1、课时11.3简谐运动的回复力和能量1.理解回复力的概念,会根据回复力的特点判断物体是否做简谐运动。2.会用动力学的方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。重点难点:回复力的特点、简谐运动的动力学分析及能量分析。教学建议:前两节研究的是做简谐运动的质点的运动特点,不涉及它所受的力以及能量转换的情况,是从运动学的角度研究的。而本节要讨论它所受的力和能量转换的情况,是从动力学和能量的角度研究的。教学中要讲清回复力是根据振动物体所受力的效果来命名的,振子的惯性使振子远离平衡位置时,回复力总是使振子回到平衡位置,正是这
2、一对矛盾才使振子形成振动。从能量守恒的角度对简谐运动进行分析时,只限于对水平弹簧振子。导入新课:很多同学都喜欢荡秋千,你思考过吗,为什么一次次荡起的秋千还会一次次回到最低点?又为什么荡秋千时能荡得很高? 1.简谐运动的动力学特征(1)回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反(填“相同”或“相反”),总是指向平衡位置,它的作用是使振子能回到平衡位置。(2)水平放置的弹簧振子做简谐运动时,其回复力可表示为F=-kx,式中k为比例系数,也是弹簧的劲度系数;负号表示力F与位移x方向相反。(3)如果质点受到的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置,该质点的运动就是简谐运动。2.简谐运
3、动的能量的特征(1)弹簧振子的速度在不断变化,因而它的动能在不断变化;弹簧的形变量在不断变化,因而它的势能在不断变化。(2)理论证明:若忽略能量损耗,在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的,与机械能守恒定律相一致。(3)实际运动都有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种理想化模型。1.回复力是按性质命名的力还是按效果命名的力?解答:回复力是按效果命名的力。2.弹簧振子在什么位置动能最大?在什么位置势能最大?解答:在平衡位置动能最大,在最大位移处势能最大。3.简谐运动过程中有能量损耗吗?解答:简谐运动是一种理想化的模型,没有能量损耗。主题1:简谐运动的回复力问题:(1)如图所示,振
4、子在外力作用下把水平弹簧拉伸至A点,松手后振子做简谐运动。仔细观察水平放置的弹簧振子的运动,完成下表。振子的运动AOOAAOOA物理量的变化xFa(2)根据问题(1)的分析,总结简谐运动的回复力的特点。解答:(1)振子的运动AOOAAOOA物理量的变化x减小增大减小增大F减小增大减小增大a减小增大减小增大(2)简谐运动的回复力与振子的位移(弹簧的伸长量)成正比,方向与振子的位移方向相反(总是指向平衡位置)。知识链接:简谐运动的物体在平衡位置时回复力一定为零,但物体的合力不一定为零。主题2:简谐运动的判定方法问题:如图所示,在光滑水平面上,用两根劲度系数分别为k1和k2的轻弹簧系住一个质量为m的
5、小球。开始时,两弹簧均处于原长,后使小球向左偏离x后放手,可以看到小球将在水平面上做往复运动。请思考,小球是在做简谐运动吗?解答:小球水平方向受到两根弹簧的弹力作用,当小球向左偏离平衡位置的位移为x时,左方弹簧受压,对小球的弹力大小为F1=k1x,方向向右;右方弹簧被拉伸,对小球的弹力大小为F2=k2x,方向向右。小球所受合力大小为F=F1+F2=(k1+k2)x,方向向右。令k=k1+k2,上式可写成:F=kx。再考虑F与x的方向,则F=-kx,所以小球是在做简谐运动。知识链接:判断物体是否做简谐运动,关键是合理地选择研究对象,并确定回复力是否总与位移成正比,且方向相反。主题3:简谐运动的能
6、量问题:(1)图示为一做简谐运动的弹簧振子,仔细观察弹簧振子运动过程中的能量转化情况,试分析各阶段的能量转化情况,并填入表格。振子的运动AOOAAOOA物理量的变化位移大小速度大小能量的变化动能势能总能量(2)思考:弹簧振子在初始释放位置(A点)时具有什么能?该能量又是如何获得的?弹簧振子在平衡位置时具有什么能?该能量又是如何获得的?解答:(1)振子的运动AOOAAOOA物理量的变化位移大小减小增大减小增大速度大小增大减小增大减小能量的变化动能增大减小增大减小势能减小增大减小增大总能量不变不变不变不变(2)弹簧振子在初始释放位置(A点)时具有最大势能,该势能是通过外力做功获得的。弹簧振子在平衡
7、位置时具有最大动能,该动能是由势能转化而来的。知识链接:简谐运动的能量跟振幅有关,振幅越大,振动的能量越大。由于简谐运动的总能量保持不变,所以又称为等幅振动。1.(考查回复力)如图所示,对做简谐运动的弹簧振子m进行受力分析,则关于振子所受的力,下列说法正确的是()。A.重力、支持力、弹簧的弹力B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力C.重力、支持力、回复力、摩擦力D.重力、支持力、摩擦力【解析】有不少同学误选B,产生错解的主要原因是对回复力的性质理解不清楚,或者说是对回复力的来源没有弄清楚,因此一定要清楚地认识到它是由其他力所提供的力。【答案】A【点评】回复力是各个力的合力,并不是一个单独的力。2
