当且仅当x14x2，即x14，x21时取“”故|AB|4|CD|的最小值为13.第1课时最值、范围、证明问题考点一最值问题【例1】(2020宁夏银川一中月考)椭圆1(ab0)的焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，直线l：xa2交x轴于点A，且2.(1)试求椭圆的方程；(2)过点F1，F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值【解】(1)由题意知，|F1F2|2
4、c2，A(a2,0)，2，F2为线段AF1的中点，则a23，b22，则椭圆方程为1.(2)当直线DE与x轴垂直时，|DE|，此时|MN|2a2，四边形DMEN的面积S4.同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S4.当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE：yk(x1)(k0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，代入椭圆方程，消去y可得(23k2)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2，|x1x2|，|DE|x1x2|.同理|MN|，四边形DMEN的面积S，令uk2，则S4.uk22，当k1时，u2，S，且S是以u为自变量的增函数，则S4.综上可知，S4，故四边形DMEN面
5、积的最大值为4，最小值为.方法技巧处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.1在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.解析：双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得
6、c，故c的最大值为.2(2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解：(1)证明：设P(x0，y0)，Ay，y1，By，y2.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因为x1(x00)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|2x0.(1)求抛
7、物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x3)2y2r2(0r)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围【解】(1)由抛物线定义，得|PF|x0，由题意得，解得所以抛物线C的方程为y24x.(2)由题意知，过P引圆(x3)2y2r2(02，所以9b0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解：(1)由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由得x
8、22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M(1，)，直线1与y轴交于P(0,2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，|PM|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，(1)，k2，b0)的离心率为，F为该椭圆的右焦点，过点F任作一直线l交椭圆于M，N两点，且|MN|的最大值为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C
9、的左顶点为A，若直线AM，AN分别交直线x2a于P，Q两点，求证：PFQF.【解】(1)依题意知2a4，即a2，c1，所以b2a2c23，所求椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)知A(2,0)，F(1,0)()当直线l的斜率不存在时，不妨取M，N，直线AM：y(x2)，所以P(4,3)同理Q(4，3)，所以(3,3)，(3，3)，所以0，所以PFQF.()当直线l的斜率存在时，设直线l：yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(4，y3)，Q(4，y4)由得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1x2，x1x2.由A，M，P三点共线得y3，同理y4，所以P，Q，所以，所以9
10、9990，所以PFQF.综上，PFQF.方法技巧圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明，但有时也会用到反证法.在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为，以线段MF为直径的圆与x轴相切(1)求点M的轨迹E的方程；(2)设T是E上横坐标为2的点，OT的平行线l交E于A，B两点，交曲线E在T处的切线于点N，求证：|NT|2|NA|NB|.解：(1)设点M(x，y)，因为F，所以MF的中点坐标为.因为以线段MF为直径的圆与x轴相切，所以，即|MF|，故 ，得x22y，所以M的轨迹
11、E的方程为x22y.(2)证明：因为T是E上横坐标为2的点，所以由(1)得T(2,2)，所以直线OT的斜率为1.因为lOT，所以可设直线l的方程为yxm，m0.由yx2，得yx，则曲线E在T处的切线的斜率为y|x22，所以曲线E在T处的切线方程为y2x2.由得所以N(m2,2m2)，所以|NT|2(m2)22(2m2)225m2.由消去y，得x22x2m0，由48m0，解得m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，x1x22m.因为N，A，B在l上，所以|NA|x1(m2)|，|NB|x2(m2)|，所以|NA|NB|2|x1(m2)|x2(m2)|2|x1x2(m2)(x1x2)(m2)2|2|2m2(m2)(m2)2|2m2，所以|NT|2|NA|NB|.
