1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时空间向量的数量积 必备知识自主学习1.两个向量的夹角(1)两向量共线时，其夹角分别是多少？提示：两个非零向量共线且同向时，a，b0，两个非零向量共线且反向时，a，b.(2)零向量与其他向量的位置关系是怎样的？提示：为了方便起见，约定零向量与任意向量都垂直2两个向量的数量积(1)空间向量的数量积的运算符号“”能省略吗，能写成“”吗？提示：空间向量的数量积的运算符号是“”，不能省略，也不能写成“”(2)两个向量的数量积与数乘向量有何不同
2、？提示：两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0a0，而0a0.3投影向量给定空间向量a和空间中的直线l(或平面)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面)上的投影(1)向量的投影是向量吗？提示：是(2)a与b的数量积怎样用a在b上的投影a的数量来表示？提示：a与b的数量积等于a在b上的投影a的数量与b的长度的乘积1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)向量与的夹角等于向量与的夹角()(2)空间向量的数量积仍是一个向量()(3)若ab0，则a0或b0.()
3、提示：(1).根据向量夹角的概念，向量与的夹角和向量与的夹角互补(2).空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量(3).若ab0，则a0、b0或ab.2下列关于空间向量数量积的运算中，正确的是()Aab Babsin a，bCabba Dccab【解析】选C.根据空间向量数量积的概念及运算性质可得，只有C选项正确3.(教材例题改编)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，_，_【解析】，故0，1cos 451.答案：01关键能力合作学习类型一空间向量的夹角(直观想象)1.如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点，则，()A30 B6
4、0 C90 D1202如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，则，_.3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_【解析】1.选D.由题意，EFAC，所以，120.2方法一：如图，连接A1C1，BC1，得等边三角形A1BC1，因为A1C1AC，所以，60.答案：60方法二：不妨设正方体的棱长为1，设a，b，c，则|a|b|c|1，abbcca0，ac，ab.所以(ac)(ab)|a|2abacbc1，而|，所以cos ，因为0，180，所以，60.答案：603因为cos a，b，所以a，b120.答案：120求空间向量夹角的两种方法：1几何求解法：平移直线，得到异面直线夹角，再根据向量的
5、方向得出空间向量的夹角2夹角公式法：由空间向量的数量积公式变形，得到夹角公式cos a，b，利用公式求解【补偿训练】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，则(1)，_；(2)，_；(3)，_【解析】(1)因为，所以，又CAB45，所以，45.(2)，180，135.(3)，90.答案：(1)45(2)135(3)90类型二求空间向量的数量积(数学运算)【典例】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)；(2)；(3)；(4).四步内容理解题意条件：正四面体ABCD棱长为1；E，F分别是AB，AD的中点结论：(1)；(2)；(3)；(4).思路探求
6、用定义求数量积书写表达(1)|cos ，cos 60.(2)|2.(3)|cos ，cos 120.(4)()|cos ，|cos ，cos 60cos 600.注意：向量的夹角；分解向量题后反思求两个空间向量数量积时要紧扣数量积的概念，明确两个问题，即两个向量的模及两个向量的夹角求两个向量a，b的数量积一般有两个类型：一是结合图形确定向量a，b的模及a，b的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量a，b，从而把a，b的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求，此种情况常用到数量积的运算律已知长方体ABCD ABCD，ABAA2，A
7、D4，E为侧面AB的中心，F为AD的中点，计算下列数量积：(1)；(2)；(3).【解析】如图，设a，b，c，则由题意，得|a|c|2，|b|4，|2，45，abbcca0，(1)|cos ，224.(2)b|b|216.(3)|a|2|b|22.类型三空间向量数量积的性质及应用(逻辑推理)角度1求空间两点的距离【典例】如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，从顶点A出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60，求对角线AC1和BD1的长【思路导引】把向量和用已知向量、表示出来，再用数量积的性质运算【解析】因为，所以| |2()()|2|2|22()1112(cos 60cos 60
8、cos 60)6.所以| |，即对角线AC1的长为.同理，| |2()()|2| |2|22()1112(cos 60cos 60cos 60)2.所以| |，即对角线BD1的长为.本例条件不变，若E为CC1的中点，求AE的长【解析】，所以|2()()|2|2| |22112cos 60cos 60cos 604，所以|.角度2证明垂直问题【典例】如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直【思路导引】将用，表示；用，表示；利用向量的运算律及向量垂直的数量积为0求出；判断出垂直【证明】()()0()()0.故AC与BD互相垂直1求空间几何体
9、中两点的距离或线段长度的两个关注点(1)转化：把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算(2)公式：用aa|a|2，求|a|.2证明垂直问题的两个关注点(1)转化：证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零(2)公式：对于空间两个非零向量a，b，有abab0. 1如图，已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()A与 B与C与 D与【解析】选A.根据题意，依次分析选项：对于A，PC与BD不一定垂直，即向量，不一定垂直，则向量，的数量积不一定为0，对于B，根据题意，有PA平面ABCD，则PA
10、AD，又由ADAB，PAABA，则有AD平面PAB，进而有ADPB，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0，对于C，根据题意，有PA平面ABCD，则PAAB，又由ADAB，APADA，则有AB平面PAD，进而有ABPD，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0，对于D，根据题意，有PA平面ABCD，则PACD，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为0.2如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，则A，D两点间的距离为_【解析】因为，所以|2()2|2|2|2222122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，所以
11、|2，即A，D两点间的距离为2.答案：23如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若ABCD，ACBD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EFAD且EFBC.【证明】连接AF，因为点F是BC的中点，所以()，所以()()，又|，所以2222，同理22222，将代入可得22222AB2，所以222()0，所以()0，所以()0，所以0，所以.同理可得.所以EFAD且EFBC.课堂检测素养达标1下列说法正确的是()A对于非零向量a，b，a，b与a，b相等B对于非零向量a, |a|C若a2b2，则ab或abD若向量a，b满足|a|1，|b|2，且a，b的夹角为，则ab【解析】选
12、B.对于非零向量a，b，a，b与a，b互补，A错由数量积的性质知B正确a2b2，只能推出|a|b|，而不能推出ab，C错ab|a|b|cos a，b121，D错2如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2 B2C2 D2【解析】选C.2a2，故A错；2a2，故B错；2a2，故D错，22a2，故C正确3设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60，且|a|5，|b|3，|c|8，则(a3c)(3b2a)_【解析】(a3c)(3b2a)3ab2|a|29bc6ac62.答案：624已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_【解析】cos a，b，因为a，b0，所以a，b.答案：关闭Word文档返回原板块- 15 - 版权所有高考资源网