8、.(考查简谐运动的动能、势能)一个做简谐运动的物体,每次有相同的动能时,下列说法正确的是()。A.具有相同的速度B.具有相同的势能C.具有相同的回复力D.具有相同的位移【解析】做简谐运动的物体,有相同的动能的点有两个,且关于平衡位置对称,这两点的位移、回复力方向都不同。而即使是同一点,速度也有两个不同的方向。分析此题时注意矢量和标量的区别,只有B选项正确。【答案】B【点评】加速度随位移变化的规律与回复力一致。3. (考查回复力和位移、加速度的关系)图示为一弹簧振子,O为平衡位置,设向右为正方向,振子在B、C之间振动时()。A.BO位移为正、回复力为正B.OC位移为正、回复力为负C.CO加速度为
9、负、回复力为负D.OB加速度为正、回复力为负【解析】由BO运动时,振子在O左侧,位移为负,回复力指向O点(向右),故选项A错误;同理可以判断选项B正确。由CO运动时,振子的回复力指向O点(向左),加速度与回复力方向相同,故选项C正确;同理可以判断选项D错误。【答案】BC【点评】回复力的方向总与位移的方向相反,与加速度方向相同。 4.(考查简谐运动的能量和回复力)图示为一在水平方向上振动的弹簧振子的振动图象,由此可知()。A.在t1时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大B.在t2时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小C.在t3时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小D.在t4时刻,振子的动能最大,所受的
10、弹力最大【解析】由图知,在t1和t3时刻,振子分别处于正向最大位移处和负向最大位移处,速度为零,动能为零,弹簧形变量最大,振子所受弹力最大,故选项A、C均错;由图知,在t2和t4时刻,振子处于平衡位置,速度最大,动能最大,弹簧无形变,振子所受弹力最小,故选项B正确,选项D错误。【答案】B【点评】振子在平衡位置时动能最大。拓展一:简谐运动的能量1.图示是简谐运动的振动图象,则下列说法中正确的是()。A.曲线上A、C、E点振子的势能最大B.曲线上A、E点振子的势能最大,C点振子的势能最小C.曲线上B、D点振子的机械能相等D.曲线上F点振子的动能最大【分析】根据振动图象可以判断各点的能量情况。动能和
11、势能都是标量,质点离平衡位置越远,势能越大;又因为简谐运动机械能守恒,可知越靠近平衡位置动能越大。【解析】简谐运动的机械能是守恒的,所以在各个位置的机械能应相等。从平衡位置向最大位移处运动的过程中动能向势能转化,动能减少,势能增加。在最大位移处,势能最大,动能为零;而在平衡位置时动能最大,势能为零。【答案】ACD【点拨】在振动的一个周期内,动能和势能完成两次周期性变化,经过平衡位置时动能最大,势能最小;经过最大位移处时,势能最大,动能最小。拓展二:简谐运动的证明2.如图所示,粗细均匀的一条木筷,下端绕几圈铁丝,竖直浮在较大圆筒里的水中,把木块向下按一段距离后放手,木筷就在水中上下振动。请你从简
12、谐运动的力学特征来证明木块做的是简谐运动。【分析】筷子静止时的位置是平衡位置,假设从该位置向下按筷子的距离为x,分析此时其回复力特点,如果满足F=-kx,则说明筷子做简谐运动。为了分析方便,可以假设一些物理量,如筷子质量m,筷子横截面积S,水的密度,等等。【解析】设筷子的横截面积为S,并以向下的方向为正方向木筷处于平衡位置时有V0g=mg若筷子向下离开平衡位置的位移为x,则此时筷子所受合外力为F回=F合=-(V0+Sx)g+mg联立解得回复力F回=-gSx=-kx回复力与位移大小成正比,方向相反,木筷做简谐运动。【答案】见解析【点拨】在证明简谐运动时,应先找出平衡位置,并找出平衡位置处振子的受
13、力关系。再在振子振动的任意位置进行受力分析,且设出位移的正方向,然后求出任意位置时振子的回复力,看其是否满足F回=-kx。一、物理百科你会荡秋千吗?你喜欢荡秋千吗?也许你很喜欢却荡不好。要知道,会荡秋千的人,不用别人帮助推,就能越摆越高,而不会荡秋千的人则始终也摆不起来,知道这是什么原因吗?请你仔细观察一下荡秋千高手的动作:他从高处摆下来的时候身子是从直立到蹲下,而从最低点向上摆时,身子又从蹲下到直立起来。由于他从蹲下到站直时,重心升高,无形中就对自己做了功,自身内能转化为机械能,增大了重力势能。因而,每摆一次秋千,都使荡秋千的人自身机械能增加一些。如此循环往复,总机械能越积越多,秋千就摆得越
