1、4.2.2圆与圆的位置关系42.3直线与圆的方程的应用填一填1.圆与圆的位置关系及判断方法位置关系内(外)切相交外离内含公共点个数1200判断方法几何法：设两圆O1，O2的半径分别为r1，r2|O1O2|r1r2或|O1O2|r1r2|r1r2|O1O2|r1r2|O1O2|r1r2|代数法：由消元得到一元二次方程00002.直线与圆的方程的应用直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用，用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻
2、译”成几何结论.判一判1.如果两个圆无公共点，那以这两个圆外离()2两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交()3两圆内切或外切时，切点和两个圆的圆心共线()4若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立()5用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建()6圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|OM|.()7已知点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1x2，y1y2，则PQ与x轴垂直()8若圆x2y24与圆x2y22axa210内切，则a1.()想一想1.两圆位置关系的判断方法及步骤是什么？提示：2公共弦长的求法有哪些？提示：(1)代数法：将两圆的方程联立，解
3、出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解3用坐标法解决几何问题应按照怎样的思路进行？提示：要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论4利用坐标法求解几何问题要注意什么？提示：(1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素坐标或
4、方程尽量简单思考感悟：练一练1.圆x2y22x0和圆x2y24y0的位置关系是()A相离B外切C相交 D内切答案：C2圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为()Axy10 B2xy10Cx2y10 Dxy10答案：A3以(3，4)为圆心，且与圆x2y264内切的圆的方程是_答案：(x3)2(y4)29或(x3)2(y4)21694若圆O1：x2y24与圆O2：(xa)2y21外切，则a_.答案：35已知圆C1：(x2)2(y1)210与圆C2：(x6)2(y3)250交于A，B两点，则AB所在的直线方程是_答案：2xy0知识点一圆与圆位置关系的
5、判断1.两圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是()A相离B相交C内切 D外切解析：把x2y28x6y90化为(x4)2(y3)216，又x2y29，所以两圆心的坐标分别为(4，3)和(0,0)，两半径分别为R4和r3，则两圆心之间的距离d5，因为43543即RrdRr，所以两圆的位置关系是相交答案：B2已知以C(4,3)为圆心的圆与圆x2y21外切，则圆C的方程为_解析：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x4)2(y3)2r2.由题意得两圆圆心距d5，因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，即5r1，解得r4.故圆C的方程为(x4)2(y3)216.答案：(x4)2(y3)216
6、知识点二两圆位置关系的综合应用3.两圆x2y24x4y0和x2y22x120的公共弦方程为()Ax2y60 Bx3y50Cx2y60 Dx3y80解析：两圆方程相减即得答案：C4已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.试判断两圆的位置关系；若两圆相交，求公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长解析：因为圆C1：x2y22x10y240可化为(x1)2(y5)250，圆C2：x2y22x2y80可化为(x1)2(y1)210.则圆C1：圆心(1，5)，半径r15，圆C2：圆心(1，1)，半径r2.又|C1C2|2(5，5)，所以两圆相交所以两圆的公共弦所在的直线方程为(x2y22x2y
7、8)(x2y22x10y24)0，即x2y40.在圆C1中，圆心C1(1，5)到直线x2y40的距离d3，所以公共弦长为222.知识点三直线和圆的方程的应用5.装修房间时，准备在过道顶部设计如图所示的圆弧造型(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出圆弧所在圆的方程；(2)现有一个长方体形的冰箱，其长、宽、高分别为100 cm，80 cm,180 cm，用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道？解析：(1)如图，以AD所在直线为x轴，以AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则点F(60,160)设圆的方程为x2y(200r)2r2(r0)，因为点F在圆上，所以602160(200r)2r2(r0)，
8、解得r65，故圆的方程为x2(y135)24 225.(2)当y180时，x2(180135)2652，解得x22 200402，故冰箱可以通过此过道6已知隧道的截面是半径长为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解析：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2y216(y0)将x2.7代入，得y3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度因此，货车不能驶入这个隧道将xa代入x2y
9、216(y0)，得y，所以货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为 m.综合知识圆与圆位置、直线与圆方程的应用7.已知圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，两圆外切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r122(1)，圆O2的方程是(x2)2(y1)24(1)2.(2)由题意，设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x4yr80.圆心O1(0，1
10、)到直线AB的距离为，解得r4或20.圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.8一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西方向70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北方向40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它在返回港口的途中是否会受到台风的影响？解析：以台风中心为坐标原点，东西方向为x轴，建立平面直角坐标系(如右图所示)，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y2302，港口所对应的点的坐标为(0,40)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(70,0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x
