1、专题07 圆锥曲线大题专项练习一、巩固基础知识1如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，一条直线经过与椭圆交于、两点。(1)求的周长；(2)若直线的倾斜角为，求的面积。【解析】由椭圆方程知：、，(1)的周长为；(2)由知、，又，直线的方程为，由联立消去并整理得：，恒成立，设、，。2已知点到点的距离比点到直线的距离小。(1)求点的轨迹的方程；(2)若曲线上存在两点、关于直线：对称，求直线的方程。【解析】(1)动点到点的距离比点到直线的距离小，动点到点的距离与到直线的距离相等，动点在以点为焦点，为准线的抛物线上运动，抛物线的方程为；(2)设、，则代入做差可得，又直线的斜率为，即，中点的坐标为，直线的方
2、程为：，即，经检验，此时直线与抛物线有两个不同的交点，满足题意。3已知、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且(为坐标原点)为锐角，求直线的斜率的取值范围。【解析】显然直线不满足题设条件，故设直线：，、，联立得，由，得或，又，又，即，综合，得直线的斜率的取值范围为。4如图所示，椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点、在轴上，离心率。(1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程。【解析】(1)由题意可设椭圆方程为()，即，又，椭圆方程为，又椭圆过点，解得，椭圆方程为；(2)由(1)知、，直线的方程，即，直线的方程为，设为角平分线上任意一点，则点到两直线的距离相等，即，或
3、，即或，由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求的平分线所在直线方程为。二、扩展思维视野5已知椭圆：()的左右焦点分别为、，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点。(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作出直线、交椭圆于、两点，设这两条直线的斜率分别为、，且，证明：直线过定点。【解析】(1)，、，即；(2)由题意可知直线一定存在斜率，设方程为，代入椭圆方程得，成立，设、，则，又，解得，代入得：，直线必过。6已知抛物线：()，直线与交于、两点，且，其中为坐标原点。(1)求抛物线的方程；(2)已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为、，证明：为定值。【解析】(1)联立方程组，消元得：，恒成立
4、，设、，又， ，从而；(2)，又，则，即为定值。7已知点直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足。(1)求动点的轨迹方程；(2)、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，、相交于点，求点的纵坐标。【解析】(1)设，则，即，即，动点的轨迹的方程；(2)设、，、分别是抛物线在点、处的切线，直线得斜率、直线得斜率，即，、是抛物线上的点，直线的方程为，直线的方程为，由解得，点的纵坐标为。8已知椭圆：()的离心率为，且椭圆过点。(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点(点、均在第一象限)，且直线、的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值。【解析】(1)由题
5、意可得，又，解得，故椭圆：；(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为()，设、，联立，消去得：，则，且 ，故，又直线、的斜率成等比数列，则，整理得，又，得，又结合图像可知，直线的斜率为定值。三、提升综合素质9已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求、的标准方程；(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。【解析】(1)设抛物线：()，则有()，据此验证个点知、在抛物线上，易求：，设椭圆：()，把点、代入得：，解得，的方程为：；(2)设、，将()代入椭圆方程，消去得：，即
6、，由根与系数关系得，则，线段的中点的坐标为，又线段的垂直平分线的方程为，由点在直线上，得，即，由得，即或，实数的取值范围是。10已知椭圆：()的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点。 当的斜率为时，坐标原点到的距离为。(1)求、的值；(2)上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由。【解析】(1)椭圆的右焦点为，直线的斜率为时，则其方程为，即，原点到距离：，又，；(2)由(1)知椭圆的方程为，设弦的中点为，由可知，点是线段的中点，点的坐标为，若直线的斜率不存在，则轴，这时点与重合，点不在椭圆上，故直线的斜率存在，由得：，由和解得：、，当、时，点坐标为，直线的方程为，当、时，点坐标为，直线的方程为。11已知直线：与椭圆：()相交于、两点。(1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；(2)若向量与向量相互垂直(其中为坐标原点)，当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值。【解析】(1)由题意可知，椭圆的方程为，联立，消去得：，设、，则，；(2)设、，即，由，消去得，由，整理得，整理得：，又，代入上式得，又，适合条件，故长轴长的最大值为。