14、来越高了。不信你可以试试看! 二、备用试题1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振子向平衡位置运动的过程中()。A.振子所受的回复力逐渐增大B.振子的位移逐渐增大C.振子的速率逐渐减小D.弹簧的弹性势能逐渐减小【解析】在振子向平衡位置运动的过程中,振子的位移逐渐减小,速率逐渐增大,弹簧的弹性势能逐渐减小。故选D。【答案】D2.当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时,下列说法中正确的是()。A.振子在振动过程中,速度相同时,弹簧的长度一定相等,弹性势能相同B.振子从最低点向平衡位置运动过程中,弹簧弹力始终做负功C.振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供D.振子在运动过程中,系
15、统的机械能守恒【解析】振子在平衡位置两侧往复运动,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点,这时弹簧长度明显不等,A错;振子由最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧对振子施加的力指向平衡位置,应做正功,B错;振子运动中的回复力由弹簧振子所受合力提供,且运动中机械能守恒,故C、D对。【答案】CD3. 如图所示的弹簧振子,O为平衡位置,B、C为最大位移位置,以向右的方向为正方向,则振子从B运动到O的过程中,位移为,大小逐渐,回复力方向为,大小逐渐,振子速度方向为,大小逐渐,动能逐渐,势能逐渐。(选填“正”“负”“增大”或“减小”)【解析】振子从B向O运动的过程中,位置在O点的右方,到O点距离逐渐
16、减小,故位移为正值,大小逐渐减小。由F=-kx和a=-x可知,回复力和加速度的大小均在减小,方向为负,振子的速度方向为负,大小逐渐增大,故动能也在增大,势能逐渐减小。【答案】正减小负减小负增大增大减小1.关于做简谐运动的物体每次通过平衡位置时的情况,下列说法正确的是()。A.位移为零,动能为零B.动能最大,势能最小C.速率最大,回复力不为零D.以上说法均不对【解析】物体经平衡位置时,位移为零,回复力为零,速度最大,动能最大,势能为零,所以B正确,A、C、D错误。【答案】B2.做简谐运动的弹簧振子,当回复力由小变大时,下列物理量也变大的是()。A.弹簧的弹性势能B.振子的速率C.振子的加速度D.
17、振子的能量【解析】当回复力由小变大时,位移正在增大,则弹簧的弹性势能增大,A正确;振子的速率减小,B错误;振子的加速度增大,C正确;振子的能量不变,D错误。【答案】AC3.把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图所示。下列结论正确的是()。A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小B.小球在A、B位置时,动能最大,加速度最大C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功D.小球从B到O的过程中,振动的能量不断增加【解析】振子以O为平衡位置,在A、B之间振动。在O点时,动能最大,回复力为零,加速度最小;在A、B位置时,
18、动能最小,回复力最大,加速度最大。从A到O回复力做正功,从O到B回复力做负功;小球从B到O弹簧弹力做功,弹簧振子的机械能不变。【答案】A4.图示为一弹簧振子做简谐运动的图象,由图可知,t1和t2时刻对称。对振子在t1和t2时刻进行比较,下列结论正确的是()。A.振子具有相同的速度B.振子具有相同的位移C.振子具有相同的加速度D.振子具有相同的机械能【解析】t1和t2两时刻振子所处的位置关于平衡位置对称,速度、加速度、位移三者的大小均相同,速度方向相同,但加速度和位移方向都相反,故选项A对,选项B、C错。由于振动过程中机械能守恒,所以t1和t2时刻机械能相等,选项D对。【答案】AD5. 如图所示
19、,弹簧上面固定一质量为m的小球,小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动,当小球振动到最高点时弹簧正好为原长,则小球在振动过程中()。A.小球最大动能应等于mgAB.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变C.弹簧最大弹性势能等于2mgAD.小球在最低点时所受弹力大于2mg【解析】小球在平衡位置时有kx0=mg,即x0=A=。振动过程中弹簧振子的机械能守恒,即动能、重力势能和弹性势能之和保持不变。从最高点到最低点,重力势能全部转化为弹性势能,Ep=2mgA,最低点加速度大小等于最高点加速度g,根据牛顿第二定律F-mg=mg,所以小球在最低点时的弹力F=2mg。【答案】C6.如图所示,光滑的水平面上放有
