1、玉溪20222023学年上学期高二年级期中考 数学学科试卷总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,则( ) A. B. C. D.2.若经过,两点的直线的倾斜角是,则( ) A. B. C. D.3.若构成空
2、间的一个基底,则下列向量共面的是( )A., B., C., D., 4.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是,求密码被成功破译的概率( ) A. B. C. D. 5.已知,若,则( )A. B. C. D. 6.已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥底面的面积为( ) A. B. C. D.7.已知圆,直线经过点,则直线被圆截得的最短弦长为( )A. B. C. D. 8.如图,平行六面体的底面是菱形,且,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题
3、目要求的,漏选得3分,错选不得分。9.某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法,讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况,对本校2000名学生的得分情况进行了统计,按照50,60）、60,70）、90,100分成5组,并绘制了如图所示的频率分布直方图,下列说法正确的是 （ ）A图中的值为0.020B由直方图中的数据,可估计75%分位数是82C由直方图中的数据,可估计这组数据的平均数为77D90分以上将获得金牌小卫士称号,则该校有20人获得该称号10.已知为任意实数,当变化时,关于方程的说法正确的是（ ）A.该方程表示的直线恒过点 B.当且仅当时,该方程表示的直线垂直于轴C.若直线与平
4、行,则D.若直线与直线垂直,则 11.已知函数,则（ ）A.函数的最大值为 B.当时,的最小正周期为C.若是的一条对称轴,则D.若在区间内有三个零点,则12.有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点（包含端点）,则下列说法正确的是（）A.该半正多面体的体积为B.当点运动到点时, C.当点在线段上运动时（包含端点）,始终与垂直D.直线与平
5、面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。13.复数的共轭复数是 .14.若向量,满足,则的最大值为 .15.设空间两个单位向量,与向量的夹角的余弦值都等于,则 .16.已知实数满足,则的最大值为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题10分）已知直线（1） 已知直线经过点,且与垂直,求的方程;（2） 在上任取一点,在上任取一点,连接,取靠三等分点,过点作的平行线,求与之间的距离.18.（本小题12分）在长方体中,为上的动点,（1） 求证：平面;（2） 求与平面所成角的正弦值.19.（本小题12分）在中,角的对边分别为
6、,已知（1） 求角;当求的周长.20.（本小题12分）已知圆内有一点,为过点且倾斜角为的弦.（1） 当时,求的长;（2） 若为的中点,求所在直线的方程.21.（本小题12分）如图,在直三棱柱中,分别是棱,上的动点;（1） 当时,求证：;（2） 已知为中点时,线段上是否存在点,使得平面与平面夹角的余弦值为,若存在,请确定点的位置,若不存在,请说明理由.22.（本小题12分）环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源,目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车,纯电动汽车.为了提高生产质量,有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速,经多
7、次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择：（且）(1)当时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（说明理由,并求所选函数模型的函数解析式;(2)根据（1）中所得函数解析式,求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地,前一段是的国道（汽车匀速行驶）,后一段是的高速路（汽车行驶速度不低于,匀速行驶）,若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足,则如何行使才能使得总耗电量最少,最少为多少？玉溪20222023学年上学期高二年级期中考 数学学科 参考答案一、选择题：本
8、大题共12小题，每小题5分，共60分。题号123456789101112答案DBDBCACDACABDACDBCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 题号13141516答案三、解答题：本大题共6小题，共70分。（本小题10分）（1）设直线的方程为：,代入点,则有，,; 5分 ,直线与直线之间的距离,点是线段靠近点的三等分点,与之间的距离. 10分 18.（本小题12分）（1）证：如图,连接、,在长方体中,且,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面,同理平面,又,平面平面,又平面,平面; 6分 （2）如图，过点作垂足为,平面,平面,又,平面,平面,平面,为直线与平面所成角,又,
9、. 12分 19.（本小题12分）（1）解：由已知得角化边得, 5分 （2）解：由（1）得,又由余弦定理得,所以周长为. 12分 20.（本小题12分）（1）由题得圆的标准方程为,所以圆心的坐标为,半径,当时，直线的斜率.所以直线的方程为,即.圆心到直线的距离.所以. 6分（2）由（1）知圆心的坐标为,为中点时,直线的斜率不存在,直线的方程为. 12分21.（本小题12分）（1）证：如图，以为原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设则 5分（2） 设,其中,则,故,设平面的法向量为,则,令，得,平面为平面，所以平面的法向量可为,假设存在点满足条件,设平面与平面的夹角为,则,即,符合题意,所以线段上存在点,满足使得平面与平面夹角的余弦值为. 12分22.（本小题12分）（1）若选,则当时,该函数无意义,不合题意.若选,显然该函数是减函数,这与矛盾,不合题意.故选择,有表中数据得,解得,所以当时,. 5分（2）由题可知该汽车在国道路段所用时间为,所耗电量所以当时,.该汽车在高速路段所用时间为所耗电量已知在上单调递增,所以故当该汽车在国道上行驶速度为,在高速路上的行驶速度为时,总耗电量最少,最少为. 12分