11、7y2800，圆心O(0,0)到l：4x7y2800的距离d，因为30，所以直线l与圆相离故轮船返回港口的途中不会受到台风的影响基础达标一、选择题1两圆(x3)2(y2)21和(x3)2(y6)2144的位置关系是()A相切B内含C相交 D外离解析：因为两圆的圆心距d1012111，所以两圆内含答案：B2半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程为()A(x4)2(y6)26 B(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236 D(x4)2(y6)236解析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，且圆心在x轴上方设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b6，再由5，可以解得a4，故
12、所求圆的方程为(x4)2(y6)236.答案：D3圆：x2y24x6y0和圆：x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70解析：由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线答案：C4圆x2y24x2y10与圆x2y24x4y40的公切线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：由题意，得两圆的标准方程分别为(x2)2(y1)24和(x2)2(y2)24，圆心距d5.522，两圆相离，公切线有4条答案：D5一束光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路程是()A31 B2C4 D5解析：设点A关于x
13、轴的对称点为B(1，1)，由图知，要求的最短距离为BCr，即14.答案：C6已知圆C：x2y21，点A(2,0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是()A(，1)(1，)B(，2)(2，)C.D(，4)(4，)解析：过点A作C的两条切线y(x2)令x2，则y1，y2.当ay1或ay2时，光线不被C挡住答案：C7已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x
14、轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.答案：A二、填空题8过两圆x2y22y40与x2y24x2y0的交点，且圆心在直线l：2x4y10上的圆的方程为_解析：设所求圆的方程为x2y24x2y(x2y22y4)0，则(1)x24x(1)y2(22)y40，把圆心坐标代入直线l的方程：2x4y10，可得，故所求圆的方程为x2y23xy10.答案：x2y23xy109圆C1：x2y22x6y10与圆C2：x2y24x2y110的公共弦的弦长为_解析：两圆相交弦所在的直线方程为3x4y60，圆x2y22x6y10的圆心到直线
15、3x4y60的距离d，所以弦长为22.答案：10已知圆x2y24x6y120，过点(1,0)的最长弦长为L，最短弦长为l，那么Ll的值为_解析：最长弦为过点(1,0)的直径，最短弦为过点(1，0)，且和最长弦垂直的线段圆的方程为(x2)2(y3)225，则圆心为C(2，3)，半径r5，点A(1,0)在圆内，当过A(1,0)的弦是直径时最长，L2r10，当过A(1,0)的弦与AC垂直最短，此时L22，Ll102.答案：10211两圆x2y22x4y30与x2y24x2y30上的点之间的最短距离是_解析：由x2y22x4y30得(x1)2(y2)22，由x2y24x2y30得(x2)2(y1)22
16、，两圆圆心距为32.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3.答案：12点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，则|PQ|的最小值是_解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(2，1)，半径是2.圆心距d3.所以，|PQ|的最小值是35.答案：35三、解答题13试分别确定圆C1：x2y24x6y120与C2：x2y22x14yk0(k50)外切、内切、相交、内含、外离时，k的取值范围解析：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)2
17、1，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2,3)，半径长r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2(k50)从而圆心距d5.当两圆内切时，d|r1r2|，即|1|5，解得k14.当两圆外切时，dr1r2，即15，解得k34；当两圆相交时，|r1r2|dr1r2，即|1|51，解得14k34；当两圆内含时，d|r1r2|，即|1|5，解得k14；当两圆外离时，dr1r2，即15，解得34k50.14为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地
18、中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离解析：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2y21，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为1，即xy8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离此时DE的最小值为1(41) km.能力提升15.已知圆C1：x2y22x2y80与圆C2：x2y22x10y240相交于两点(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程
19、；(3)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程解析：(1)圆C1：x2y22x2y80与圆C2：x2y22x10y240的公共弦所在直线方程为x2y22x2y8(x2y22x10y24)0，即x2y40.(2)由解得或所以A，B两点的坐标分别为(4,0)，(0,2)，中点坐标为(2,1)，则|AB|2，故所求圆的圆心为(2,1)，半径为，所以圆的方程为(x2)2(y1)25，即x2y24x2y0.(3)经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，与(2)的圆是相同的则所求圆的方程为x2y24x2y0.16圆(x1)2y28内有一点P(1,2)，直线AB过点P.(1)若弦长|AB|2，求直线AB的倾斜角；(2)若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程解析：设AB：y2k(x1)，即kxyk20.(1)由|AB|2，r2，知圆心(1,0)到直线AB的距离为1，即1，解得k.故60或120.(2)由于r2，圆上有三个点到直线AB的距离为，则圆心到直线AB的距离为，即，解得k1.故直线AB的方程为xy10或xy30.