20、一弹簧振子,轻弹簧右端固定在滑块上,已知滑块质量m=0.5 kg,弹簧劲度系数k=240 N/m,将滑块从平衡位置O向左平移,使弹簧压缩 5 cm,静止释放后滑块在A、B间滑动,则:(1)滑块在A、B、O三点中哪点加速度最大?此时滑块加速度为多大?(2)滑块在A、B、O三点中哪点速度最大?此时滑块速度为多大?(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)【解析】(1)由于简谐运动的加速度a=-,故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点,加速度大小a=0.05 m/s2=24 m/s2。(2)在平衡位置O滑块的速度最大根据机械能守恒定律有Epm=m故vm= m/s1.1 m/s。【答案】(1)
21、A点或B点24 m/s2(2)O点1.1 m/s甲7.如图甲所示,A、B两物体组成弹簧振子,在振动过程中,A、B始终保持相对静止,图乙中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图象应为()。乙【解析】在振动过程中A、B始终保持相对静止,可以把A、B看成整体进行受力分析,设A、B的质量为mA、mB,弹簧的劲度系数为k,则有(mA+mB)a=-kx,a=-,A所受摩擦力Ff=-kx,所以Ff与位移的关系是Ff=-kx。【答案】C8.做简谐运动的弹簧振子,其质量为m,最大速率为v。下列说法中正确的是()。A.振动系统的最大弹性势能为mv2B.当振子的速率减为时,此振动系统的弹性势能为
22、C.从某时刻起,在半个周期内,弹力做的功一定为零D.从某时刻起,在半个周期内,弹力做的功一定为mv2【解析】根据简谐运动机械能守恒原理,判断A选项正确。当振子的速率减为时,振子的动能减少量Ek=mv2-m()2=mv2,那么振动系统的弹性势能为mv2,B选项错误。从某时刻起经过半个周期,振子回到原位置或者回到关于平衡位置对称的位置,经过半个周期振子的速率恢复到原来的数值,所以动能不变,根据动能定理,弹力做功为零,C选项正确,D选项错误。【答案】AC9.如图所示,物体m系在两弹簧之间,两弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然状态。今向右拉动m,然后释放,物体在B、
23、C间振动,O为平衡位置(不计阻力),则下列判断正确的是()。A.m做简谐运动,OC=OBB.m做简谐运动,OCOBC.回复力F=-kxD.回复力F=-3kx【解析】本题易误选B、C,误以为物体两边弹簧的劲度系数不同,因此做简谐运动时,左右最大位移不对称,即OCOB,误认为选项B正确。根据物体做简谐运动的条件是物体所受回复力为F=-kx,因此误认为选项C正确。造成这些错误的原因是没有用所学知识加以分析。在F=-kx中,k为比例系数,不一定为劲度系数。【答案】AD10. 如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M,若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面,m
24、和M无相对运动而一起运动,下列说法正确的是()。A.振幅不变B.振幅减小C.最大动能不变D.最大动能减小【解析】当振子运动到B点时,M的动能为零,放上m,系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep,由于简谐运动过程中系统的机械能守恒,即振幅不变;当M和m运动至平衡位置O时,此时动能最大,M和m的动能之和即为系统的总能量,故最大动能不变。【答案】AC11.图示为某质点沿x轴做简谐运动的图象,根据图象可知,在前4 s内:(1)在时间内质点的速度和加速度方向相同。(2)在时间内动能正在向势能转化。(3)在t=s时质点动能最大,回复力为0。【解析】(1)质点向平衡位置运动的过程中,速度和加速度方向相同。(
25、2)质点远离平衡位置运动的过程中,动能向势能转化。(3)质点在平衡位置时动能最大,回复力为0。【答案】(1)01 s、2 s3 s(2)1 s2 s、3 s4 s(3)1、312.如图所示,A、B叠放在光滑水平地面上,B与自由长度为L0的轻弹簧相连组成弹簧振子,当系统振动时,A、B始终无相对滑动,已知mA=3m,mB=m,当振子距平衡位置的位移x=时,系统的加速度为a,求A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系。【解析】设弹簧的劲度系数为k,系统在水平方向上做简谐运动,其中弹簧的弹力作为系统的回复力,所以当振子运动到距平衡位置为时,有k=(mA+mB)a,由此得k=当振子的位移为x时,A、B间的静摩擦力为Ff,此时A、B具有共同的加速度a,对系统有-kx=(mA+mB)a对A有Ff=mAa联立上式得Ff=-x。【答案】Ff=-x
