1、专题6 立体几何与空间向量第28练 空间向量解决立体几何问题的两大策略“选基底”与“建系”向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题.而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 1.(2016 北京)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD 5.(1)求证：PD平面PAB；体验高考 123证明 平面PAD平面ABCD，平面PAD
2、平面ABCDAD.又ABAD，AB平面ABCD.AB平面PAD.PD平面PAD.ABPD.又PAPD，PAABA.PD平面PAB.解析答案(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；123解析答案(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解析答案 123解析答案 1232.(2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；解析答案 123(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH23HF，求直线
3、BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.123解析答案 3.(2016课标全国乙)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；123解析答案 证明 由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.返回 解析答案(2)求二面角EBCA的余弦值.123 高考必会题型 题型一 选好基底解决立体几何问题 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MNAB，M
4、NCD；解析答案(2)求MN的长；解析答案 解 由(1)可知MN 12(qrp)，|MN|2MN 214(qrp)214a2a2a22(a22 a22 a22)142a2a22.|MN|22 a，MN 的长为 22 a.14q2r2p22(qrpqrp)(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.解析答案 点评(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；解析答案 变式训练 1 如图，在四棱锥 PGBCD 中，PG平面 GBCD，GDBC，GD34BC，且 BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点，PG4.解 设F(0，y，z)，解析答案(2)若 F 点是棱 PC 上一点，且DF GC 0，PFkC
5、F，求 k 的值.则DFGFGD(0，y，z)(32，32，0)(32，y32，z)，GC(0，2，0).DF GC 0，(32，y32，z)(0，2，0)2(y32)0，y32.在平面PGC内过F点作FMGC，M为垂足，则 GM32，MC12，PFFCGMMC3，k3.题型二 建立空间直角坐标系解决立体几何问题 例2(2016山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；解析答案 解析答案 点评(2)已知 EFFB12AC2 3，ABBC，求二面角 FBCA 的余弦值.变式训练2
6、在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长；解 如图建立空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E(2，1，0)，F(1，1，1)，解析答案 EF(1，0，1)，EF 2.返回(2)证明：EF平面AA1D1D；解析答案 证明 AD1(2，0，2)，AD1EF，而EF平面AA1D1D，EF平面AA1D1D.(3)证明：EF平面A1CD.证明 EFCD 0，EFA1D 0，EFCD，EFA1D，又CDA1DD，EF平面A1CD.A.3B.1C.1
7、D.3 高考题型精练 12345解析 678910 11 12解析 BD1 AD ABAA1，x1，y1，z1，xyz1.1.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若BD1 xAD yABzAA1，则xyz 的值为()2.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若A1B1 a，A1D1 b，A1A c，则下列向量中与B1M 相等的向量是()A.12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD.12a12bc解析 解析 由题意知，B1M B1A1 A1A AM 12345678910 11 12B1A1 A1A 12ACac12(ab)12a
8、12bc，故选 A.解析 12345678910 11 12A.1B.2C.13D.26 3.在四棱锥 PABCD 中，AB(4，2，3)，AD(4，1，0)，AP(6，2，8)，则这个四棱锥的高 h 等于()A.ACBE B.EF平面ABCD C.三棱锥ABEF的体积为定值 D.异面直线AE，BF所成的角为定值 解析 12345678910 11 124.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF 22，则下列结论中错误的是()解析 12345678910 11 125.若a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，如果a与b为共线向
9、量，则()A.x1，y1B.x12，y12C.x16，y32D.x16，y32 解析 因为a与b为共线向量，所以存在实数使得ab，所以2x，12y，39，解得 x16，y32.6.已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是 OA，CB的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG2GN，则用向量OA，OB，OC 表示向量OG 是()A.OG 16OA 13OB 13OCB.OG 16OA 13OB 23OCC.OG OA 23OB 23OCD.OG 12OA 23OB 23OC解析 12345678910 11 127.已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)
10、，若a，b，c三向量共面，则实数_.65712345678910 11 12解析 a，b，c三向量共面，则存在实数x，y，使cxayb，所以2xy7，x4y5，3x2y，解得 x337，y177，657.解析答案 8.如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，AB2，E 为 PB 的中点，cosDP，AE 33，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为_.解析 答案(1，1，1)12345678910 11 1212345678910 11 129.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 A
11、C上的点，A1MAN 2a3，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是_.解析 答案 平行 则 D(0，0，0)，E(a2，a，0)，C1(0，a，a)，F(a，a2，a)，10.已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点.(1)求证：DEC1F；证明 以D为原点，以DA，DC，DD1为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，所以DE(a2，a，0)，C1F(a，a2，0)，DEC1F 0，解析答案 12345678910 11 12所以DEC1F.解析答案(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.解 A1(a，0，a)，C(0，a，0)，A1C(
12、a，a，a)，C1F(a，a2，0)，cosA1C，C1F A1C C1F|A1C|C1F|32a23a 52 a 155，所以异面直线 A1C 与 C1F 所成角的余弦值是 155.12345678910 11 12解析答案 11.如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点.(1)求证：平面EAC平面PBC；ACBC 2，AC2BC2AB2，12345678910 11 12证明 PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC.AB2，ADCD1，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面PBC.解析答案 12345678910 11 12(2)若二面角 PACE 的余弦值为 63，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.12.直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD60，A1AAB，E为BB1延长线上的一点，D1E平面D1AC.设AB2.(1)求二面角EACD1的大小；解析答案 12345678910 11 1212345678910 11 12返回 解析答案(2)在D1E上是否存在一点P，使A1P平面EAC？若存在，求D1PPE的值；若不存在，说明理由.本课结束 更多精彩内容请登录：
